3-4 微分的應用 - 第3章(微積分及其應用)

在 節中，我們討論過多項式函數的導數與導函數，本節將介紹利用導數來描繪實係數多項式函數的圖形，並討論導數與極值的關係。

3-4.1 函數圖形的描繪

本書第一冊第四章在討論指數與對數函數圖形時，曾提及嚴格遞增函數與嚴格遞減函數，現在我們再次將函數的遞增與遞減定義如下：

設區間 在函數  的定義域內，對於  中任意相異兩個數

_ 與_：

坽　　當__ 時，恆有_#_，則稱  在區間  上為遞增函數；若將上述中不等號「 # 」改成「 」，則稱  在區間

 上為嚴格遞增函數。

夌　　當__ 時，恆有_$_，則稱  在區間  上為遞減函數；若將上述中不等號「 $ 」改成「 」，則稱  在區間

 上為嚴格遞減函數。函數的遞增與遞減

當然函數未必都是遞增函數或遞減函數，但大部分的函數可將其圖形適當的分段，使得所分各段分別是遞增或遞減函數，如圖 所示。

圖 3-6

3

微積分及其應用

觀察上圖函數 的圖形中， 在區間  與  上為遞增函數，而在區間 與  上為遞減函數。同時我們也發現到在區間  與

 內各點所作的切線，其斜率都是正的；而在區間  與  內各點所作的切線，其斜率都是負的。在前面 節中導數的意義，我們知道_ 表示函數 圖形上的點 __ 所作切線的斜率。因此，導數的正負與函數的遞增、遞減有如下的關係。

設 為區間  上的多項式函數，對於任意 d：

坽若恆成立，則

在 上為嚴格遞增函數。夌若恆成立，則

在 上為嚴格遞減函數。導數的正負與函數的遞增、遞減關係

　　　　　多項式函數，當 d∞  時， 恆成立，又當

d 時， 恆成立，則  在 ∞ 上為嚴格遞減函數，而在上為嚴格遞增函數。

上面這個性質的幾何意義是指：在多項式函數 的圖形中，如果在區間

 內，過每一點的切線斜率都是正的，那麼圖形在區間  內是上升的；

如果在區間 內，過每一點的切線斜率都是負的，那麼圖形在區間  內是下降的。這個證明超出本書範圍，在此省略。至於要如何找出函數 的遞增、遞減區間呢？我們以實例說明如下。

例題 ^{試討論函數}^{}^^^ 的遞增、遞減區間。解　 的導函數為 ^，

　亦即^，

　將 的正、負範圍列表如下：

　      

     

