管制界限設定方式

− ，在經過調整之後得到近似最大的 ARL₀，但沒有 達到不偏，因此以下利用新的方式獲得一個近似最大與近似不偏的 ARL₀。

3.3 發展新的方法 發展新的方法 發展新的方法 發展新的方法

當製程不合格率已偏離目標值，其 ARL 值仍然持續上升，這代表製程等待 更久的時間才能發出正確警訊，無法及時的偵測出製程已產生衰退的情形，使 用 ARL0與 ARL1來代表 ARL 中的p = p₀與p ≠ p₀的情況，要使 ARL0極大致使 發生錯誤警訊情況減少，ARL₁要很小以致於當不合格率 p 開始偏移可以很快 的被偵測，然而，在建構 CCC-r 不良品時，非最大與偏態的 ARL0或許會存在，

非最大的 ARL₀意味著部分的 ARL₁大於 ARL₀。在此一原因下，在監測不合格 率的轉變與偏移要花比較久的時間。這是很嚴重的問題，特別是當不合格率在 最初就發生已從目標值 p₀衰退情況。

吾人試圖利用新的方式得到調整之後的上下管制界限，試圖得到一相對應 的近似最大與不偏的 ARL 值。所謂近似最大與不偏的 ARL，是指當 p 在相當 接近 p0或是等於 p0的情況下可得到 ARL 值近似 1/α，以下為新方式建立管制 界限的方式與其推導過程。

3.3.1 管制界限設定方式 管制界限設定方式 管制界限設定方式 管制界限設定方式

在此建立新的方式以取得近似最大與不偏的 ARL0，此方法由以下的數學模 式呈現。

21

22

23

0 500 1000 1500 2000 F[1](x|r,p)

24

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 F(r/p0|r,p0)

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 F(r/p0|r,p0)

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 F(r/p0|r,p0)

p₀

25

現在以 α=0.0027、0.01，r=1,5，p₀=10ppm,2500ppm 將其所對應的管制區間 裡的的β(p₀|I_k)斜率曲線描繪比較，如圖 3-5、3-6 所示。

k(Index of control inerval|I_k)

-5 0 5 10

β(p0|Ik)的斜率

k(Index of control inerval|I_k)

-1000

k(Index of control inerval|I_k)

-10 0 10 20

β(p0|Ik)的斜率

k(Index of control inerval|I_k)

26

k(Index of control inerval|I_k)

-5 5 15 25

β(p0|Ik)的斜率

k(Index of control inerval|I_k)

-5000

k(Index of control inerval|I_k)

-20

k(Index of control inerval|I_k)

27

28

由 L`Hospital`s 法則可得知

( ( ) ) (

0

)

0 ¹

(

^{0 1}

) (

0

)

29

且^{L∞ =F−1}

(

^{α| ,r p0}

)

⁺¹

{

^{F L}

(

^{∞ −1 | ,r p0}

)

^=α

}

^{。F r r p}

⁽

^{| , 0}

⁾

^{> ⇔α p0r > ⇔α}

( )

¹

p L_∞ ≤ X ≤U_∞ = ，這將會違反方程（4）。於是當I_∞要滿足方程（4）時，p₀^r ≤α 是一充要條件。

在此使用上管制界線為發展新方式的初始的位移點，主要原因來自於當 r 較小而不合格率目標值較小的情況也相對較小的情況下，滿足方程式（4）與

（5）的上管制界限極可能過大，因而造成電腦整數溢位的問題，為避免此情 況發生故選擇上管制界限為新方式的初始位移點。

3.4 管制界限的演算法 管制界限的演算法 管制界限的演算法 管制界限的演算法

依下列步驟進行上下管制界限的演算過程，首先利用 p0與 α 算得一個初始的 管制上下界限，在其後利用UIntitiative =F⁻¹

(

1−α| ,r p0

)

，以固定區間移步的方式先 計算成對的管制上界區間為 ( ,I_lb I_ub)，直到β^[1]_p ( |p I_ub)≤0即停止，在此之後以二

元搜尋法找到β^[1]_p ( |p I_lb)≥0與β^[1]_p ( |p I_ub)≤0間β^[1]_p ( |p I_ub)剛好跨越小於 0 的I_ub 值。演算邏輯如下所示：

