第
章
微積分及其應用
3
3
微積分及其應用 微積分就是微分和積分的合稱 。微分是用來研究變化率的，而積分是 用來求累積的和（即計算曲線的長度、區域的面積、物體的體積等）。兩者 之間就像乘法和除法一樣，有著互為反運算的關係，故必須合起來一起研 究，所以合稱為微積分 。 微積分的學理，經過無數數學家多年的耕耘，最後由牛頓（Sir Isaac Newton ∼ ）與萊布尼茲（ Leibniz ∼ ）兩位大師集其 大成，做出比較有系統的總結 。微積分的出現是人類歷史的一件大事，也 影響了現代科技的發展 。3-1
極限的概念（數列與函數）
數列的極限是用來標示無窮數列的趨向，而函數的極限則是用來標示函數 值在某一特定點附近的變化，兩者表面上似不相關的概念，但在運算上的性質 卻非常相似 。3-1.1
無窮數列的極限
在本書第二冊討論數列與級數時曾提及，當數列的項數為無限多項時，稱 為無窮數列。本章所討論數列的極限均指無窮數列而言，首先觀察下面的幾個 無窮數列： 坽 〈 〉： … …，當 趨向無限大時，第 項趨近於 。 夌 〈
〉： …
…，當 趨向無限大時，第 項 趨近於。 奅 〈〉：……，當 趨向無限大時，第 項恆為 。（各項均為 ） 妵 〈 〉： … …，當 趨向無限大時，第 項趨 近於。（ ） 妺 〈〉：……， 當 趨 向 無 限 大 時， 第 項 為 或，無法趨近於一個固定的數 。 姏 〈〉：……，當 趨向無限大時，第 項趨近於無限大，無 法趨近於一個固定的數。 姎 〈 〉：……，當 趨向無限大時，第 項趨近於負 無限大，無法趨近於一個固定的數。 一般而言，我們可將無窮數列的極限定義如下：＊
3
微積分及其應用 設〈〉為一無窮數列，α 為一實數，當 趨向無限大時， 趨近 於α，則稱數列〈〉收斂於α，或稱數列〈〉的極限為α，記作 lim →∞α。 無窮數列的極限 lim →∞α，這裡的等號表示隨著 趨向無限大時， 愈來愈趨近α， 並不代表到最後會α。 上列各例，我們可以符號表示如下： lim →∞ ，lim→∞
，lim→∞，lim→∞ ，lim→∞ 極限不存在， lim →∞ ∞（極限不存在），lim →∞ ∞（極限不存在）。 符號「∞」唸作「無限大」，表示比任何已知的實數都大的一個概 念，僅為一數學符號，並無此數 。同樣的，「 ∞」唸作「負無限 大」，表示比任何已知實數都小的一個概念 。 當無窮數列的極限存在時，稱為收斂數列；當無窮數列的極限不存在時， 稱為發散數列。 關於數列的極限，有下列的運算性質，因證明較繁雜故省略之 。 設〈〉、〈〉為收斂數列，且lim →∞α，lim→∞β， 為一常數，則 坽 lim→∞ lim →∞α 夌 lim →∞ →∞lim →∞lim αβ 奅 lim→∞ lim →∞→∞lim αβ 妵 lim →∞→∞lim →∞lim αβ 妺 lim →∞ lim →∞ lim →∞ αβ （其中 β 且 ≠ 對所有很大的 值都成立） 數列極限的運算性質
在本書第二冊第一章無窮等比級數求和的討論中，我們得知，當 時，lim →∞ 。再配合lim →∞ （其中 為正數），我們可以處理一些簡單的 求極限問題 。 →∞lim
極限不存在，但 lim→∞
。例
題
試求下列各極限： 坽 lim →∞ 夌 lim→∞ 奅 lim→∞ 解 坽 lim→∞ lim→∞ （分子、分母同除以） lim →∞
→∞lim
lim →∞
→∞lim
。 夌 lim →∞ →∞lim （分子、分母同除以） lim →∞ →∞lim lim →∞
→∞lim
。 奅 lim →∞ →∞lim （分子、分母同除以 ）3
微積分及其應用 當 →∞時，分子 →∞， （上式表示：當 趨向無限大時，分子 亦趨近於無限大） 當 →∞時，分母 →， 因為分子趨近∞，分母為定數，分數的極限仍為∞， 所以lim →∞ ∞（極限不存在）。隨 堂 練 習