　泝當 # 或 $ 時，$，

　　故得 在區間 3

　　與3 上為遞增函數。

　沴當 ## 時，#，

　　故得 在區間  上　　為遞減函數。

隨堂練習

試討論函數^^ 的遞增、遞減區間。

　　在例題 中，、，即點  與 

為函數遞增、遞減區間的交界點。一般而言，函數 的導數

，則點  稱為函數  的臨界點。

3

微積分及其應用

當我們在描繪函數 的圖形時，若僅知道函數  的遞增、遞減區間，仍然無法掌握圖形的大略形狀，必須還要了解圖形彎曲的方向。觀察下圖

A，函數  的圖形在區間  上，隨著  的增加切線的斜率逐漸減小，亦即 為嚴格遞減函數，此時函數圖形偏向下彎。再觀察圖 B，

函數 的圖形在區間  上，隨著  的增加切線的斜率逐漸增大，亦即

 為嚴格遞增函數，此時函數圖形偏向上彎。

圖 3-7

因此，我們將函數圖形的凹向定義如下：

設 為區間  上的多項式函數：

坽若  在區間  為嚴格遞減函數，則  在區間  的圖形凹口向下。

夌若  在區間  為嚴格遞增函數，則  在區間  的圖形凹口向上。

函數圖形的凹向

設函數 在區間  上可二次微分，則  是  的導函數，利用函數圖形凹向的定義，我們可推得：當d，  恆成立時，

為嚴格遞減函數，函數 在區間  的圖形凹口向下；當 d，

 恆成立時， 為嚴格遞增函數，函數 在區間  的圖形凹口向上。將上述討論的結果，整理如下：

設 為區間  上的多項式函數，對於任意 d：

坽若 恆成立，則 在區間

 的圖形凹口向下。

夌若 恆成立，則 在區間

 的圖形凹口向上。

利用第二階導函數判斷函數圖形的凹向

函數圖形凹向改變的分界點，稱為反曲點。設函數 在  的鄰近區域有定義，當  時  圖形的凹向與  時  圖形的凹向相反，則點

 就是函數  圖形的一個反曲點。

　　設 為多項式函數，當   時，若  ^　 ^，則點

 為函數  圖形的一個反曲點。（ ^ 表示大於 且鄰近  的數，^ 表示小於 且鄰近  的數。當 ^^ 時，表示

 在點  的左右邊圖形凹向相反。）

設 為多項式函數，由於 的正負決定函數圖形的遞增或遞減，而

  的正負決定函數圖形的凹向，因此我們可得函數部分圖形的大略形狀如下表：

　

　   

 

 

利用上面的性質，可以用來描繪多項式函數的圖形。

3

微積分及其應用

例題 ^{試討論函數}^{}^ 的凹向、反曲點，並描繪出其圖形。解　^，。

　泝　當 # 或 $ 時， #，

　　當## 時，$，

　　故得函數 的圖形在區間 3 與 3 為遞減，

　　在區間 為遞增。

　沴　當  時，；當  時， ，

　　故得函數 的圖形在區間 3 凹口向上，

　　在區間3 凹口向下。

　沊　因為函數  圖形的凹向在  處發生改變，

　　故得反曲點為。

　將上述討論整理如下表：

　　在坐標平面上，先描出       、

及三個點，接著再描出一些其他的點，如，

等，再以平滑曲線連接，可得^的圖形如右。

       

        

        

    

隨堂練習

　試討論函數^^ 的凹向、反曲點，並描繪出其圖形。

例題 ^{試描繪函數}^{}^ 的圖形。解　^， 。

　泝　因為對於任意實數 ， 恆成立，

　　故知 為一嚴格遞增函數。

　沴　當  時， ；當  時， ，

　　故得函數 的圖形在區間 3 凹口向下，

　　在區間3 凹口向上。

　沊　因為函數  圖形的凹向在  處發生改變，

　　故得反曲點為。

　將上述討論整理如下表：

　　在坐標平面上，先描出點，接著再描出一些其他的點，如　

，等，再以平滑曲線連接，可得^的圖形如右。

隨堂練習

　試描繪函數^ 的圖形。

   

  恆為

    

  

3

微積分及其應用

3-4.2 多項式函數的極值

設 為定義在區間  上的多項式函數，其圖形如下：

圖 3-8

坽　　在函數圖形中， 點鄰近區域的每個點都比  點低，換句話說， 點就是局部範圍內的最高點；同樣的， 點也是局部範圍內的最高點，我們稱此兩點的縱坐標 和  都是函數  的極大值（或稱相對極大值）。又 點也是函數全部圖形中的最高點，我們稱 點的縱坐標  為函數  的最大值（或稱絕對極大值）。

夌　　在函數圖形中， 點鄰近區域的每個點都比  點高，換句話說， 點就是局部範圍內的最低點，而端點、 兩點也是局部範圍內的最低點，我們稱、、 三點的縱坐標 、、 都是函數  的極小值（或稱相對極小值）。又 點也是函數全部圖形中的最低點，我們稱  點的縱坐標

