緒論

第一章 緒論

第一節 研究動機

臺灣目前的教育環境受到時代潮流、科技發展、資訊流通以及媒體介面的變 化而必須運用不同的思維方式去尋求解決問題。而教育環境的刺激，產生學習的 改變，必須透過問題解決(problem solving)的能力才可處理。一般而言，面對處理 數學問題，係在如何運用科學的方式謀求創新。創新的模式，事實上是一個使用 工具的歷程，因此建立嶄新的觀念進行工具的研發，是件相當重要的工作。但是 良善的工具施行的結果，非靠優異的描述能力則無法完全的發揮，而描述的方法 可以是文字、圖表、數學。

處理科學問題，理解工具的核心本質(core essence)是非常重要的條件，一般 會覺得學習數學困難的原因，往往是沒有了解數學公式的涵義與其使用方法，或 是被數學上的迷思概念(misconceptions) 混淆所致，而學習成就評量(assessment of learning achievement)的目的不只是用來判斷學生能力好壞，同時也是在從有限的 學生回答反應訊息資料中，發覺學生在基本能力或是問題處理上的錯誤概念，來 進行教學上的反思(self-reflection)。本研究希望藉由這次參加學校來觀測受試學生 在特定觀念上的理解或迷思的問題之外，也希望能回饋(feedback)教育現場，形成 良性的溝通與互動的管道。

學習成就係指個人在接受教育或訓練的過程中，因而獲致的學習結果，亦即 個人經過學習之後，在實際上擁有的知識或能力。例如：高等考試的及格、駕照 的取得。而學習成就評量為測量個體在各方面學習成就上達成的結果和程度，廣 義而言，包括學校內部學科的評量、課程訓練結果的評量等等。成就評量的使用 可以了解個人在學科上吸收的知識量的多寡？或在一般綜合科目學習上達到的 課業水準？並且將這些結果成為比較的依據，例如可以作為比較男女(sex)或性別 (gender)的異同，參見 Santos, Ursini, Ramirez, & Sanchez (2006)的比較；同時，數

2

學成就評量亦可用來預測數學資優生未來之表現(呂玉琴、侯成龍，2012)。然而 大部分的有型或系統化的學習都是在學校及訓練機構中實施，所以成就評量幾乎 都運用在教學或訓練情境之中。目前紙筆演算考試成績，仍為許多學校與家長評 鑑學童學習成就表現的主要依據(林吟霞，2010)。因此學習成就評量格外受到社 會廣泛的注意。

在一般的教學實務上，多數的學生都視數學學習為畏途(吳明隆、葛建志，

2006)。有鑒於此，臺南地區的著名○○高級中學特別施行國民小學學習成就評量 以了解學生實際情況，業已歷經十年，每年都有一千名以上的學生參加，雖然該 校聘請○○大學教授進行命題，且獲致好評。然而其吻合評量理論的程度，以及 該地區學生概念分析卻付闕如，殊為可惜。職是之故，本研究參考林壽福、顏錦 偉、蘇柏奇、洪雪芬、詹婉華、張煥泉、阮正誼(2012)與余民寧(1997)的手法，並 透過評量分析學對其 104 學年度的試卷就數學素養(Mathematical literacy)的情況 加以分析，希冀了解其命題的信度(reliability)、效度(validity)，進而了解該地區迷 思概念以及其他有用訊息，成為未來補強教學(remedial instruction)的參考。

第二節 研究目的與待答問題

根據前述研究動機，本研究依據教育部在民國 97 年發布的數學領域新課程 綱要與能力指標作為基礎，進行臺南地區的○○高級中學的國民小學六年級數學 科學習成就評量試卷的分析，以了解其導向，透過 SPSS 試題軟體以及 Excel 軟 體進行數據與圖表製作，以檢視全體受試者的偏執，並進而了解較容易在那些地 方可能產生問題。

因此本研究的主要目的希冀透過試題的檢核，完成下列幾點：

1.探討六年級學生在數學領域基礎概念的了解情形。

2.探討六年級學生在數學領域的基礎概念的迷思概念。

而根據上述研究目的，需面對回答的問題如以下幾點：

1.六年級學生對數學領域的基礎概念理解情形為何？

3

2.六年級學生對數學領域的迷思概念為何？

第三節 名詞解釋

壹、 雙向細目表

雙向細目表(The table of two-way specification)是編製評量的藍圖，也是作為 命題的依據，藉由表格可以描述一份評量中所應該包含的學習內容以及該次評量 所應達到的目標或能力(Anderson & Krathwohl, 2001)。

雙向細目表一般依據教學內容與教學目標，依照教學目標不同，評量功能以 及命題取向範圍或方式將會有所改變。通常以 Bloom 的教學目標作為依據，分別 為知識、理解、應用、分析、綜合、評鑑作為能力層次(Bloom, 1956)。