試求下列各極限： 坽 lim →∞ 夌 lim→∞ 奅 lim→∞ 觀察例題 的結果，我們可以推得在一般情況，直接求取分式型數列 的極限如下： 設、 為 的多項式，則 lim →∞ ，當deg deg 與 領導係數的比值，當deg deg 不存在，當deg deg例
題
試求下列各極限： 坽 lim→∞ 夌 lim→∞ 解 利用當 時，lim →∞ 。 坽 lim→∞ lim→∞
，又 lim→∞
， lim→∞
， 所 以 lim→∞ lim→∞
lim→∞
。 夌 lim→∞ lim→∞
，（分子、分母同除以）又 lim→∞
， lim→∞
， 所 以 lim→∞ 。隨 堂 練 習
試求下列各極限： 坽 lim→∞ 夌 lim→∞ 在求數列的極限時，還有一個重要的性質，那就是夾擠定理，敘述如下： 設〈〉、〈〉、〈〉 為 三 個 無 窮 數 列， 且 從 某 一 項 起， 恆 有 ##，若 lim →∞ →∞lim α（其中 α 為實數），則〈 〉亦 為收斂數列，且 lim →∞α。 夾 擠 定 理3
微積分及其應用例
題
試求極限 lim →∞ sin。 解 因為#sin# 恆成立， 故得－ # sin# ， 又 lim →∞
－
，→∞lim ， 由夾擠定理知： lim →∞ sin。隨 堂 練 習
對於每一個正整數，數列〈 〉滿足 ## ，試求 lim →∞。3-1.2
函數的極限
考慮函數，當自變數 的值愈來愈接近 （但 ≠）時，函數 的值會產生怎樣的變化呢 ？首先觀察 在 附近的一些函數值如下 表： 逐漸增大向 接近 逐漸減小向 接近 由上面的數據得知：當 從左、右兩邊趨近 （≠）時，函數 的值會趨近 。這種情形我們稱為當 趨近時，函數 的極限為，記作 lim → 。另外，我們也可以用函數圖形來呈現函數極限的意義 。 ，如下圖 所示，當 →時， →，亦即 lim → 。 再看，如下圖 所示，當 →時， →，亦即 lim →。 最後再看 （≠），當 趨近 時，因為 ≠，故函數可寫 成（≠），如下圖 所示，當 →時， →，亦即 lim → lim→ lim→ 。 圖 3-1 圖 3-2 圖 3-3 一般而言，我們可將函數的極限定義如下： 設、α 為實數，若函數 ，當 趨 近 於 時（由 的 左、 右 兩 邊 趨 近， 且 ≠ ）， 函 數 的 值 會 趨 近 於 某 一 個 固 定 的 值α，則稱當 趨 近 於 時， 函 數 的 極 限 為α， 記 作 lim → α。 函數的極限
3
微積分及其應用 當 lim → α 時，必須注意： 坽 當 趨近於 時，意指從 的左、右兩邊趨近，而且 ≠ 。 夌 函數在 不一定有定義，亦即 可能有意義也可能無意義。 奅 即使 有意義，lim → 與 也不一定相等 。例
題
設函數 圖形如右，試求： 坽 lim → 夌 →lim 的值 。 解 坽 函數 的圖形在 處為一空心點， 亦即 的值不存在， 但由圖中觀察得知， 不論 從左邊或右邊趨近 ， 函數 的值皆會趨近 ， 所以lim → 。 夌 函數 的圖形在 的函數值為 ， 亦即， 當" 時，"，所以→lim 。隨 堂 練 習
設函數 圖形如右，試求： 坽 lim → 夌 lim→ 的值 。 觀 察 函 數 的 圖 形（如 圖 ）， 當 從 的 右 邊 趨 近 （即 且 → ） 時， 函 數 的 值 趨 近 於 α； 當 從 的 左 邊 趨 近 （即 且 → ）時，函數 的值趨近於β。圖 3-4 （實數α β ） 為了方便起見，我們引進下面的符號： 「 → 」表示 從 的右邊趨近 （即 且 → ）；「 → 」表示 從 的左邊趨近 （即 且 → ）。 坽 當 從 的右邊趨近 時，函數 的值會趨近於定值α，我們 稱α 為 於 的右極限，記作 lim → α。 夌 當 從 的左邊趨近 時，函數 的值會趨近於定值 β，我們 稱β 為 於 的左極限，記作 lim → β。 左、右極限 由函數極限的定義得知：若 lim → α，則 lim→ α 且 lim → α； 反之，若 lim → 與lim → 都存在，則只有在lim → lim → 時， lim → 才會存在，而且→lim lim → lim→ 。 因此，我們可得結論如下： 設函數 在 的鄰近區域有定義，則 lim → α + lim→ lim → α 公 式 《註》 「在 的鄰近區域」意指， 取值於大於或小於 兩邊任意極小（亦即 要多麼小就可多麼小）範圍內的實數值 。
