第四章 研究結果與討論
第二節 臺東縣二位國小五年級學生在不同的數學寫作方式下之表現
本次研究中，研究對象皆進行數學寫作 20 篇，其中解釋性寫作占 7 篇、偵 錯式寫作 5 篇、擬題式寫作 4 篇、總結式寫作 4 篇。另外，在每篇數學寫作單中 皆有數學日誌-「我想說…」，以表達學生在學習、寫作時之情緒、困難與問題。
學生訂正部分會以便利貼貼上，以不妨礙研究者了解學生寫作時的原始想法。以 下分別就二位學生在不同數學寫作上之表現進行分析。
一、臺東縣二位國小五年級學生在解釋性寫作下之表現
解釋性寫作命題方式以使學生回顧數學概念並將習得的數學知識組織，透過 文字、算則或圖說明數學概念或解決問題，回答較具開放性。以下就研究對象在 解釋性寫作單之解題能力、解釋說明、概念獲得及學習反映的表現作分析。
（一）解題能力 1.學生 S1
S1 於第一篇解釋性寫作中能掌握題意，正確提取助於解題之資訊，依題意 列出算式，再轉為求 y 之算式，並求出正確答案（如圖 20）。
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圖 20-1080325-解 1-S1
T：「題目有哪一些資訊可以幫助你解題？」S1：「原本有 57 元、搭公車從寧埔 到界橋剩 46 元、這次搭公車花多少元、用一種符號代表搭公車花的錢，好。」
T：「還有嗎？」S1：「列出一個包含符號的算式進行解題。」（1080325-解 1-S1 晤）
S1 執行解題後，自信認為其答案是對的，但並未進行反思驗證答案。但 S1 知悉驗證答案的方法與驗證方法背後的想法。
T：「你算出來的答案有沒有符合題目要的？」S1：「有。」
T：「你有什麼檢查的方法嗎？」S1：「沒有。」
T：「那你怎麼知道你算出來的 11 元就是題目問的搭公車的錢？」
S1：「…（思考中﹚，ㄜ…，我沒有算。」
T：「如果要檢查的話，你會怎麼檢查？」S1：「用算的。」
T：「怎麼算呢？」S1：「11+46 如果等於 57，答案就是對的。」
T：「11+46=57 這個算式代表的是什麼？」（1080325-解 1-S1 晤）
S1：「搭公車的錢加剩下的錢，如果等於原本的錢，答案就對。」
S1 於第三篇寫作中能掌握題意，正確提取部分題目中的解題資訊，雖未說
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出題目的問題為解題資訊，但從其解題過程可知 S1 了解題目想求的，擬出解題 步驟後依次執行解題計畫，列出正確算式，計算過程與答案出現錯誤（如圖 21）。
圖 21-1080410-解 3-S1
T：「題目中有提供那些資訊可以幫助你解題？」S1：「沒有，啊！不對，這個圖上面 的長度，還有厚度 1 公分。」 T：「這邊的 40 乘 30 是指什麼？」
S1：「這個和這個﹙指著圖形上的長和寬﹚。」T：「所以 40 乘 30 算出來是什麼？」
S1：「這片圖形的面積。」T：「你寫有 4 個一樣的，是指哪 4 個？」
S1：「1、2、3、4﹙指圖形上的 4 個面﹚」﹙1080410-解 3-S1 晤﹚
S1 在計算邊框面積時，切成 4 條 40 平方公分與 4 條 38 平方公分面積的圖 形，將圖形有效的切割使其計算面積的列式較簡單明瞭。
T：「那邊框的面積部分你怎麼算？為何用 40 乘以 4？」﹙1080410-解 3-S1-晤﹚
S1：「我把邊框切掉，前面有兩條，後面有兩條，就有 4 條。」
S1 有列出正確算式，也對部分題目中未出現但算式中出現的數字說明，例
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T：「那為什麼不透過檢查可以更掌握自己的答案，也不容易有粗心大 意的地方？」S1：「…（聳肩﹚，懶惰，呵呵呵（露齒笑﹚。」
圖 22-1080508-解 5-S1
S1 於第七篇寫作中能掌握題意，正確提取題目中的解題資訊，擬出解題步 驟後依次執行解題計畫，列出正確算式，計算過程與答案亦對（如圖 23，頁 66）。 解題中能詳細列出算式說明題目中位出現但算式中出現之數字，例如說明一 成等於 10％等於 0.1 及透過 48 等於 48 與 72 小於 78 的比較過程才說明哪一家 便利商店賣的冰比較便宜。即使已計算過的數字也再次列算式表示出來，每步驟 算式皆很完整。解題後，對其答案有信心，知道驗證答案的方法，但未透過任何 驗證方法檢查答案是否符合題意。