貳、 質數

質數（prime number），指的是大於 1 的自然數（natural number，正整數）之 中，只有此數的自身之外，無法被其他自然數整除的數，等同於並沒有其他正因 數。

參、 因數、倍數

整數（integer）係包括正整數、負整數與零的集合。現若 n 與 m 為整數，且 m 為非零（nonzero）整數，n 除以 m 為沒有餘數(remainder)的整數，那麼我們稱 m 就是 n 的因數(divisor)；反之， n 為 m 的倍數(multiple)。在討論因數與倍數時，

被除數(dividend)、除數(divisor)、商(quotient)皆為整數且餘數為零時，此關係才 會成立。並且在討論因數的時候，因數有正因數以及負因數，由於負因數並沒有 安排在小學課程綱要中，基本上本研究並不會討論。

肆、 餘數

如果 a 和 d 是兩個自然數，就可推演出存在唯一的整數 q 和 r 來滿足 a = qd + r 且 0 ≤ r < d。其中，q 被稱為商， r 被稱為餘數。

在實數的範疇內，將 a 和 d 拓展為整數，d 為非零，那麼餘數 r 滿足這樣的 關係：a = qd + r ， q 為整數，且 0 ≤ r < |d|。

4

伍、 多邊形之內角和與外角和

在幾何學中，多邊形的內角是指由多邊形相鄰兩邊所形成的角度，多邊形在 每一個頂點都有一內角。若一個簡單（simple）、封閉（close）的多邊形，其所有 內角都小於 180°，此多邊形稱為凸多邊形。

多邊形的外角是指由多邊形的一邊和鄰邊的延長線所形成的角度，每一個頂 點都會有兩個大小相等的外角，並且同一頂點的內角和外角互為補角(180°)。

一個簡單的多邊形的內角和為[180(n-2) ]°，其中 n 為多邊形的邊數（n 為大 於 2 的整數）。此公式可用數學歸納法進行證明，已知三角形的內角和 180°，假 設 n=k(k ∈ 𝑁/{1,2,3})成立，使的 n=k+1 成立而完成證明。同時，藉由內角和公式 可以求出外角和：[180n-180(n-2)]°=360°。

陸、 同餘

有兩個整數 a 和 b，分別除以正整數 m 而有同樣的餘數，這時稱 a、b 對於 n 同餘(Congruence)，記作 a≡b(mod n)，且同餘擁有三種性質：整除性、傳遞性與 保持實數的基本運算。

整除性，若a≡b，則 a-b=cn，c 為整數，換句話說，n 為(a-b)的因數。

傳遞性，若a≡b(mod n)且 b≡c(mod n)，則 a≡c(mod n)。

保持實數的基本運算，因為 mod 是建立於乘法與加法之上，所以加法單位元 素、乘法單位元素、加法與乘法的封閉性都會符合。

若a≡b(mod n)且 c≡d(mod n)，因為加法交換率、加法反元素以及加法分配律，

則 a±c=b±d(mod n)，同時 ac=bd(mod n) 也因乘法交換率、乘法反元素與乘法分配 律而可以通用於所有實數。

柒、 線對稱與點對稱

線對稱，又稱作軸對稱，指一個圖形沿著一條直線（對稱軸）摺疊，使的直 線兩旁的圖型能夠互相重合，同一個圖形可以有多條對稱軸，正多邊形為其典型 例子。

點對稱的定義為在一個封閉的圖形，以其中心的某一點為旋轉點，旋轉 180

5

度以後，能夠和原來的圖形完全重合，其旋轉的中心點稱做對稱中心。橢圓形可 以為點對稱的例子，其長軸與短軸也是線對稱的對稱軸。

捌、 比例尺

比例尺，意指圖上的距離比實際距離縮小的比例或比值，公式表示即為比例 尺=圖上距離：實際距離=^圖上距離

實際距離 。比例尺因為是距離的比例，即為長度上的比較，

在進行面積或體積的比例運算時，需進行平方或立方的運算。

第四節 研究限制

壹、 取樣範圍

因為資料取樣只有臺南市的某地區國民小學的六年級進行施測，參加的學生 都是自願者，資料並不具備同學年的學童能力之一般性，故無法推演到其他地區 的同年級有無類似情況。

貳、 命題題型

此次命題分為選擇題與計算題。選擇題基本上使用一個觀念以及四則運算就 可以處理，為了顧及數學工具上的使用、生活應用、點對稱與線對稱的區別而區 隔學習上的差異。

參、 命題題目樣本之障礙

因國民小學基礎數學的演算基礎建立在單元『數與量』的基礎之上，而無法 比照高中（職）生有基礎演算能力的前提之下做成就評量之討論，若『數與量』

的能力沒有達到某種程度的精熟狀況下很容易造成計算錯誤頻繁或不知如何操 作計算工具而無法得分、計算題空白、選擇題亂猜之情形，而產生誤差，影響推 論的準確性。

6

7