3
微積分及其應用 設有一函數，已知→lim，→lim ，則lim→
或。 坽 設函數 ，當 ，當 $，試求 lim→ 。 夌 設函數 （ ≠），試求 lim→ 。 解 坽 當 時，， 當$ 時，， 所以 的圖形如右： 當 趨 近 （無 論 從 左 邊 或 右 邊 趨 近）時， 會趨近於 ， 故得 lim → 。 夌 當 時， ， 當 時， ， 所以 的圖形如右： 當 由 的右邊趨近 時， 會趨近於 ， 故得 lim → 。 當 由 的左邊趨近 時， 會趨近於 ， 故得 lim → 。 因為 lim → ≠ →lim ，所以 lim→ 不存在。
例
題
隨 堂 練 習
設函數 ，當 $ ，當 ，試求 lim→ 。 雖然數列的極限與函數的極限定義不同，但兩者的運算性質卻非常相似 。 設函數、 在 的極限值分別為α、β，即 lim → α， lim → β，又 為一常數，則 坽 lim → lim→ α 夌 lim → lim→ lim→ αβ 奅 lim → lim→ lim→ αβ 妵 lim → lim→ lim→ α β 妺 lim → lim → lim → α β（β ≠ ） 函數極限的運算性質例
題
試求 lim→ 。 解 利用lim → 及函數極限的運算性質可得 lim → lim → lim→ lim→ ， lim → lim → lim → lim → ， 故得 lim → lim → lim → lim → lim→ 。3
微積分及其應用隨 堂 練 習
試求 lim → 。 事實上，對於任何正整數， lim → 恆成立 。 設、 為二實係數多項式函數， 為實數，則 坽 lim → 。 夌 當 ≠ 時， lim→ 。 多項式函數極限的性質例
題
試求下列各函數的極限： 坽 lim → 夌 lim → 解 利用多項式函數極限的性質 。 坽 lim → 。 夌 lim → 。隨 堂 練 習
試求下列各函數的極限： 坽 lim → 夌 lim → 在求函數極限的問題，有時直接代入會出現 這種沒有意義的結果，因 為 趨近於 時， ≠ ，故 ≠ ，將函數中分子、分母的公因式 約 去，適當的變形，再將 代入變形後的函數，便可得函數的極限 。
例
題
試求下列各函數的極限： 坽 lim→ 夌 lim→ 解 坽 代入 會得到 的結果 。 當 ≠ 時， ， 所以 lim→ lim→ 。 夌 代入 會得到 的結果 。 當 ≠ 時， ， 所以lim → lim→ 。隨 堂 練 習
試求下列各函數的極限： 坽 lim → 夌 lim→ 3
微積分及其應用3-1.3
函數的連續
為了方便說明，我們先介紹區間的表示法，設、 為實數，且 ，R 為 所有實數所成的集合，則規定 坽 ##，d
R。 夌 ，d
R。 奅 #，d
R。 妵 #，d
R。 其中 為閉區間， 為開區間，而 與 為半開閉區間。 除了上面所說明的區間外，我們還規定 3 #，d
R，3 ，d
R， 3 $，d
R，3 ，d
R。 當一函數的圖形已描繪出來，從圖形上可看出這函數在某一特定點連續或 不連續 。直觀而言，當函數 的圖形 在點 沒有斷裂，則函 數 在 連續 。在 節中，我們曾提及函數的極限 lim→ 與函數值 可能相等也可能不相等 。現在，我們將函數的連續定義如下： 函數 滿足下列三個條件： 坽 在 有定義（即 存在）。 夌 lim → 存在 。 奅 lim → 。 則稱函數 在 連續。 當函數 在定義域中的每一點都連續時，我們稱 為連續函數。 《註》函數 的定義域，是指自變數 所有可取值的集合 。 函數的連續 已知函數 在 連續，則函數 的值存在，而且lim → 也存在，並滿足lim → 。 設函數 的定義域為 ，我們稱 為連續函數，意指函數 在 區間 上的每一點都連續 。閉區間 包含端點 和 ，因此函數 在端點、 也是連續，這表示它必須滿足 lim → ，→lim ， 另外，因為多項式函數的定義域為 R，設 為多項式函數，對於任一實 數 均滿足 lim → ， 所以多項式函數都是連續函數，其圖形都是連續不斷的 。
