緒論 - 以混合式邊界條件探討正方形平行平板間自然對流現象

第一章緒論

為了要解決所面臨許多實際現象的流體力學問題，邊界條件的定義一直是一門相當重要的學問。由於大多數實際有關流體力學的問題需要解出 Navier-Stokes 方程式，因此必定要界定問題的邊界條件，然而許多流體力學的模型中往往為了定義流體出口邊界條件而把真實的問題做了相當程度的修正，在未知的計算域上預先設置一個已知的出口邊界，造成問題本身物理模型的改變，對流體力學的實際應用上造成了非常大的限制，因此如何設置正確的出口邊界條件遂成為流體力學所要解決的重要問題之一。

在流體力學的問題中，除了封閉空間外，幾乎沒有一種不牽涉到開放性的邊界，意指流體可藉邊界進出欲探討現象的物理空間。不管是管內流、管外流、平板流、噴流、氣動聲學等等，最後都需要考慮開放性邊界對流場造成的影響。一般來說，開放性邊界通常區分為非相鄰開放性邊界及相鄰開放性邊界。非相鄰開放性邊界如管道流等較為單純的邊界，在管道兩端的開放性邊界是互相獨立的存在。過去在計算上為了取得一個合理的邊界條件，完全發展流是一種非常通用的解法，在許多例子上也取得很好的成果。如 Khanafer 和 Vafai[1]在管段出口邊界外加一額外的計算空間，在額外空間的邊界處設定為完全發展流，避開出口邊界需處理非線性問題的困擾，使開放性出口邊界在不可壓縮流有良好的表現，但除增加了不必要的計算空間，也減少了實際上的應用範圍。此外，為了要符合完全發展流，模型的設定上流體勢必要沿流動方向發展到一定程度才能做計算，這樣的結果造成實際工業界應用上的困難，也大幅度消耗了許多的計算資源來處理額外的網格。

除了開放性邊界的問題之外，流體的可壓縮性對於計算流體力學的解法也需要做謹慎的探討。過去在一般的流體力學計算上多將流體依照其速度區分為可壓縮流(大於 0.3 馬赫)及不可壓縮流(小於 0.3 馬赫)，但當自然對流的溫差極大時，

雖然浮力造成的速度較小，但卻不能忽略因溫度變化造成密度變化的可壓縮性。

以往在計算自然對流時都以 Boussinesq 假設來簡化計算並視密度為定值，但僅限於溫差小於 30K[2]的情況下才適用，然而在真正的工業應用上，自然對流之溫度差往往達到數百 k 之高溫，在此狀況下無法採用 Boussinesq 假設。對於高溫之自然對流現象，需要將流體視為可壓縮流體，以求解完整的 Navier-Stokes 方程式，並得到可壓縮流中密度的變化及高溫下的熱傳與熱對流效應，以符合實際物理現象。因此要以數值計算求解高溫自然對流問題時，可壓縮自然對流之數值解法也是一重要的議題。

為了正確解出低速之可壓縮黏性流體現象，許多研究陸續被提出。在顯式 (explicit)數值方法下，時間步進大小造成之 CFL(Courant-Friedrichs-Levy)狀況使得問題難以收斂；另一方面，若使用隱式(implicit)法，stiff 狀況則使計算效率非常低。為了解決上述情形，Briley 等人[3]使用 preconditioning 法來增進低馬赫數下之計算效率，而 Turkel[4]則發展 preconditioning 矩陣來求解可壓縮與不可壓縮流之問題。Choi 和 Merkel[5][6]以 preconditioning 矩陣成功解出低馬赫數下黏性流體與非黏性流體之收斂問題。Roe[7]發展了平均變數法來解決可壓縮流在數值網格交界面之不連續現象，且近年來皆被廣泛的使用。Weiss 和 Smith[8]則延伸了 Chio 和 Merkel[6]的理論，在三維的 Navier-Stokes 方程式中結合了 Roe 法和 preconditioning 矩陣，並加入了 dual time stepping 來求解低馬赫數下之暫態問題。

此外，過去在可壓縮自然對流問題的研究上，Weiss 和 Smith[8]模擬二維同心圓之自然對流，壁面之溫度差為 1000K ，且雷利數為 4.7×10⁴。結果顯示 preconditioning 法可以縮短將近 60 倍的計算時間。Paillere 等人 [9] 則驗證 preconditioning 法在低溫度差自然對流問題之準確性，結果指出 preconditioning 法之熱傳現象與 Boussinesq 假設非常接近，然而以上結果都是計算在封閉空間之情形且未考慮開放性邊界的問題。

為了解決非相鄰開放性邊界的問題，過去研究提出了一種應用-非反射性邊界條件(non-reflecting boundary condition)。為了解決可壓縮流在管道出口開放性

邊界的現象，在高馬赫數於的流場中，Rudy 和 Strikwerda[10]提出了一種簡單的非反射性邊界條件，與其他的壓力邊界條件相比更符合真實的物理模型。而 Poinsot 和 Lele[11] 發展了 Navier-Stokes characteristics boundary condition (NSCBC)，以 local one-dimensional inviscid relations (LODI)法來計算在進出口部分邊界對流體的影響，奠定非反射性邊界的基礎理論。Polifke 等人[12]則對 NSCBC 的線性鬆弛項做了修正，使邊界上各種頻率的平面波皆不會被反射。但上述的文獻皆提到此邊界只適用於馬赫數大於 0.3 之可壓縮流場。為了使非反射邊界在使用上更為方便，Fu 等人[13]修正了 Poinsot 和 Lele[11]的結果，計算管流之底部加熱自然對流，在管段進出口處成功模擬了同一邊界上同時出現吸入與推出之現象，如圖 1-1 所示，使 LODI 法可應用於全域可壓縮流場之非相鄰開放性邊界。此外，Fu 等人[14]又另外探討半無限平行平板之高溫自然對流現象，如 圖 1-2 所示，以文獻[11]所修正之 LODI 法計算面 BFHD 及 AEGC，另外面 ABDC 及 EFHG 則以週期性邊界做計算。結果顯示於圖 1-3 及圖 1-4，在低雷利數時流 體由底部吸入加熱後流至底端，並向外流出。而在高雷利數時，則會產生流場不穩定的現象。