步驟一：輸入 p0、α、r。

步驟二：先計算UIntitiative。

步驟三：決定搜尋的區間 I_lb與 I_ub 使 I₀=UIntitiative

crossInterval=跨步區間 do{

Ilb=Iub，Iub=Iub+crossInterval，利用方程式（7）與方程式（8）計算

[1]_p( | _ub)

ARL p I 與β^[1]_p ( |p I_ub)

30

} while β^[1]_p ( |p I_ub)>0 步驟四：二元搜尋法

do{

U=(U_ub＋U_lb)/2；I=（L,U）

if β^[1]_p ( |p I_ub)≤0then Uub =U else Ulb=U } while (Uub^－Ulb)>1

Output I=（L_ub,U_ub）。

31

第四章 第四章 第四章

第四章 研究結果評估與比較 研究結果評估與比較 研究結果評估與比較 研究結果評估與比較

在這一章節主要是將新方法所得到 ARL 數值及其參數所對應之結果進行評 估，並且與原始研究高產出率製程的方法做一比較，探討其相關數值及績效。

4.1 參數設計與比較 參數設計與比較 參數設計與比較 參數設計與比較

以下以目標值 p0=10ppm，與 r=1、3，並以 α=0.01、0.005、0.0027 實際計算 各相對應的管制區間，如表 4-1 所示，利用此方式確認演算法所計算的管制區間 所算得ܣܴܮ^ሾଵሿ是否在 ARL 所描繪出的曲線上剛好斜率為負，並且觀察 ARL 是否 近似 1/α。

表 4-1 r=1、3, α=0.0027, 0.005, 0.01, p0=10ppm 所對應之管制區間與 ARL0

p₀

(ppm) r α 管制區間 ARL₀目標值

(1/α) ARL0 ܣܴܮ^ሾଵሿ

10 1

0.0027 241 813024 370 371.523 -120.7701

0.005 442 743437 200 200.365 -47.9187

0.01 874 664330 100 100.053 -38.4298

3

0.0027 24778 1185078 370 370.376 -427.5347 0.005 30724 1105692 200 200.007 -149.5163

0.01 39284 1014775 100 100.001 -89.02411

現在以 p0=10ppm，r=1，α=0.01、0.005、0.0027，計算其對應的 ARL0是否為 近似最大與近似不偏如圖 4-1 所示。並與理論值的 ARL 做一對照如，由此可看 出當ܣܴܮ^ሾଵሿ經過程式演算在相對應的管制上下區間可得到一個負值，而經此計算 出的 ARL 值也是最接近 1/α。

32

33

（b）α=0.0027, p₀=10ppm

圖 4-2 CCC 在 r=1~4, p0=10ppm 利用新方法所求之 ARL 曲線

表 4.3 為在 α=0.0027，r=1~6，p=100~5000ppm 利用新方法所求的各管制區 間，由此可得知在 ARL 近似最大與近似不偏時所對應之管制區間。這也符合吾 人在一開始發展新方法的目的，除了得到一近似最大與不偏的 ARL，也印證在使 用一個以上的不合格品為檢驗依據的情況下，該管制圖對於不合格率偏離目標值 時可快速的監測到。

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0 5 10 15 20

ARL

不合格率 不合格率 不合格率 不合格率(10^-6)

r=1 r=2 r=3 r=4

34

35

4.2.2 利用 利用 利用 Xie 法所得 利用 法所得 法所得 CCC-r 數值結果 法所得 數值結果 數值結果 數值結果

利用之前所提到 Xie et al. (2000)所提出將初始所求之管制上下界線乘上一調 整系數α_γ^{，所得到 CCC}modified管制界限，在 p₀=500ppm，α=0.0027，r=1 描繪出 所對應的 ARL 曲線，如圖 4.3 所示。