例
題
設函數 ，當≠ ，當 ，則 在 ， 是否連續 ？ 解 ，， 又 lim → lim→ lim→ ， lim → lim→ lim→ ， 故得lim → ，lim→ ≠ ， 所以 在 連續，在 不連續 。3
微積分及其應用隨 堂 練 習
設函數 ，當≠ ，當 ，則 在 是否連續 ？例
題
設函數 ，當 $ ，當 為連續函數，試求實數 的值 。 解 因為 為連續函數，所以 在 連續， 故知 lim → 存在且 lim→ ， 又 lim → →lim ， lim → →lim ， 因為 lim → 存在，故得 →lim →lim ， 亦即，所以 。隨 堂 練 習
設函數 ，當 $ ，當 為連續函數，試求實數 的值 。 試求下列各極限： 坽 lim →3 夌 lim→3 奅 lim →3 妵 lim→3 試求極限 lim →3
。 對於每一個正整數，數列〈〉滿足##， 試求 lim →3 。 設函數 ，當≠ ，當 ，試求： 坽 lim → 夌 →lim 奅 lim→ 試求下列各極限： 坽 lim → 夌 lim → 奅 lim →
妵 lim→ 設 為實數，已知 lim → ，試求 的值 。 設函數 ，當 $ ，當 為連續函數，試求實數 的值 。 當≠ 時，函數 ，若函數 在 連續，試求 的值 。習 題
3-1
3
微積分及其應用3-2
多項式函數的導數與導函數
3-2.1
導數的意義
幾何意義： 欲求過函數 圖形上一點 的 切線 之斜率，我們可以討論如下 。設 為圖形上異於 的任意一點，則割線 的斜率為 ，如右圖 所示 。 當 點 沿 著 的 圖 形 逐 漸 向 點 趨 近 時，割線 也逐漸趨近切線 ，此時割線 的斜 率也會趨近切線 的斜率，若極限 lim → 存在，則切線 的斜率就是 lim → 。 現在，我們將導數定義如下： 設函數 在 及鄰近區域都有意義，若極限 lim → 存 在時，我們稱函數 在 的導數存在，並稱此極限值為 在 的導數，記作，即 lim → 導數的定義 當 函 數 在 的導數 存在時，我們稱函數 在 可 微 分；若 不存在時，則稱 在 不可微分。 圖 3-5由導數的定義可知，當函數 在 可微分，則函數 的圖形在點 的切線斜率為 ，且切線方程式為 。
例
題
已知點 在函數 的圖形上，試求過點 的切線方程式 。 解 已知 為 圖形上的一點， 又 lim → lim → lim→ ， 故得過點 的切線斜率為 。 由點斜式知： 所求切線方程式為， 化簡得。隨 堂 練 習
已知點 在函數 的圖形上，試求過點 的切線方程 式 。 物理意義： 設函數 表示運動物體在時刻 的位置函數，則運動物體從時刻 到 時刻 （≠ ）之間的平均速度為 。又瞬時速度表示極短時間內 的平均速度，當 lim → 存在時，運動物體在時刻 的瞬時速度為 lim → ，亦即當運動物體的位置函數 在 可微分，則運動物 體在時刻 的瞬時速度為 。3
微積分及其應用例
題
設一運動物體在時刻 秒的位置函數為 （單位為公尺）， 試求： 坽 此運動物體在時刻 到 之間的平均速度 。 夌 此運動物體在時刻 的瞬時速度 。 解 坽 在時刻 到 之間的平均速度為 （公尺 秒）。 夌 在時刻 的瞬時速度為 lim → lim→ lim → lim→ （公尺 秒）。隨 堂 練 習
一自由落體在時刻 秒的位置函數為 （單位為公尺）， 試求： 坽 此自由落體在時刻 到 之間的平均速度 。 夌 此自由落體在時刻 的瞬時速度 。3-2.2
多項式函數的導數
由導數的定義，我們可以直接求得多項式函數的導數 。例
題
設函數，試求 在 的導數 。 解 在 的導數為 lim → lim→ lim → lim→ 。隨 堂 練 習
