習 題 3-6

微積分及其應用

　試求定積分8_^ ^。

　　試求定積分8_^^。

　　試求定積分8_^ ^^^。

　　試求定積分8_^ 。

　　試求函數^ 與 軸、、 所圍成的區域面積 。

　　設函數 ^ 與  軸、、 所圍成的區域為下圖 _ 與_，試求_ 與_ 面積的和 。

習 題 3-6

3-1^重點

3

8. 多項式函數極限的性質：

3

微積分及其應用

3-2^重點

1. 導數的定義：

　 　設函數 在  及鄰近區域都有意義，若極限　lim

→　 

 　 存在，

則稱函數 在  的導數存在，並稱此極限值為  在  的導數，

記作，即 　lim

→　

 。

　《註》若函數 在  的導數  存在，則稱  在  可微分，否 則稱為不可微分 。

　　設函數 在  可微分，則函數  的圖形在點  的切線 斜率為。

　　函 數  在  的 導 數 　 lim

→

　 

 ， 若 令， 則

。當  →  時，意指  → ，因此函數  在  的導數亦可表示 為　lim

→　 

 。

4. 可微分與連續的關係：

　 　函數 在  可微分，則  在  必連續 。反之，函數  在 

連續，但 在  未必可微分 。

5. 導函數：

　 　設函數 的定義域為 （ 

f

R ），又 為  中導數存在的所有數所成 的集合（

f

 ），對於  中的每一個數 ，都恰有一個數  與之對應，

這種對應形成一種函數關係，稱為 的導函數，記作 ，其定義域為

。當  與  定義域相同（亦即  ）時，表示函數  在定義域

 中每一個數的導數都存在，則稱  為可微分函數 。 　《註》 的導函數 　lim

→　

 。

3-3^重點

1. 微分公式：（設 、 為可微分函數）

　 　坽 　若 （  為常數），則 。

　 夌 　若 ^（ 為有理數），則 ^。 　 奅 　若 　（  為常數），則 　。

　 妵 　若 ，則 。

　 妺 若 ，則 。

　 姏 若 ，則 。

　 姎 若  

，則

^ （ ≠ ）。

2. 多項式函數的導函數：

　 設 為正整數且 _，實係數多項式函數 　 _^_^…_^__，則 　 _^_^…__。

3

微積分及其應用

3. 連鎖規則：（設 、 為可微分函數）

若 ，則  。

　《註》設 為可微分函數， 為有理數，若  ^，則 　 　　 ^ 。

4. 第二階導函數：

　 　設 為可微分函數，其導函數為 。若  仍可微分，則其導函數 記作，稱為函數  的第二階導函數 。函數  在  的第二階導 數為　lim

→　 

 。

3-4^重點

1. 函數的遞增與遞減：

　 　設區間 在函數  的定義域內，對於  中任意相異兩個數 _ 與_： 　 坽 　　當__ 時，恆有_#_，則稱  在區間  上為遞增函 數；若將上述中不等號「 # 」改成「 」，則稱  在區間  上 為嚴格遞增函數 。

　 夌 　　當__ 時，恆有_$_，則稱  在區間  上為遞減函 數；若將上述中不等號「 $ 」改成「 」，則稱  在區間  上 為嚴格遞增函數 。

2. 導數的正負與函數的遞增、遞減關係：

　 　設 為區間  上的多項式函數，對於任意 d：

　 坽 　若  恆成立，則  在  上為嚴格遞增函數 。 　 夌 　若  恆成立，則  在  上為嚴格遞減函數 。

3. 函數圖形的凹向：

　 　設 為區間  上的多項式函數：

　 坽 　　若 在區間  為嚴格遞減函數，則  在區間  的圖形凹 口向下 。

　 夌 　　若 在區間  為嚴格遞增函數，則  在區間  的圖形凹 口向上 。

4. 利用第二階導函數判斷函數圖形的凹向：

　 設 為區間  上的多項式函數，對於任意 d：

　 坽 　　若 恆成立，則  在區間  的圖形凹口向下 。 　 夌 　　若 恆成立，則  在區間  的圖形凹口向上 。 　《註》函數圖形凹向改變的分界點，稱為反曲點 。

5. 函數的極值：

　 　坽 　　設_、_ 為函數 定義域中的實數，若在定義域中 _ 鄰近區域的每 個實數，恆有 _$，則稱 _ 為函數  的一個極大值；若 在定義域中_ 鄰近區域的每個實數，恆有 _#，則稱 _ 為函數 的一個極小值 。

