微積分及其應用
3-5 積分的概念與反導函數
給定一個多項式函數，經微分可求得其導函數 。反之，怎樣的函 數，其導函數會是 呢 ？這就是我們要討論的反導函數。
3-5.1 反導函數與不定積分
設 函 數 的 導 函 數 為 ， 亦 即
， 我 們 稱 是 函 數
的一個反導函數 。 反導函數
設 ， 則 ， 所 以 是 函 數
的 一 個 反 導 函 數 。 若 ， 則 也 是 函 數
的一個反導函數 。一般而言，若 為函數 的一個反導函數，
為任意常數，則因，所以 也是函數
的反導函數 。
函數 的反導函數並不唯一，但只相差一個常數而已 。
設 是函數 的一個反導函數， 為任意常數，則 稱 為函數 的不定積分，以符號8 表示，亦即
8
其中8 稱為積分符號， 稱為被積分函數。 不定積分
＊
在8 中， 中的 稱為傀儡變數，可用其他的字母代替，例 如：
8 ，8
等，沒有任何差別 。積分符號8 是萊布尼茲（ Leibniz ∼ ）所創造的，取自英文
（和）的第一個字母 拉長而得，表示積分是求和的一種推廣 。
設函數、 的反導函數都存在，為了方便計算，下面是一些不定積 分的公式：
坽 設 ≠ 的有理數，則8
（ 為常數）。
夌 設 為常數，則8 （ 為常數）。
奅 設 為常數，則8 8 。
妵 8 8 8。
妺 8 8 8。
公 式
【說明】 坽 當 ≠ 時：
，故得8
（ 為常數）。
夌 為常數，則 ，
所以8 （ 為常數）。
奅 妵 妺
設、 分別為 、 的一個反導函數，亦即
，。
3
例題 試求不定積分8 。解
8
8 8 8
。
隨 堂 練 習
試求不定積分8 。
3-5.2 定積分的幾何意義
設 為多項式函數，故在閉區間 上連續，且 $ 對 中 任一實數都成立，則 與 軸、、 所圍成的區域 的面積，可 由下列步驟求得：
圖 3-11
3
例題 試由幾何圖形的面積求定積分8
。解 8
表示函數
的圖形與 軸在 、
之間所圍成的區域面積，其圖形 如右，為一梯形區域 。
面積
上底 下底 高
，
所以8
。隨 堂 練 習
試由幾何圖形的面積求定積分8 。
在此我們討論的將僅限於多項式函數的積分，根據定積分的定義，我們可 得一些定積分的性質如下：
設、 為多項式函數，、 為實數且 ， 為任意常數，則 坽 8
夌 8 8
奅 8 8
妵 8 8 8 （其中 ） 妺 8 8 8
姏 8 8 8
定積分的性質
3
微積分及其應用
設、 為多項式函數，則
8 8 8 。
例題 設 為多項式函數，已知8 ，8 ，試求
8 的值 。
解 由定積分的性質可得
8 8 8 ，
亦即8 ，
故得8 ，
所以8 8 。
隨 堂 練 習
設為多項式函數，已知 8 ，8 ，試求 8 的值 。
例題 設、 為多項式函數，、 為實數且 ，已知
8 ，8 ，試求8 的值 。 解 由定積分的性質可得
8 8 8
。
隨 堂 練 習
設、 為多項式函數，、 為實數且 ，已知 8 ，
8 ，試求 8 的值 。
在 前 面 定 積 分 8 與 面 積 的 討 論 中，
限制函數$，但是多項式函數的值可以是 正 的 也 可 以 是 負 的 。 設 為 閉 區 間 上 的多項式函數，且#，如右圖 所示，
則$。
上圖 與 分別為 與 在 、 間與 軸所圍成 的區域，顯然 與 對稱於 軸，故得 與 的面積相等，所以 面積
面積 8 8 。
換句話說，當 在閉區間 上恆有 #，則 在 、
間與 軸所圍成區域的面積為 8 。 因此，我們可得結論如下：
設 為閉區間 上的多項式函數，定積分 8 相當於曲 線 與 軸、、 所圍成的區域中，在 軸上方部分的 面積減去在 軸下方部分的面積 。
定積分與面積的關係
函數 的圖形如圖 所示，則
8 的面積 的面積 的面積
圖 3-12
3
微積分及其應用
例題 設函數 的圖形如右，試求定積分
8 的值 。
解 由定積分與面積的關係得知 8 的值相當於圖中梯形
的面積減去三角形 的面積，
梯形 面積
，
三角形 面積
，
故得 8 。
隨 堂 練 習
設函數 的圖形如右，試求定積分 8 的值 。
試求下列各不定積分：
坽 8 夌 8 奅 8
試求不定積分8。
試由幾何圖形的面積求定積分 8 。
試由幾何圖形的面積求定積分 8。
設 為多項式函數，已知 8 ， 8 ，試求 8 的值 。
設、 為多項式函數，已知8 ， 8 ，
8 ，8 ，試求 8 的值 。
函數 的圖形如下，設 、 為實數且 ，已知8 ，
又、、、 的面積分別為、、、，試求 的面積 。