設函數，試求 在 的導數 。 下面例題、例題 雖然不是多項式函數，但仍可利用導數的定義直接求導 數 。例
題
設函數 ，試求 在 的導數 。 解 在 的導數為 lim → lim→ lim → 。隨 堂 練 習
設函數 ，試求 在 的導數 。3
微積分及其應用 導數 lim → ，若令，則 。當 → ，意指 → ，因此函數 在 的導數亦可表示為 lim → 。例
題
設函數，試求 在 的導數 。 解 在 的導數為 lim → lim → lim → lim → lim→ 。隨 堂 練 習
設函數，試求 在 的導數 。例
題
試求函數 在 的導數 。 解 由導數的定義知 lim → lim→ lim→ ， 又 lim → →lim →lim ， 而 lim → →lim →lim ，因為 lim → ≠ →lim ， 所以 lim → 不存在， 故知 在 的導數不存在 。
隨 堂 練 習
試求函數 在 的導數 。 設函數 在 可微分，則 lim → 存在（等於 ）， 故得 lim → lim→
lim → lim→ 亦即 lim → ，所以函數 在 連續 。 反之，函數在連續，但未必可微分。例如：函數 ， 因為，又lim → lim →lim →，而 lim →－ lim →－ lim →－ ， 故 得 lim → 且 lim → ， 所 以 在 連 續 ， 但 由 前 面 例 題 知 在 不可微分。因此，我們可得結論如下：3
微積分及其應用 函數 在 可微分，則 在 必連續 。反之，函數 在 連續，但 在 未必可微分 。 可微分與連續的關係 已 知 函 數 在 可 微 分， 則 在 必 連 續， 又 函 數 在 連續，則 在 可微分 。3-2.3
導函數
考慮函數，對於任意實數 ，由導數的定義可得 lim → lim→ lim → lim→ 。 亦 即 對 於 定 義 域 中 的 每 個 實 數， 都 有 唯 一 的 數 與 之 對 應， 這 種 對 應 關 係 形 成 了 另 一 個 函 數， 稱 為 函 數 的導 函 數， 記 作 。我們將它一般化，可得導函數的定義如下： 設函數 的定義域為 （ f
），又 為 中導數存在的所有數 所成的集合 （f
），對於 中的每一個數 ，都恰有一個數 與之對應，這種對應形成一種函數關係，稱為 的導函數，記作 ，其定義域為。當 與 的定義域相同（亦即 ） 時，表示函數 在定義域 中每一個數的導數都存在，我們稱 為可微分函數。 導函數例
題
試求函數 的導函數 。 解 設 為任意實數，由導數的定義可得 lim → lim→ lim → lim → ， 所以 的導函數為 。隨 堂 練 習
試求函數 的導函數 。 若函數 為可微分函數，我們亦可利用 lim → 直 接求導函數 。例
題
試求函數 的導函數 。 解 lim → lim → lim → lim → lim→ 。隨 堂 練 習
試求函數 的導函數 。3
微積分及其應用 已知點 在函數 的圖形上，試求過點 的切線方程 式 。 一 運 動 物 體 在 時 刻 秒 時 的 位 置 函 數 為 （單 位 為 公 尺），試求此運動物體在時刻 的瞬時速度 。 試求函數 在 的導數 。 設函數 ，試求 在 的導數 。 設函數 ，試求 lim → 的值 。 設函數 ，當 $ ，當 ，試求 在 ， 的導數 。 試求函數 的導函數 。 試利用 lim → ，求函數 的導函 數。習 題
3-2
3-3
微分公式
求函數 的導函數 的過程稱為微分。函數 的導函數，除 可用 來表示外，亦可用下面各符號來表示：、 、 。3-3.1
微分公式
在前面 節中，求導數及導函數的計算方法都是根據導數的定義直接求 得，過程較為繁雜，下面我們介紹一些求導函數的法則，稱為微分公式。 坽 若 （ 為常數），則 。 夌 若 （ 為正整數），則 。 微分公式 【說明】 設 為任意實數，則 坽 lim → lim→ ， 故得。 夌 因為 … ， 所以 lim → lim→ lim → … … ， 故得 。 共有 個 3