圖 4-3 r=1，α=0.0027，p0=500ppm 利用 Xie 法所求的之 ARL 曲線圖

4.3 評估與比較 評估與比較 評估與比較 評估與比較

現在利用 Xie et al. (1999)提出計算管制上下界的方式進行 ARL 的計算，在此 稱為初始法，而利用 Xie et al.(2000)所提出的調整係數所得 CC_modified管制上下界 限進行 ARL 的計算，在此稱為 Xie 法。現在利用初始法、Xie 法、新方法三種方 式在 r=1，α=0.0027、0.01，p₀=10ppm、500ppm 參數所對應的 ARL 曲線圖，先 進行圖形上的觀察。如圖 4.4 所示。

0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 700.0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

ARL

不合格率 不合格率 不合格率 不合格率(10^-6)

ARL-Xie

36

37

38

該方法在 p₀所對應的 ARL₀值是相當大的，甚至比初始法最高的 ARL₀值還高。

現在已經確認新的方法都比原始的方式較佳，所以使用新的方法，並將測試 的 r 值放大到 6，而 p₀則由原先的 p₀=1~2500ppm 改為 p₀=1~4000ppm，並比較各 參數之間對指標的影響。如表 4-5~表 4-8 所示。

由表 4-5~表 4-8 可得知當 r 較大的時候，ARL₀誤差（bias）百分比與 p₀的偏 誤（deviation）百分比都變小，可見得之前所提的當 CCC-r 的 r 值高的時候對於 微小的不合率的偏移是相當敏感的。

由本章節的實驗結果可得到以下幾點發現：

１. 相同參數可知經過初始法所得到的管制界限經過調整係數之後所得到的 最高 ARL 值並非都會比原先初始法所得到的 ARL 值來得大。

２. 在相同的 α 與 p₀，當ｒ逐漸升高則新方法的偏誤百分比會逐漸降低。

３. 在相同的 α 與 p0，當ｒ逐漸升高則新方法的誤差百分比會逐漸降低。

４. Xie 法在進行尋找最高的 ARL₀時，其所對應的不合格率並不一定在目標 不合格率 p0之上，有可能是在之前或之後。

39

表 4- 3 r=1,α=0.01 計算的 ARL₀誤差（bias）百分比與 p₀的偏誤（deviation）百分比

ARL0誤差（bias）百分比 p0的偏誤（deviation）百分比

初始法 Xie 新方法 初始法 Xie 新方法

p0(ppm) 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值

(0,500] 1.24 4.64 32.41 39.05 1.10 4.92 31.07 31.50 0.22 1.00 0.03 0.80 (500,1000] 3.79 8.95 32.05 47.58 3.27 10.77 30.09 31.50 0.66 1.90 0.11 1.70 (1000,1500] 5.20 11.03 29.48 44.05 5.23 17.34 29.54 31.50 0.82 1.90 0.20 2.60 (1500,2000] 6.98 14.23 41.39 68.35 10.04 21.69 28.84 31.50 2.59 3.90 0.17 3.20 (2000,2500] 14.64 19.85 30.73 44.33 12.30 28.97 25.92 28.10 0.84 1.90 0.34 4.10

表 4- 4 r=1,α=0.0027 計算的 ARL0誤差（bias）百分比與 p0的偏誤（deviation）百分比

ARL₀誤差（bias）百分比 p₀的偏誤（deviation）百分比

初始法 Xie 新方法 初始法 Xie 新方法

p0(ppm) 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值

(0,500] 4.13 14.24 36.74 73.48 4.22 22.14 27.33 28.60 0.88 3.00 0.09 2.60 (500,1000] 11.32 19.96 42.67 73.59 17.42 44.63 25.12 28.60 1.08 2.90 0.21 4.70 (1000,1500] 19.55 33.28 24.24 73.65 37.11 89.67 22.50 28.50 3.16 5.20 0.54 7.80 (1500,2000] 12.69 19.37 38.93 58.36 38.98 61.27 24.68 27.00 0.85 1.70 0.00 0.00 (2000,2500] 24.86 29.86 10.40 22.46 8.17 20.50 20.85 22.60 3.05 4.30 0.00 0.00