T：「你覺得你算出來的答案有沒有符合題目要問的？」S1：「有。」
T：「你有做任何檢查的動作嗎？」S1：「沒有。」（1080529-解 7-S1 晤）
T：「你怎麼知道答案有符合題意？」S1：「不知道。」（聳肩﹚
T：「那如果你要檢查的話，你會怎麼檢查？」S1：「…，也是再算一遍。」
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圖 23-1080529-解 7-S1
S1 在四篇解釋性寫作中，解題能力佳，能清楚掌握題意，正確題取解題資 訊，擬定解題的計畫，解題方向正確，能分析圖形並做有效的切割做計算，列出 正確算式解決問題，且多能計算出正確答案。但在寫作前期有出現計算錯誤、省 略算式的部分，到後期能透過算式、等式完整呈現解題過程。
S1 對其解題後的答案有信心，多認為其答案是符合題意，知道至少一種驗 證答案的方法，也知道透過驗證能更掌握答案，但卻寧可喪失答對的機會也惰於 驗證答案是否符合題意。S1 在多步驟解題的驗證方法是再算一次，在較簡易的 題型中能知道透過逆運算驗證答案，但無透過估算或是在多步驟解題中分次用逆 運算驗證，用比再算一次來驗證較不冗長的方法，因此 S1 才會較惰於驗證。研 究者雖在教學後期提供其他驗證方法，但成效不彰，驗證答案的習慣須慢慢培養，
因此無法一蹴可幾，讓學生學習多種驗證答案的方法，能使學生透過多種面向思
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考問題，也能培養學生有多元及良好的解題與反思能力，
2.學生 S2
S2 於第一篇解釋性寫中能掌握題意，正確提取助於解題之資訊，依題意列 出算式，再轉為求 y 之算式，並求出正確答案（如圖 24）。
圖 24-1080325-解 1-S2
T：「題目有哪些資訊可以幫助你解題？」S2：「…，57 元。」（1080325-解 1-S2 晤）
T：「什麼的 57 元？」S2：「一卡通中原本有的 57 元。」T：「還有嗎？」
S2：「從寧埔到界橋剩 46 元、搭公車花多少錢。」T：「還有嗎？」S2：「沒了。」
S2 執行解題後，能在心中透過逆運算來驗證答案。
T：「那你覺得答案有沒有符合題目的意思？」S2：「有。」
T：「你怎麼知道 11 是正確的答案？」S2：「46+11 啊！」T：「46+11 然後呢？」
S2：「就是原本的 57 元哪！」（1080325-解 1-S2 晤）
T：「你的意思是說如果是原本的 57 元，答案就是對的，是嗎？」S2：「對。」
T：「那你算完 n 等於 11 時，你有沒有驗算？」S2：「沒有。」T：「為什麼沒有驗算？」
S2：「我用心算啊！」T：「你在心裡做驗算是嗎？」S2：「對。」
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S2 於第三篇寫作中能掌握題意，正確提取部分題目中的解題資訊。擬出解 題步驟後依次執行解題計畫（如圖 25），第一步驟中有透過圖畫表示此算式想求 的面積，並列出正確算式。
圖 25-1080410-解 3-S2
T：「題目中有哪些資訊可以幫助你解題？」S2：「它的長度。」（1080410-解 3-S2 晤）
T：「哪裡的長度？」S2：「書櫃的長、高、寬。」T：「還有嗎？」S2：「還有厚度。」
第二步驟中計算書櫃邊框的面積， S2 認為邊框面積可透過外側表面積減內 側表面積，研究者判斷 S2 知道邊框屬書櫃的表面積的一部份，但無法正確分析 如何求出邊框部分的表面積。
T：「第二步驟中你寫說算邊框的面積，你說的邊框是指哪裡？」
S2「這個啊！﹙手指著左側邊框畫下﹚」
T：「你怎麼算邊框的面積，40╳30╳4 是指什麼？」
S2「外部減內部就等於邊框啊。」T：「外部是指哪裡？」
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S2 手指著書櫃外側的面。 T：「內部是指哪一部份？」