微積分及其應用 事實上， 為任意有理數，函數 的定義域為所有正實數，其導函 數仍為 ，在此我們不予證明 。例
題
試求下列各函數的導函數： 坽 夌 奅 解 坽 因為 ， 所以 。 夌 因為 ， 所以 。 奅 因為 ， 所以 。隨 堂 練 習
試求下列各函數的導函數： 坽 夌 奅 奅 若 （ 為常數），則 。 妵 若 ，則 。 妺 若 ，則 。 微分公式 （設、 為可微分函數）【說明】 設 為函數 定義域中的任意一個實數，因為 、 為可微 分函數，所以 lim → 、 lim → 均存在。 奅 lim → lim→ ， 故得。 妵 lim → lim →
lim → lim→ ， 故得。 妺 說明方法與妵 相似 。 綜合上述幾個微分公式，我們可得多項式函數的導函數公式如下： 設 為正整數且 ，實係數多項式函數 …，則 …。 多項式函數的導函數例
題
試求函數 的導函數 。 解 。隨 堂 練 習
試求函數 的導函數 。3
微積分及其應用 姏 若 ，則 。 微分公式 （設、 為可微分函數） 【說明】 姏 設 為函數 定義域中的任意一個實數，因為 、 為可 微分函數，故得 lim → lim → lim →
lim → lim→ lim→ lim→
（因為、 為可微分函數，故均為連續函數） ， 所以 。
例
題
試求函數 的導函數 。 解 。隨 堂 練 習
試求函數 的導函數 。在例題 中，多項式函數 亦可直接先乘開再求導函數 。 姎 若 ，則 。 微分公式 （設、 為可微分函數且 ≠ ） 【說明】 姎 設 為函數 定義域中的任意一個實數，因為 、 為 可微分函數，則
lim → lim→ lim →
lim → lim→ （因 為可微分函數，故為連續函數） ， 故得
。 又 ， 故得
。3
微積分及其應用例
題
試求 的導函數 。 解 。隨 堂 練 習
試求 的導函數 。3-3.2
連鎖規則
設函數，，若 的定義域為 ， 的定義域為 ， 對於任意一個實數d，則 。當 d 時， 。若對於任意 d，恆有 d，則 ， 我們稱此為 與 的合成函數，記作 % ，亦即 % 。 合成函數 % 成立的條件，必須 的值域包含於 的定 義域內。（所有函數值所成的集合，稱為函數的值域 。）例
題
設，，試求合成函數 % 及 %。 解 %， %。 《注意》一般情況下： % ≠ % 。隨 堂 練 習
設，，試求合成函數 % 及 %。 連鎖規則，其實就是合成函數的微分方法 。 若，則 。 連鎖規則 （設、 為可微分函數） 【說明】 設 為函數 定義域中的任意一個實數，因為 、 為可微 分函數，故得 lim → lim →
lim → lim→ （因為 為可微分函數，故為連續函數， 當 → 時， → ） ， 所以。例
題
設函數，試求。 解 令，， 則，， 又， 由連鎖規則得知， 。3
微積分及其應用隨 堂 練 習
設函數，試求。 由微分公式 及連鎖規則，我們可得特殊公式如下： 設 為可微分函數， 為有理數，若 ，則 公 式例
題
設函數 ，試求 在 的導數 。 解 ， 則 ， 所以 。隨 堂 練 習
設函數 ，試求 在 的導數 。3-3.3
高階導函數
函數 可微分，其導函數為 。若 仍可微分，則其導函數 記作 ，稱為函數 的第二階導函數，亦可記作、 或 。 依此類推，第三階導函數記作 ，…，第 階導函數記作 。 函數 在 的第二階導數記作 ，而 lim → 。 設函數 在 的第三階導數存在，則 lim → 。例
題
設，試求其第二階導函數及 的值 。 解 因為， 故得， ， 所以。隨 堂 練 習
設 ，試求 的第二階導函數及 的值 。3
微積分及其應用 設函數，試求 的值 。 設，試求 的導函數 。 設 ，試求 在 的導數 。 設 ，試求 的導函數 。 設 ，，試求 % 的導函數 。 設 ，試求 的值 。 已知點 在函數 的圖形上，試求過點 的切線方 程式 。 設，試求 及 的值 。習 題
3-3
3-4
微分的應用