40

表 4- 5 r=2~6,α=0.0027 所對應的 ARL0誤差（bias）百分比

r=2 r=3 r=4 r=5 r=6

p0（ppm） 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值

(0,500] 0.23 1.11 0.09 0.42 0.05 0.25 0.03 0.18 0.02 0.14

(500,1000] 0.73 2.29 0.26 0.85 0.15 0.48 0.10 0.35 0.07 0.27

(1000,1500] 1.21 3.52 0.44 1.31 0.24 0.77 0.17 0.51 0.13 0.40

(1500,2000] 1.74 4.80 0.59 1.80 0.34 1.01 0.22 0.72 0.18 0.55

(2000,2500] 2.16 6.20 0.78 2.19 0.45 1.28 0.30 0.89 0.22 0.68

(2500,3000] 2.91 7.29 0.96 2.66 0.53 1.54 0.36 1.06 0.27 0.80

(3000,3500] 3.09 8.45 1.12 3.18 0.64 1.81 0.43 1.27 0.33 0.96

(3500,4000] 4.03 10.03 1.29 3.58 0.73 2.05 0.50 1.46 0.38 1.11

表 4- 6 r=2~6,α=0.01 所對應的 ARL0誤差（bias）百分比

r=2 r=3 r=4 r=5 r=6

p0（ppm） 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值

(0,500] 0.11 0.51 0.05 0.23 0.03 0.15 0.02 0.12 0.02 0.09

(500,1000] 0.34 1.13 0.15 0.50 0.09 0.33 0.06 0.24 0.05 0.18

(1000,1500] 0.57 1.71 0.24 0.76 0.15 0.46 0.10 0.36 0.09 0.28

(1500,2000] 0.80 2.29 0.34 1.05 0.21 0.63 0.16 0.47 0.12 0.37

(2000,2500] 1.05 2.88 0.44 1.28 0.27 0.81 0.20 0.60 0.16 0.47

(2500,3000] 1.29 3.50 0.54 1.51 0.33 0.99 0.24 0.72 0.19 0.56

(3000,3500] 1.50 4.08 0.64 1.83 0.40 1.14 0.28 0.83 0.23 0.68

(3500,4000] 1.75 4.72 0.73 2.07 0.45 1.33 0.33 0.96 0.26 0.76

41

表 4- 7 r=2~6,α=0.0027 所對應 p0的偏誤（deviation）百分比

r=2 r=3 r=4 r=5 r=6

p0（ppm） 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值

(0,500] 0.01 0.10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

(500,1000] 0.02 0.30 0.01 0.10 0.00 0.10 0.00 0.00 0.00 0.00

(1000,1500] 0.04 0.40 0.01 0.10 0.01 0.10 0.00 0.10 0.00 0.00

(1500,2000] 0.05 0.60 0.02 0.20 0.01 0.10 0.01 0.10 0.00 0.10

(2000,2500] 0.07 0.70 0.03 0.20 0.02 0.10 0.01 0.10 0.01 0.10

(2500,3000] 0.07 0.80 0.04 0.30 0.02 0.20 0.02 0.10 0.01 0.10

(3000,3500] 0.08 1.00 0.04 0.30 0.03 0.20 0.02 0.10 0.02 0.10

(3500,4000] 0.13 1.20 0.05 0.40 0.03 0.20 0.02 0.10 0.02 0.10

表 4- 8 r=2~6,α=0.01 所對應 p0的偏誤（deviation）百分比

r=2 r=3 r=4 r=5 r=6

p0（ppm） 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值

(0,500] 0.00 0.10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

(500,1000] 0.02 0.20 0.00 0.10 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

(1000,1500] 0.03 0.30 0.01 0.10 0.00 0.10 0.00 0.00 0.00 0.00

(1500,2000] 0.04 0.30 0.02 0.10 0.01 0.10 0.00 0.10 0.00 0.00

(2000,2500] 0.05 0.40 0.02 0.20 0.02 0.10 0.01 0.10 0.00 0.10

(2500,3000] 0.06 0.50 0.03 0.20 0.02 0.10 0.02 0.10 0.01 0.10

(3000,3500] 0.07 0.60 0.03 0.30 0.02 0.20 0.02 0.10 0.01 0.10

(3500,4000] 0.09 0.70 0.04 0.30 0.03 0.20 0.02 0.10 0.02 0.10

42

第五章 第五章

第五章 第五章 結論 結論 結論與建議 結論 與建議 與建議 與建議

在經過前幾章節對計數值管制圖應用在高產出低不良率製程上的敘述與 探討，接著之後有學者提出以 CCC-r 管制圖替代目前常使用的管制圖。在本 章將對原始所使用的計算 CCC-r 管制圖上下管制界限的方式與本文所提出的 方法做研究上的總結與未來研究上的建議。