除了非相鄰開放性邊界外，另一種更複雜的物理模型則是相鄰開放性邊界問題。相鄰開放性邊界意指當兩個或兩個以上的開放性邊界在物理模式中相交出現時，則稱此類問題為相鄰開放性邊界，如兩平行平板間自然對流問題就是一種典型的相鄰開放性邊界。如圖 1-5 所示，在三維正方形平行平板的問題上，除了上 下平板的兩個無滑移壁面之外，尚有四個方向相異之相鄰開放性邊界面 abdc、

efhg、acge 及 bdhf。另外以高溫自然對流為驅動力之流場使流體的流動在上述四 個方向的開放性邊界均可能同時存在流入與流出之現象，因此除了在同一邊界上需同時考慮兩種不同方向的流動外，在兩開放性邊界交界處尚要解決角落及邊界，

如圖 1-5 中 bd、fh、eg 和 ac 處，之數值奇異點(singular point)的問題。

由於四個開放性邊界如皆以文獻[14]中 LODI 法計算，在經過本研究的驗證

過後，在計算域中若出現兩個甚至三個相鄰之開放性邊界，如圖 1-5 面 abdc 及 bfhd 時，由於 LODI 法忽略在邊界上的橫向項(transverse terms)，使得邊緣與角落 處之反射現象逐漸累積，造成數值發散或是計算結果的不準確，且此現象也與 Yoo 等人[15]及 Lodato 等人[16]的結果相同。因此為了解決此問題，本研究將結合另一種處理開放性邊界的方法-吸收性邊界(Absorbing boundary condition)，並應用於正方形平行平板的計算上。

吸收性邊界的基礎理論分為 perfectly matched layer(PML)邊界及區域性邊界 (zonal boundary)。PML 首先由 Berenger[17]提出以求解 Maxwell 方程式，使各種頻率及入射角度之電磁波通過無反射之吸收層(absorbing layer)，並被廣泛應用於計算電磁學(Computational electromagnetics)的研究領域。隨後 PML 被 Hu[18][19]

延伸為可適用於尤拉方程式的形式，但 Abarbanel 和 Gottlieb[20]、 Hesthaven[21]

及 Tam 等人[22]皆指出改寫後的方程式會造成邊界的不穩定，因此 Hu[23]修正了原本的方程式，使得 PML 可被正確的應用在尤拉方程式上。但 PML 的應用只限於非黏性流，為了要在黏性流體中處理吸收性邊界的問題，區域性邊界的理論接著被提出。區域性邊界是在原始的物理邊界外增加一虛擬(artificial)的微小計算區域來消減流體向外流動的擾動項，使之到達虛擬出口後不會影響實際計算域的結果。由於在區域性邊界的虛擬區域內流場不會影響原本的計算空間，所以在數值的概念上可以加上某些吸收項來改變原始的方程式。且由於在某些問題中，由於在流動出口處有著極大的非線性擾動，因此勢必需要在出口處增加一虛擬的計算區域才能減少反射波的產生。Israeli 和 Orszag[24]分析了在一維的波動方程式中加入虛擬的耗散項(dissipation term)與阻尼項(damping term)的效用，成功減少了反射波。Kosloff 和 Kosloff[25]則分析了在二維的波動方程式加入虛擬項的結果。Colonius[26]等人首先把吸收性邊界應用於計算氣動聲學中，他們在虛擬的出口區域使用一數值的濾波器來消減這部分的擾動，抑制反射波。而 Ta’asan 和 Nark[27]修改了線性尤拉方程式，在虛擬進出口區域添加一對流項，強迫虛擬邊

界上的流體達到超音速以解決反射波的問題。另一方面，Wasistho 等人[28]在虛擬出口區域增加一阻尼方程式(damping function)，使流體的擾動在虛擬區域邊界處被消減至零，抑制反射波的產生。Freund[29]提出的吸收性邊界，結合 Ta’asan 和 Nark[27]及 Wasistho 等人[28]的理論，成功使用於一維的可壓縮 Navier-Stokes 方程式。Fu 等人[30]以 Freund[29]的理論為基礎，發展計算邊界條件為二維可壓縮流之噴流氣動噪音，成功解決二維全開放空間之可壓縮流問題，但對於三維可壓縮流之計算，由於虛擬對流項與阻尼項的作用方程式在相鄰開放性邊界所造成的角落區域之方向難以判斷，因此始終沒有良好的計算方法。

此外，為了結省計算流體力學之計算時間，過去有許多研究皆以平行化之方法如 OpenMP(Open Multi-Processing)或 MPI(The Message Passing Interface)來加速計算，然而上述兩種方法都有其優缺點，無法兼得。Brandvik 和 Pullan[31]及 Corrigan 等人 [32] 以 Nvidia 公司發展的計算平台 Compute Unified Device Architecture (CUDA)為基礎來做高速可壓縮流之計算，並在計算效能與耗費時間上取得相當好的成果。CUDA 之基礎理論為以顯示晶片(GPU)之多流處理器 (Stream Processer)取代傳統以 CPU 來做分散式平行計算，由於 GPU 之計算單元為 CPU 之數百甚至上千倍之多，對於平行化計算有著非常顯著的優勢。Fu 等人

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