S2：「裡面的面﹙手指著書櫃內側的面﹚。」（1080410-解 3-S2 晤）
T：「把外部的面積減掉內部的面積就等於邊框的面積？」 S2：「對。」
第三步驟中能理解有 4 塊相同的內側表面積，但對圖形不甚理解，以致誤判 其長為 40 公分減厚度 1 公分，使最後總合的表面積答案也錯誤。
T：「算式中的 59 是指什麼部分？」
S2：「40 公分減厚度 1 公分，咦？是 39 公分。」（1080410-解 3-S2 晤）
S2 於解題後，對其答案有信心，且有錯誤迷思認為有經過直式計算過的答 案不會有問題，因此雖然知道驗證答案能幫助自己知道答案對不對，但因有透過 直式計算過，所以未再透過其他驗證方法檢查答案是否符合題意。
T：「你覺得你的答案有符合題意嗎？」S2：「有。」
T：「你怎麼知道你的答案有符合題意？」S2：「不知道。」
T：「你有再算一次或其他檢查的方法嗎？」S2：「沒有。」
T：「你覺得有驗算過答案，可不可以幫助你知道答案對不對？」
S2：「…，可以。」T：「那為什麼沒有做驗算？」（1080410-解 3-S2 晤）
S2：「有用直式算啊！」T：「你是說有用直式算就不會錯嗎？」
S2：「對。」T：「你為什麼覺得用直式算就不會錯？」 S2：「…，…。」
S2 於第五篇寫作第一小題中能掌握題意，正確提取題目中的解題資訊，列 出正確算式並計算出正確答案（如圖 26，頁 70）。雖有列出正確算式，但省略部 分算式，題目中並無出現 1000 的數字，但算式中出現 1000 做計算，應表示出 1 公噸=1000 公斤。
S2 於解題後，對其答案有信心，但未透過驗證方法檢查答案是否符合題意。
T：「你覺得你的回答有符合題意嗎？」S2：「有。」
T：「你有用什麼檢查方法檢查答案嗎？」S2：「沒有。」（ 1080508-解 5-S2 晤）
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圖 26-1080508-解 5-S2
S2 於第七篇寫作中，能掌握題意，正確提取題目中的解題資訊，第一題未 擬解題計畫，但第二題中有呈現。列出正確算式，雖省略部分等式說明一成=10
％=10
100、六折=60％=60
100、八折=80％=80
100，但在第二題有寫出比較過程說明哪一 家便利商店的冰比較便宜，另外，在寫作單中計算過程與答案皆對，能確切掌握 解題方向進行解題（如圖 27，頁 71）。
T：「那你覺得有哪些資訊可以幫助你解題？」
S2：「爸媽點了 320 元的餐點，三個小孩點了 150 元的兒童餐，然後一成服 務費。」T：「還有嗎？」S2：「全家人共花多少錢。」（1080529-解 7-S2 晤）
S2 解第二小題時，能透過前面已計算出 77 便利商店賣的第二支冰打六折的 錢，再加上第一支與第三支冰的錢，靈活運用已計算出的資訊來解題。
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圖 27-1080529-解 7-S2
S2 對其計算出的答案有信心，知道可以透過再算一次做檢查，但未透過驗 證方法檢查答案是否有符合題意。
T：「你覺得你算出來的答案有符合題意嗎？」S2：「有。」
T：「你有做檢查的動作嗎？」S2：「沒有。」
T：「那如果要請你檢查的話，你會怎麼檢查？」
S2：「用直式啊！咦？不是，再算一次啊！」
T：「再算一次做檢查是嗎？」S2：「對啊！」（1080529-解 7-S2 晤）
S2 在四篇解釋性寫作中，解題能力總體來說有漸漸提升，尤其在第七篇寫 作中能確切掌握題意，正確提取解題資訊，擬定解題的計畫，解題方向正確，能 靈活運用已計算出的資訊來解題，列出正確算式解決問題，且能計算出正確答案。
雖有省略等式的部分，但整體來說是比前期解題表現更佳。
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圖 28-1080403-解 2-S1
S1 於第四篇寫作中（如圖 29，頁 74），能以文字說明小數乘法的計算概念，
計算中有透過輔助記號表示計算過程的想法，但被乘數的×10 記號標錯在乘數位
計算中有透過輔助記號表示計算過程的想法，但被乘數的×10 記號標錯在乘數位