編織體的空間幾何

本研究於 3.1.6 節之實驗操作中發現編織段落可以以為圍塑的方式構成面域，也就是以 邊來構成造型。這樣的構成法如果使用在三角形上，由於三角形為穩定幾何，也就是由 特定三個邊的長度閉合之三角形就可以確立一個固定型(Fig 3-37)。就可以形成與建模軟 體中控制

Fig 3-37 編織的三角幾何

而這樣的幾何關係如果複製、堆疊、與擴大，就可以成為一種三角網格組成的結構(Fig 3-38)，這樣的結構系統與設計件模軟體中的網格(Mesh)工具相當近似。網格是 3D 環境 建立與編輯的一種邏輯，可以顯示模型表面建立的精確座標與距離關係，是設計師處理 造型設計、應付生產各個階段所需編輯資訊的重要功能，可以與許多軟體例如 SketchUp 交換網格檔案格式互相編寫，也可以匯出網格模型至其它軟體進行分析或彩現。在今日 的數位製造中，也用以匯出快速原型設備使用的網格模型製造數位形構的模型。

Fig 3-38 三角網格

由於 Mesh 系統是數位模型的基礎，具有讓虛擬模型分析接近真實的強大定位能力，也 是協助設計者建構立體造型設計的常用手段(Fig 3-39)，故本研究為了能夠建立這樣的造 型系統，必須考慮編織的數學性與幾何性，讓設計者可以透過這樣的三角網格方式轉化

虛擬之模型進入數位化之編織機進行加工。

Fig 3-39 Mesh 結構系統

(1) 圖論與有向圖的研究

在網格系統中的節點與構成邊的線之間的空間關係研究是一種圖論（Graph theory）。圖 論是以圖為研究對象，主要是考慮以頂點和邊組成的圖形的數學理論和方法。圖論中的 圖是由若干給定的頂點及連接兩頂點的邊所構成的圖形，這種圖形通常用來描述事物之 間的某種特定關係，用頂點代表事物，用連接兩頂點的邊表示相應兩個事物間具有這種 關係，例如以編織物而言就是轉折的接點以及具有填充物的線狀連接構造或者相反的思 考。

如果僅考慮兩點存在一邊，稱兩點為相鄰而不考慮中間串連的線的方向性，那麼每條邊 由兩個結點組成，分別代表邊的兩個端點，稱之為無向圖(Fig 3-40 A)；而如果相反的，

這些串聯是有序列的，那麼每條邊是一個結點對，分別代表邊的始點和終點，在空間上 的連結稱為有向圖(Fig 3-40 B)。編織物所製造的空間，由於是具有序列性的，是一種有 向圖的構成。

Fig 3-40 (A)無向圖 (B)有向圖

(2) 由拉路徑

由於編織的材料是由線繩，故具有一條線串完整體結構的特性，在數學幾何上要怎麼用 一條線串完空間中的所有邊，稱之為一筆畫問題。一筆畫問題是圖論中起源於柯尼斯堡 七橋的著名問題(Fig 3-41)，而數學家由拉(Euler)於 1736 年發表的論文《柯尼斯堡的七橋》

中解決了這個流傳許久的七橋問題，這個公式叫由拉第四公式。

Fig 3-41 柯尼斯堡的七橋問題

由拉路徑(Eulerian Path)或稱由拉迴路(Eulerian Circuit)是指從某點出發，每個邊各經過一 次的方式分析尤拉圖形(Eulerian graph)。由拉第四定理可以推算出一幅由拉同型是否可 以尋得由拉路徑。如果一個圖形的滿足多面體頂點數、面數、棱數特有的規律：

V+F-E=2

其中 V 為頂點數、F 為面數及 E 為頂點數，則此由拉圖形可以擁有一筆畫完的由拉路徑。

以圖(Fig 3-42)為例，上排的各種三角網格圖形可以藉由由拉分析得出下排圖形可能一筆 畫完的由拉路徑。也順帶提出瞭解決一筆畫問題的由拉第四定理。

Fig 3-42 由拉圖形之由拉路徑分析

在由拉路徑分析的過程中首先會將路徑上的各點拆解並編號，以行列式紀錄其行走路徑，

以圖 Fig 3-43 為例：此圖形可以由初始狀態，依序增加由 1 到 2 之路徑{1,2}、由 2 到 3 之路徑{2,3}、由 3 到 1 之路徑{3,1}、由 1 到 4 之路徑{1,4}、由 4 到 3 之路徑{4,3}，這樣

的有向圖分析紀錄法，便可提供下一小節由拉路徑運算程式編寫之用。

Fig 3-43 路徑的分析

Fig 3-44 由拉路徑的分析記錄法

(3) 深度優先演算法

為了尋找由拉路徑，如果在程式中同時比對每個邊是否已經被走過，程式負擔將會過於 龐大，以一個具有 100 條邊的圖形而言，搜尋必須完整的運算 100 的 100 次方才行。為 了降低運算的複雜度，故一般會採用兩種方法：廣度優先搜尋(Breadth First Search)和深 度優先搜尋(Depth First Search)。

廣度優先搜尋是先選擇任一個資訊點為起始點，然後依序搜尋相鄰的其他頂點，亦即是 採用階層的方式先搜尋相鄰的頂點，再去搜尋下一層其他相鄰的頂點。如此反覆直到任 何先被搜尋過的頂點，都沒有尚未被搜尋過的相鄰頂點時為止。

而深度優先搜尋則是先選擇任一個資訊點為起始點，然後選擇另一個相鄰的資訊點作為 新的起點再作深度優先搜尋，如此遞迴地進行，直到沒有相鄰的頂點或者所有的相鄰頂 點都已被搜尋過，才回溯到上一層繼續進行深度優先搜尋其他尚未拜訪的頂點。

在點數相對較多的狀態下，本實驗僅需要至少一條的加工路徑即可操作，如此一來深度 優先搜尋的搜尋速度較快，所建立的圖形資料結構較穩定，儘管產生的順序可能每次有 所不同，仍不影響最終的成果，且深度優先搜尋法亦是一種單向串聯性質的搜尋法，較 貼近編織物一條線加工到底的本質，故本實驗將以深度優先搜尋法作為依據，進行由拉 路徑搜尋的輔助製造程式的編寫。