 為函數  的最小值（或稱絕對極小值）。

函數的極大值與極小值合稱為極值，現在我們將函數的極值定義如下：

坽設 _、_ 為函數 定義域中的實數，若在定義域中 _ 鄰近區域的每個實數，恆有 _$，則稱 _ 為函數 

的一個極大值；若在定義域中_ 鄰近區域的每個實數，恆有

_#，則稱 _ 為函數  的一個極小值。

夌設α、β 為函數  定義域中的實數，對於函數  定義域中的 每個實數 都滿足 α$ 且 β#，我們稱 α 為函數

 的最大值，β 為函數  的最小值。

函數的極值

　　坽函數 的最大值也是  的一個極大值；函數  的最小值也是 的一個極小值。

夌函數的最大值不可能小於最小值，但函數的某些極大值卻有可能小於其某些極小值。

奅函數的最大值與最小值至多只能各有一個，但極大值與極小值不一定各只有一個。

接著，我們要如何找出多項式函數的極值呢？

圖 3-9

設多項式函數 在  處有極大值，如圖 A 所示，在  的左邊為遞增，在 的右邊為遞減，亦即在  的鄰近區域，當  時，；

當 時，。因為多項式函數  的導函數  亦為多項式函數，所以 為連續函數，故得 ，亦即在  處的切線為水平切線。同理，多項式函數 在  處有極小值，如圖 B 所示，亦可得

。

另外，多項式函數 的定義域若為閉區間 ，則、 也可能是 的極值。在 右邊的鄰近區域，若函數  為遞減，則  為極大值；若函數 為遞增，則  為極小值。在  左邊的鄰近區域，若函數

 為遞減，則  為極小值；若函數  為遞增，則  為極大值。由上面的討論，多項式函數極值出現的點，可得結論如下：

3

微積分及其應用

設 為定義在  上的多項式函數，則  的極值可能發生的點為：

坽在閉區間 中滿足  的點（亦即函數  的臨界點）。

夌閉區間 的端點  和 。

多項式函數極值可能發生的點

　　多項式函數 滿足  的點可能出現極值，但未必一定有極值。

　例如：　^，則^，故得，

但如右圖所示， 為一遞增函數，沒有極大值也沒有極小值，所以 在  處不出現極值。

多項式函數，當  時，若在  的左邊鄰近區域為遞增且在右邊鄰近區域為遞減，則 為極大值；若在  的左邊鄰近區域為遞減且在右邊鄰近區域為遞增，則 為極小值。據此，我們可以利用下面的方法來判定多項式函數的極值。

設 為多項式函數且 ：

坽在　　的鄰近區域，當　　時，；當　時，，

則函數　有極大值　。

夌在　　的鄰近區域，當　　時，；當　時，，

則函數　有極小值　。

利用第一階導函數判別極大值與極小值

圖 3-10

　　　　　多項式函數，已知 ，又知在  的鄰近區域，當

 時，；當  時，，則函數  有極大值

。

例題 ^試求函數^{}^^^ 的極大值與極小值。解　^，

　當 時，解得 ，，

　將導函數 的正、負範圍列表如下：

　利用第一階導函數判別得知：

　  在  處有極大值為

　 ^^，

　  在  處有極小值為

　 ^^。

隨堂練習

試求函數^^ 的極大值與極小值。

     

      

   

3

微積分及其應用

因為多項式函數都是連續函數，若多項式函數 的定義域為閉區間

，則  一定有最大值與最小值。欲求 的最大、最小值時，除了考慮 的點之極值外，還要考慮閉區間  的端點  和  的極值。

例題 ^試求函數^{}^ 在閉區間上的最大值與最小值。解　^，

　當 時，解得 ，，

　又閉區間 的端點為 ，，

　所以 極值可能出現在 ，，，，

　又^，

^，

^，

^。

　所以函數 在閉區間  上的最大值為 ，最小值為 。

隨堂練習

試求函數^^ 在閉區間  上的最大值與最小值。

當多項式函數 在  處的導數  且  時，如圖 A

所示，在 處的切線是水平線且在  附近圖形凹口向下，點  為局部最高點，故得 為極大值。同理，當多項式函數  在  處的導數

 且  時，如圖 B 所示，在  處的切線是水平線且在

 附近圖形凹口向上，點  為局部最低點，故得  為極小值。因

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