在 節中，我們討論過多項式函數的導數與導函數，本節將介紹利用導數 來描繪實係數多項式函數的圖形，並討論導數與極值的關係 。3-4.1
函數圖形的描繪
本書第一冊第四章在討論指數與對數函數圖形時，曾提及嚴格遞增函數與 嚴格遞減函數，現在我們再次將函數的遞增與遞減定義如下： 設區間 在函數 的定義域內，對於 中任意相異兩個數 與： 坽 當 時，恆有#，則稱 在區間 上為遞 增函數；若將上述中不等號「 # 」改成「 」，則稱 在區間 上為嚴格遞增函數。 夌 當 時，恆有$，則稱 在區間 上為遞 減函數；若將上述中不等號「 $ 」改成「 」，則稱 在區間 上為嚴格遞減函數。 函數的遞增與遞減 當然函數未必都是遞增函數或遞減函數，但大部分的函數可將其圖形適當 的分段，使得所分各段分別是遞增或遞減函數，如圖 所示 。 圖 3-63
微積分及其應用 觀察上圖函數 的圖形中， 在區間 與 上為遞增函 數，而在區間 與 上為遞減函數 。同時我們也發現到在區間 與 內各點所作的切線，其斜率都是正的；而在區間 與 內各點所 作的切線，其斜率都是負的 。在前面 節中導數的意義，我們知道 表 示函數 圖形上的點 所作切線的斜率。因此，導數的正負與 函數的遞增、遞減有如下的關係 。 設 為區間 上的多項式函數，對於任意 d： 坽 若恆成立，則 在 上為嚴格遞增函數。 夌 若恆成立，則 在 上為嚴格遞減函數。 導數的正負與函數的遞增、遞減關係 多 項 式 函 數， 當 d∞ 時， 恆 成 立， 又 當 d 時， 恆成立，則 在 ∞ 上為嚴格遞減 函數，而在上為嚴格遞增函數。 上面這個性質的幾何意義是指：在多項式函數 的圖形中，如果在區間 內，過每一點的切線斜率都是正的，那麼圖形在區間 內是上升的；如果在區間 內，過每一點的切線斜率都是負的，那麼圖形在區間 內 是下降的 。這個證明超出本書範圍，在此省略 。至於要如何找出函數 的遞 增、遞減區間呢 ？我們以實例說明如下 。
例
題
試討論函數 的遞增、遞減區間 。 解 的導函數為 ， 亦即， 將 的正、負範圍列表如下： 泝 當 # 或 $ 時，$， 故得 在區間 3 與3 上為遞增函數。 沴 當 ## 時，#， 故得 在區間 上 為遞減函數 。隨 堂 練 習
試討論函數 的遞增、遞減區間 。 在例題 中，、，即點 與 為函數遞增、遞減區間的交界點 。一般而言，函數 的導數 ，則點 稱為函數 的臨界點。3
微積分及其應用 當 我 們 在 描 繪 函 數 的 圖 形 時， 若 僅 知 道 函 數 的 遞 增、 遞 減 區 間，仍然無法掌握圖形的大略形狀，必須還要了解圖形彎曲的方向 。觀察下圖 A，函數 的圖形在區間 上，隨著 的增加切線的斜率逐漸減 小，亦即 為嚴格遞減函數，此時函數圖形偏向下彎。再觀察圖 B， 函數 的圖形在區間 上，隨著 的增加切線的斜率逐漸增大，亦即 為嚴格遞增函數，此時函數圖形偏向上彎 。 圖 3-7 因此，我們將函數圖形的凹向定義如下： 設 為區間 上的多項式函數： 坽 若 在區間 為嚴格遞減函數，則 在區間 的 圖形凹口向下。 夌 若 在區間 為嚴格遞增函數，則 在區間 的 圖形凹口向上。 函數圖形的凹向 設函數 在區間 上可二次微分，則 是 的導函數，利 用函數圖形凹向的定義，我們可推得：當d， 恆成立時， 為 嚴 格 遞 減 函 數， 函 數 在 區 間 的 圖 形凹 口 向 下；當 d， 恆成立時， 為嚴格遞增函數，函數 在區間 的圖形凹 口向上。將上述討論的結果，整理如下：設 為區間 上的多項式函數，對於任意 d： 坽 若 恆 成 立， 則 在 區 間 的圖形凹口向下。 夌 若 恆 成 立， 則 在 區 間 的圖形凹口向上。 利 用 第 二 階 導 函 數 判 斷 函 數 圖 形 的 凹 向 函數圖形凹向改變的分界點，稱為反曲點。設函數 在 的鄰近區 域有定義，當 時 圖形的凹向與 時 圖形的凹向相反，則點 就是函數 圖形的一個反曲點 。 設 為多項式函數，當 時，若 ，則點 為函數 圖形的一個反曲點 。（ 表示大於 且鄰近 的數， 表示小於 且鄰近 的數 。當 時，表示 在點 的左右邊圖形凹向相反 。） 設 為多項式函數，由於 的正負決定函數圖形的遞增或遞減，而 的正負決定函數圖形的凹向，因此我們可得函數部分圖形的大略形狀如下 表： 利用上面的性質，可以用來描繪多項式函數的圖形 。
