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習 題 3-6

在文檔中 第3章(微積分及其應用) (頁 70-82)

微積分及其應用

 試求定積分8 。

  試求定積分8。

  試求定積分8 。

  試求定積分8 。

  試求函數 與 軸、、 所圍成的區域面積 。

  設函數  與  軸、、 所圍成的區域為下圖  與,試求 與 面積的和 。

習 題 3-6

3-1重點

3

8. 多項式函數極限的性質:

3

微積分及其應用

3-2重點

1. 導數的定義:

   設函數 在  及鄰近區域都有意義,若極限 lim

→  

   存在,

則稱函數 在  的導數存在,並稱此極限值為  在  的導數,

記作,即  lim

→ 

 。

 《註》若函數 在  的導數  存在,則稱  在  可微分,否 則稱為不可微分 。

  設函數 在  可微分,則函數  的圖形在點  的切線 斜率為。

  函 數  在  的 導 數   lim

→

  

 , 若 令, 則

。當  →  時,意指  → ,因此函數  在  的導數亦可表示 為 lim

→  

 。

4. 可微分與連續的關係:

   函數 在  可微分,則  在  必連續 。反之,函數  在 

連續,但 在  未必可微分 。

5. 導函數:

   設函數 的定義域為 ( 

f

R ),又 為  中導數存在的所有數所成 的集合(

f

 ),對於  中的每一個數 ,都恰有一個數  與之對應,

這種對應形成一種函數關係,稱為 的導函數,記作 ,其定義域為

。當  與  定義域相同(亦即  )時,表示函數  在定義域

 中每一個數的導數都存在,則稱  為可微分函數 。  《註》 的導函數  lim

→ 

 。

3-3重點

1. 微分公式:(設 、 為可微分函數)

   坽  若 (  為常數),則 。

  夌  若 ( 為有理數),則 。   奅  若  (  為常數),則  。

  妵  若 ,則 。

  妺 若 ,則 。

  姏 若 ,則 。

  姎 若  

,則

 ( ≠ )。

2. 多項式函數的導函數:

  設 為正整數且 ,實係數多項式函數   …,則   …

3

微積分及其應用

3. 連鎖規則:(設 、 為可微分函數)

若 ,則  。

 《註》設 為可微分函數, 為有理數,若  ,則       。

4. 第二階導函數:

   設 為可微分函數,其導函數為 。若  仍可微分,則其導函數 記作,稱為函數  的第二階導函數 。函數  在  的第二階導 數為 lim

→  

 。

3-4重點

1. 函數的遞增與遞減:

   設區間 在函數  的定義域內,對於  中任意相異兩個數  與:   坽   當 時,恆有#,則稱  在區間  上為遞增函 數;若將上述中不等號「 # 」改成「 」,則稱  在區間  上 為嚴格遞增函數 。

  夌   當 時,恆有$,則稱  在區間  上為遞減函 數;若將上述中不等號「 $ 」改成「 」,則稱  在區間  上 為嚴格遞增函數 。

2. 導數的正負與函數的遞增、遞減關係:

   設 為區間  上的多項式函數,對於任意 d:

  坽  若  恆成立,則  在  上為嚴格遞增函數 。   夌  若  恆成立,則  在  上為嚴格遞減函數 。

3. 函數圖形的凹向:

   設 為區間  上的多項式函數:

  坽   若 在區間  為嚴格遞減函數,則  在區間  的圖形凹 口向下 。

  夌   若 在區間  為嚴格遞增函數,則  在區間  的圖形凹 口向上 。

4. 利用第二階導函數判斷函數圖形的凹向:

  設 為區間  上的多項式函數,對於任意 d:

  坽   若 恆成立,則  在區間  的圖形凹口向下 。   夌   若 恆成立,則  在區間  的圖形凹口向上 。  《註》函數圖形凹向改變的分界點,稱為反曲點 。

5. 函數的極值:

   坽   設、 為函數 定義域中的實數,若在定義域中  鄰近區域的每 個實數,恆有 $,則稱  為函數  的一個極大值;若 在定義域中 鄰近區域的每個實數,恆有 #,則稱  為函數 的一個極小值 。