5.1 研究 研究 研究 研究結果 結果 結果 結果

目前業界所使用之不合格率管制圖，在當製程不合格率相當低的時候，

會因為無法滿足常態性假設，而造成錯誤警訊的增加。也因為不合格率很低，

所以往往要花費一段很長的時間或是檢測相當高的數量才會檢查到一個不合 格品，導致在描繪管制圖時會在下管制界限出現許多為零的點，這不但耗費 資源也無法提供現場的管理者有用的資訊。在另一方面，由於不合格率相當 低，管制下限容易產生小於零的情況，因此情況所設定的管制圖下限將無法 作為製程是否有改善的依據。基於上述所說，原始的不合格率管制圖不適用 於高產出低不合格率的製程，後續才由學者發展出 CCC 管制圖取代目前實務 上所使用之不合格率管制圖。

但是由於 CCC 管制圖只單觀測一個不合格品，因此無法適用於當不合格 率發生微小轉變之製程，所以後續為了提高 CCC 管制圖對於製程偵測不合格 率的效率，提出了多考慮檢測 r 組的樣本，或可說將原本只監測到一個不合 品的情況，提高到偵測 r 個不合格品即停止，因此衍生了 CCC-r 管制圖。

然而在初始法所設定的管制上下界限，可看出雖然不合格率小於 p0的情 況下可快速偵測到不合格率的轉變，但是當不合格率開始偏離目標值 p₀之初，

其 ARL 值還是呈現遞增的情況，在此一情形下亦無法快速的發出警訊，告知

43

管理者製程已發生偏移。而 Xie 法所設定的的管制上下界限雖然可在不合格 率在偏離目標值時快速被偵測出，有效提升 CCC-r 管制圖偵測不合格率偏移 的靈敏度，但是該方式會造成最大的 ARL₀度膨脹，且因為管制法的基礎為一 間斷型分配，在實際運算時該方式所形成的最高的 ARL 對應的不合格率不一 定在 p₀之上，有可能在之前或之後。而本文獻提出的方式則可綜合上述的優 點，除了最高的 ARL 值是較為接近 1/α，並且使得最高的 ARL0所對應的 p 值 落在 p₀之上或最靠近其之後。

5.2 研究建議 研究建議 研究建議 研究建議

由於 CCC-r管制圖主要是應用在高產出低不良率製程在偵測對於不合格 率的靈敏度，而 CUSUM 管制圖也是利用積分方程的方式選定在進行表格化 管制圖的參數 k 與 h 值，此一方式也是在觀測製程中不合格率的微小轉變，

或許可將兩個方式的結合並發展出對於偵測不合格率靈敏度更高的管制方 法。

此外在 Bourke(1991)所提出的文獻談到當製程是在控制的情況下，管制圖 為得到相同的 ARL 值所設定的參數，此時使用 ARL 曲線進行比較是相當有用 的。但是為了避免 ARL 的曲線也有連串的特性，所以使用了平均檢定數

（Average Number Inspected，縮寫為 ANI），可利用不一樣的比較標準去判斷 方法的優劣。

44

Bourke, P. D. (1991). Dectecting a Shirt in Fraction Nonconforming Using Run-Length Control Chart with 100% Inspection. Journal of Quality Technology, 23(3), 225-238.

Bourke, P. D. (1991). Dectecting a Shirt in Fraction Nonconforming Using Run-Length Control Chart with 100% Inspection. Journal of Quality Technology, 23(3), 225-238.

在文檔中 應用負二項管制圖於高產出製程之研究 (頁 29-0)