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微積分及其應用例
題
試討論函數 的凹向、反曲點，並描繪出其圖形 。 解 ，。 泝 當 # 或 $ 時， #， 當## 時，$， 故得函數 的圖形在區間 3 與 3 為遞減， 在區間 為遞增 。 沴 當 時，；當 時， ， 故得函數 的圖形在區間 3 凹口向上， 在區間3 凹口向下。 沊 因為函數 圖形的凹向在 處發生改變， 故得反曲點為。 將上述討論整理如下表： 在 坐 標 平 面 上 ， 先 描 出 、 及三個點，接著再描出一些 其他的點，如， 等，再以平滑曲線連 接，可得的圖形如右。 隨 堂 練 習
試討論函數 的凹向、反曲點，並描繪出其圖形 。例
題
試描繪函數 的圖形 。 解 ， 。 泝 因為對於任意實數 ， 恆成立， 故知 為一嚴格遞增函數 。 沴 當 時， ；當 時， ， 故得函數 的圖形在區間 3 凹口向下， 在區間3 凹口向上。 沊 因為函數 圖形的凹向在 處發生改變， 故得反曲點為。 將上述討論整理如下表： 在坐標平面上，先描出點，接著 再描出一些其他的點，如 ，等，再以平 滑曲線連接，可得的圖形如 右。隨 堂 練 習
試描繪函數 的圖形 。 恆為 3
微積分及其應用3-4.2
多項式函數的極值
設 為定義在區間 上的多項式函數，其圖形如下： 圖 3-8 坽 在函數圖形中， 點鄰近區域的每個點都比 點低，換句話說， 點就是局 部範圍內的最高點；同樣的， 點也是局部範圍內的最高點，我們稱此兩點 的縱坐標 和 都是函數 的極大值（或稱相對極大值）。又 點 也是函數全部圖形中的最高點，我們稱 點的縱坐標 為函數 的最 大值（或稱絕對極大值）。 夌 在函數圖形中， 點鄰近區域的每個點都比 點高，換句話說， 點就是 局部範圍內的最低點，而端點、 兩點也是局部範圍內的最低點，我們 稱、、 三點的縱坐標 、、 都是函數 的極小值（或稱 相對極小值）。又 點也是函數全部圖形中的最低點，我們稱 點的縱坐標 為函數 的最小值（或稱絕對極小值）。 函數的極大值與極小值合稱為極值，現在我們將函數的極值定義如下： 坽 設 、 為函數 定義域中的實數，若在定義域中 鄰近 區 域 的 每 個 實 數， 恆 有 $， 則 稱 為 函 數 的一個極大值；若在定義域中 鄰近區域的每個實數，恆有 #，則稱 為函數 的一個極小值 。 夌 設α、β 為函數 定義域中的實數，對於函數 定義域中的 每個實數 都滿足 α$ 且 β#，我們稱 α 為函數 的最大值，β 為函數 的最小值。 函數的極值坽 函數 的最大值也是 的一個極大值；函數 的最小值 也是 的一個極小值 。 夌 函數的最大值不可能小於最小值，但函數的某些極大值卻有可能 小於其某些極小值。 奅 函數的最大值與最小值至多只能各有一個，但極大值與極小值不 一定各只有一個 。 接著，我們要如何找出多項式函數的極值呢 ？ 圖 3-9 設多項式函數 在 處有極大值，如圖 A 所示，在 的左邊為遞 增，在 的右邊為遞減，亦即在 的鄰近區域，當 時，； 當 時，。 因 為 多 項 式 函 數 的 導 函 數 亦 為 多 項 式 函 數，所以 為連續函數，故得 ，亦即在 處的切線為水平切 線 。同理，多項式函數 在 處有極小值，如圖 B 所示，亦可得 。 另 外， 多 項 式 函 數 的定義域若為閉區間 ，則、 也可 能是 的極值。在 右邊的鄰近區域，若函數 為遞減，則 為極 大值；若函數 為遞增，則 為極小值 。在 左邊的鄰近區域，若函數 為遞減，則 為極小值；若函數 為遞增，則 為極大值 。由上 面的討論，多項式函數極值出現的點，可得結論如下：