　 夌 　　設α、β 為函數  定義域中的實數，對於函數  定義域中的每個 實數 都滿足 α$ 且 β#，則稱 α 為函數  的最大 值，β 為函數  的最小值。

6. 多項式函數極值可能發生的點：

　 　設 為定義在  上的多項式函數，則  極值可能發生的點為 　 　坽 　　在閉區間 中滿足  的點（亦即函數  的臨界點）。

　 　夌 　　閉區間 的端點  和 。

3

微積分及其應用

7. 利用第一階導函數判別極大、極小值：

　 　設 為多項式函數且 ：

　 　坽 　　在 的鄰近區域，當  時，；當  時，，則函 數 有極大值 。

　 　夌 　　在 的鄰近區域，當  時，；當  時，，則函 數 有極小值 。

8. 利用第二階導函數判別極大、極小值：

　 　設 為多項式函數且 ，則

　 　坽 　　當 時，函數  有極大值 。

　 　夌 　　當 時，函數  有極小值 。

3-5^重點 1. 反導函數：

　 　設函數 的導函數為 ，亦即 ，則稱  是函數  的 一個反導函數 。

2. 不定積分：

　 　設 是函數  的一個反導函數， 為任意常數，則  稱為函數

 的不定積分，以符號8  表示，亦即 8 。

3. 不定積分的公式：

　 　坽 　設  ≠  的有理數，則8 ^ ^

（  為常數）。

　 　夌 　設  為常數，則8 （  為常數）。

　 　奅 　設  為常數，則8  8 。

　 　妵 　8  8  8。

　 　妺 　8  8  8。

4. 定積分的性質：

　 　設、 為多項式函數，、 為實數且 ， 為任意常數，則 　 坽 　8_^　。

　 夌 　8_^　8_^　。

　 奅 　8_^　　8_^　。

　 妵 　8_^　　8_^　　　8_^　（其中  ）。

　 妺 　8_^　8_^　　　8_^。

　 姏 　8_^　　8_^　　　8_^。

5. 定積分與面積的關係：

　 　設 為 閉 區 間  上 的 多 項 式 函 數， 定 積 分　8_^　　 相 當 於 曲 線

 與  軸、、 所圍成的區域中，在  軸上方部分的面積減去 在 軸下方部分的面積 。

3-6^重點 1. 代換積分：

　 　8　　　8　（其中  ）。

2. 微積分基本定理：

　 　設 為閉區間  上的一個多項式函數，若  是  的一個反導函 數，則8_^　。

微積分及其應用

3

（　 ）　設^^，則 的值為　酎 　酏 　釕 　

　 　 釢 。　 【3-3】

（　 ）　若^，則 的值為　酎 　酏 　

　 　 釕 　釢 。　 【3-3】

（　 ）　已知點 在函數  ^ 的圖形上，則過點  的切 線斜率為　酎 

 　酏  

 　釕 

　釢  

 。　 【3-3】

（　 ）　函數^ 在下列哪一區間內為嚴格遞增 ？　酎 3

酏 　釕 3　釢 3。　 【3-4】

（　 ）　函數 

 ^^ 在下列哪一區間內圖形凹口向上 ？　 　 　 酎 3　酏 　釕 　釢 3。　 【3-4】

（　 ）　下列哪一點是函數^^ 圖形的反曲點 ？　 　 　 酎 　酏 　釕 　釢 。　 【3-4】

（　 ）　設 函 數^^ 的 極 大 值 為 ， 極 小 值 為 ， 則

　酎 　酏 　釕 　釢 。　 【3-4】

（　 ）　函數^^ 在  有極大值 ，則 　酎 　

酏 　釕 　釢 。　 【3-4】

（　 ）　下列何者是函數^ 的一個反導函數 ？　 　 　 酎 ^^　酏 ^^　釕 ^^　

　 　 釢 ^^。　 【3-5】

（　 ）　已知8_^　，8_^，8_^　，若

　 　 8_^αβ，8_^αβ，則 αβ　

　 　 酎 　酏 　釕 　釢 。　 【3-5】

（　 ）　已知8_^　，8_^　，8_^　，則

　 　 8_^　酎 　酏 　釕 　釢 。　 【3-5】

3

微積分及其應用

（　 ）　定積分8^_ 　 



 　　酎 　酏 　釕 　釢 。　 【3-6】

（　 ）　定積分8_^ 　酎 　酏 

 　釕 　釢 

 。　【3-6】

（　 ）　定積分8_^^^　酎 

　酏 

　釕  

　 　 　 釢  

 。　 【3-6】

（　 ）　函數^ 的圖形與 軸在區間  所圍區域的面積為　 　 　 酎 　酏 　釕 

 　釢 

 。　 【3-6】

在文檔中 第3章(微積分及其應用) (頁 70-82)