1.1 研究動機與方向
Gallager 在 1960 年的博士論文[1]中首次提出的低密度奇偶查核(low-density parity
check, LDPC)碼，為一線性區塊通道碼(linear block channel code)，且對於資料傳輸與通 道儲存提供了接近容量(near-capacity)的效能。由於 VLSI 實作上的難度，早期研究只有 Zyablov 與 Pinsker[2]，Margulis[3]，和 Tanner[4]。其中 Tanner 針對低密度奇偶查核矩陣 建構了雙邊架構圖，包含變數點與查核點以及邊際線，對於之後疊代訊息解碼演算法有 深遠影響。近期則有 Spielman[5]與 Mackay[6][7]的研究。此外，具有長區塊的 LDPC 碼 透過疊代解碼過程展現出接近容量的效能[8]，也是一重要的研究議題。基於 LDPC 矩陣 的建構影響疊代複雜度及其效能的事實，因此 Hu 等研究者[9][10]，提出累進邊際成長 演算法(progressive-edge growth, PEG)，主要概念在於建構長周長的 LDPC 矩陣，且建構 過程中確保新增的邊際不會影響當前的周長。
被遺忘 40 餘年的 LDPC 之所以能夠重見天日，其實有其歷史催生因素存在。首先，
於 1962 年，當時錯誤修正碼的主流用途幾乎都是聲音的傳送，其編碼長度 n 比較短，
無法充分發揮 LDPC 碼的優點，其效能也差於早兩年開發的里德所羅門碼(Reed Solomon Code)。如今，時空逆轉，多數應用環境的編碼長度 n 從數百到數萬，尤其是高速資料 通訊。例如無線的資料通訊應用，編碼長度 n 約在 200～5,000 個位元之間；若是光纖的 中樞網路，其編碼長度 n 就可以高達數萬個位元。過去被視為標準錯誤修正碼的里德所 羅門碼，其典型的編碼長度 n 約是在 255。但是，不可否認的，LDPC 碼當編碼長度 n 越龐大時，符號的計算量也跟著大幅度增加，可能是以 n 的平方或是 n 的 3 次方遞增。
不過，打破此僵局的 Flarion Technologies 找到減少計算量的方法，讓計算量與 n 成比例，
此問題便被克服。
第二個讓 LDPC 碼浴火重生的觸媒就是半導體製程的進步。誠如先前所提，LDPC 碼能夠揮灑的空間是編碼長度 n 較大的場合，也就意味著處理電路的規模也會相對成比 例增加。晶片面積也跟著變大，成本自然上揚，而解決此問題的絕佳良方就是 90 奈米 的半導體製程。美商朗訊(Lucent)曾針對光通訊用途，採用 0.16 毫米製程試做一個 1Gbps 傳送速度的 LSI，內部光是編碼電路的門閘數量就高達 175 萬個，LSI 的大小為 7.2 毫米。
另一家公司 System LSI 也針對 HDD 訊號處理電路用途，採用 0.13 微米製程，試做一個
1Gbps 傳送速度的 LSI，內部電路的門閘數量也是接近 100 萬個，LSI 的大小為 3 毫米。
依據 LSI 設計廠商的估算，若是採用 90 奈米設計準則，LSI 大小約可以降到 2 毫米，邁 入實用化便來日不遠。
至於分散式訊源編碼(distributed source coding, DSC)的相關研究，則起源於 1970 年 代 Slepian 和 Wolf 針對兩相關訊源提出的無失真編碼理論[11]。主要訴求是，兩個有相 關性的訊源，可藉由資源共享的合併編碼(joint encoding)模式降低其理論熵值(entropy)。
更重要的是，即使在各自獨立編碼(separate encoding)的情況下，仍能以合併解碼(joint decoding)模式取得相同的理論熵值。為了具體實現這個壓縮理論值，2003 年 Pradhan 和 Ramachandran 首次運用了通道編碼理論的碼分級校驗子(syndrome)觀念[12]。他們將兩 個訊源所屬的位元序列劃分成定長的區塊，其中一個訊源進行通道編碼處理後傳送其碼 組 (coset) 的 校 驗 子 ； 而 另 一 個 完 全 不 壓 縮 的 訊 源 則 視 為 接 收 端 的 邊 訊 息 (side information)。其關鍵在於事先建立一個足以描述兩訊源之間相關性的數學模型，並將 其視之為一虛擬的傳輸錯誤通道。而在接收端，則針對邊訊息進行通道解碼處理，最後 在校驗子所屬的碼組中找出訊源的最佳預估值。分散式訊源編碼系統的壓縮率及合成品 質，取決於兩項關鍵元件：訊源相關模型及校驗子生成機制。
在[13]中，LDPC 碼首次被應用到 Slepian-Wolf 理論基礎，利用低密度查核矩陣進 行訊源壓縮並產生其校驗子，且採用對稱性分散式訊源架構進行分析。而 Xiong 等學者，
進一步將 LDPC 碼運用到非對稱的 DSC 上[14]。假設通道無傳輸錯誤下，以虛擬的二位 元對稱通道(binary symmetric channel, BSC)模擬兩訊源間的相關性，將校驗子訊息納入 疊代解碼過程，其效能遠高於渦輪碼的最佳值。Eckford 等學者者提出 LDPC 碼在記憶 性通道(Gilbert-Elliott channel)的運用[15]，更能符合實際通道環境的模擬。我們將以此 為參考，建構一記憶性虛擬通道(Gilbert channel)，並具體實現基於 LDPC 碼的 DSC 架 構，同時附加考慮的狀態點資訊也有助於疊代解碼正確還原訊源。
針對雜訊環境下的 Slepian-Wolf 壓縮，Hu 與 Li 於[16]中提供模擬架構，分開訊源 與通道編碼可使設計簡單且易於掌控，合併解碼採用渦輪原則提昇整體效能。至於疊代 訊源通道解碼(iterative source-channel decoding, ISCD)，主要探討 Slepian-Wolf 壓縮輸出 的校驗子經由雜訊通道傳輸時的挑戰。我們將考慮兩種通道碼，LDPC 碼應用在分散式 訊源編碼的校驗子生成，由於校驗子有誤，解碼採用擴展式 LDPC 矩陣進行疊代訊息演 算法，而迴旋碼(convolution code)則提昇壓縮資料對抗通道雜訊的能力，解碼以 BCJR 演算法為主，並求出通道額外訊息做為訊源解碼端的軟性輸入信息。透過兩解碼器之間
額外訊息的交換，以提昇整體解碼效能。
1.2 章節概要
第 2 章介紹 LDPC 碼的理論基礎，包含矩陣表示與 Tanner 圖，以及通道解碼所使 用的演算法，PEG 建構方式也一併討論。第 3 章介紹 DSC 原理與基於 LDPC 碼的分散 式訊源編碼機制，另外分別檢視虛擬通道為 BSC 或 Gilbert 通道的解碼流程。第 4 章則 介紹疊代訊源通道解碼，包含額外訊息的運作與 BCJR 演算法，及針對校驗子傳輸錯誤 而推導的擴展式 LDPC 碼。第 5 章進行實驗模擬與分析。第 6 章則為結論與未來展望。