  夌   設α、β 為函數  定義域中的實數,對於函數  定義域中的每個 實數 都滿足 α$ 且 β#,則稱 α 為函數  的最大 值,β 為函數  的最小值。

6. 多項式函數極值可能發生的點:

   設 為定義在  上的多項式函數,則  極值可能發生的點為    坽   在閉區間 中滿足  的點(亦即函數  的臨界點)。

   夌   閉區間 的端點  和 。

3

微積分及其應用

7. 利用第一階導函數判別極大、極小值:

   設 為多項式函數且 :

   坽   在 的鄰近區域,當  時,;當  時,,則函 數 有極大值 。

   夌   在 的鄰近區域,當  時,;當  時,,則函 數 有極小值 。

8. 利用第二階導函數判別極大、極小值:

   設 為多項式函數且 ,則

   坽   當 時,函數  有極大值 。

   夌   當 時,函數  有極小值 。

3-5重點 1. 反導函數:

   設函數 的導函數為 ,亦即 ,則稱  是函數  的 一個反導函數 。

2. 不定積分:

   設 是函數  的一個反導函數, 為任意常數,則  稱為函數

 的不定積分,以符號8  表示,亦即 8 。

3. 不定積分的公式:

   坽  設  ≠  的有理數,則8  

(  為常數)。

   夌  設  為常數,則8 (  為常數)。

   奅  設  為常數,則8  8 。

   妵  8  8  8。

   妺  8  8  8。

4. 定積分的性質:

   設、 為多項式函數,、 為實數且 , 為任意常數,則   坽  8 。

  夌  8 8 。

  奅  8  8 。

  妵  8  8   8 (其中  )。

  妺  8 8   8。

  姏  8  8   8。

5. 定積分與面積的關係:

   設 為 閉 區 間  上 的 多 項 式 函 數, 定 積 分 8   相 當 於 曲 線

 與  軸、、 所圍成的區域中,在  軸上方部分的面積減去 在 軸下方部分的面積 。

3-6重點 1. 代換積分:

   8   8 (其中  )。

2. 微積分基本定理:

   設 為閉區間  上的一個多項式函數,若  是  的一個反導函 數,則8 。

微積分及其應用

3

(  ) 設,則 的值為 酎  酏  釕  

    釢 。  【3-3】

(  ) 若,則 的值為 酎  酏  

    釕  釢 。  【3-3】

(  ) 已知點 在函數   的圖形上,則過點  的切 線斜率為 酎 

  酏  

  釕 

 釢  

 。  【3-3】

(  ) 函數 在下列哪一區間內為嚴格遞增 ? 酎 3

酏  釕 3 釢 3。  【3-4】

(  ) 函數 

  在下列哪一區間內圖形凹口向上 ?      酎 3 酏  釕  釢 3。  【3-4】

(  ) 下列哪一點是函數 圖形的反曲點 ?      酎  酏  釕  釢 。  【3-4】

(  ) 設 函 數 的 極 大 值 為 , 極 小 值 為 , 則

 酎  酏  釕  釢 。  【3-4】

(  ) 函數 在  有極大值 ,則  酎  

酏  釕  釢 。  【3-4】

(  ) 下列何者是函數 的一個反導函數 ?      酎  酏  釕  

    釢 。  【3-5】

(  ) 已知8 ,8,8 ,若

    8αβ,8αβ,則 αβ 

    酎  酏  釕  釢 。  【3-5】

(  ) 已知8 ,8 ,8 ,則

    8 酎  酏  釕  釢 。  【3-5】

3

微積分及其應用

(  ) 定積分8   

  酎  酏  釕  釢 。  【3-6】

(  ) 定積分8  酎  酏 

  釕  釢 

 。 【3-6】

(  ) 定積分8 酎 

 酏 

 釕  

      釢  

 。  【3-6】

(  ) 函數 的圖形與 軸在區間  所圍區域的面積為      酎  酏  釕 

  釢 

 。  【3-6】

在文檔中 第3章(微積分及其應用) (頁 70-82)

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