國立臺東大學教育學系 學校行政碩士在職專班
碩士論文
指導教授：鄭燿男 博士
數學寫作應用於數學領域學習成效之研 究：以臺東縣二位國小五年級學生為例
研究生：鄭盧怡君 撰
中華民國一○八年八月
國立臺東大學教育學系 學校行政碩士在職專班
碩士論文
數學寫作應用於數學領域學習成效之研 究：以臺東縣二位國小五年級學生為例
研究生：鄭盧怡君 撰 指導教授：鄭燿男 博士
中華民國一○八年八月
誌謝辭
終於，我還是完成了這份給自己的禮物。想起兩年前，家人的支持讓 我能再重拾書本回到校園，暫時卸下媽媽、妻子的角色，讓我很是珍惜這 段求學時光，尤其與同學間的歡聚、上課、寫作業、趕報告時光，讓我好 喜歡！而其中，能充實自我，提升個人能力更是讓我感到滿足。
感謝我的指導教授-鄭燿男老師，撰寫計畫前換了好多次題目，而老 師也無厭其煩的陪我思考著，期間更是與同組成員慢了好多腳步，而老師 總是不斷寬限我時間，像個爸爸般的不斷給我機會，繳出作業後立馬幫我 修改，只怕我來不及趕上期限，誠摯地向鄭老師說聲謝謝！也謝謝老師總 是認真、用力的為大家上課，謝謝鄭老師為我教師一職樹立典範。
感謝朱進財教授與何俊青教授，在口考當日逐頁悉心指點，提供我寶 貴受用的建議，使我的論文更完整，我想，我與我的這篇論文何其幸運！
感謝梁忠銘教授，擴展我們的視野，透過佐滕教授帶我們認識日本教 育，也感謝佐藤教授細心解說。感謝鄭承昌教授用淺顯易懂方式讓我們認 識統計，學習跟數學有關的科目，也讓我覺得上課好愉快。感謝林清財教 授為使我們認識在地歷史，像個導遊般的從臺東解說到花蓮，再從花蓮解 說到臺東，也讓我們對重新認識歷史一詞。
感謝我的好夥伴-惠頴，不斷給我支持，跑在前面的你，也總是先幫 我探好路，讓我總默默接受你的幫忙。謝謝班上的好同學們陪伴著我，謝 謝怡菁、譯葦在我想放棄時，相信我可以做得到。
我最親愛的爸媽、最挺我的姊妹，謝謝你們總放任我做我想做的事，
默默幫我安頓好家裡一切。謝謝我的老公，連三年的暑假，你總是帶著孩 子往屏東，讓我能好好讀書、好好做完論文，當我想孩子時，再帶孩子回 來給我瞧瞧，如此屏東-臺東辛苦的往返著，也感謝我公婆協助照顧孩子。
最後，想跟陪我走過這研究的二位孩子說聲謝謝，有你們的體諒讓我 能順利完成研究。還有，謝謝怡君，一度想放棄的你，最後選擇堅持下去 完成，這甜美的果實該由你享有。未來，請你記住這一刻，別輕易放棄！
鄭盧怡君 謹誌 2019 年 8 月
i
數學寫作應用於國小數學領域學習成效 之研究：以臺東縣二位國小五年級學生
為例
作者：鄭盧怡君
國立臺東大學教育學系
摘要
本研究採個案研究方式，探討臺東縣偏鄉國小兩名五年級學生透 過數學寫作教學的數學學習成效、不同數學寫作的表現及數學概念的 獲得方式。研究結果發現：
一、解釋性寫作表現：S1 解題過程詳細，透過多種表徵流暢表達，
以總體概念作說明。S2 解題漸趨完整、正確，輔以圖畫作解釋，補 充文字敘述部分。
二、偵錯式寫作表現：S1 正確提取錯誤，理由說明完整、充分，足 夠說服。S2 多能正確提取錯誤，且多以提出應列算式為理由說明。
三、擬題式寫作表現：S1 靈活運用算式，題目設計帶情境，敘述流 暢。S2 合理應用算式，題目敘述漸趨流暢，掌握運算符號使用概念。
四、總結式寫作表現：學生多以條列式並舉例說明學習內容。S1 寫 作內容以數學概念說明及算式計算為主﹔S2 則多以算式計算為主，
後期寫作才出現數學概念。
ii
五、學習反映：S1 學生學習沒自信，但 S2 則對數學學習有自信。
二者皆對生活有需求的數學學習有興趣，也能對個人學習進行反思。
六、透過數學寫作教學能穩定高程度學生 S1 的學習程度表現，提升 中程度學生 S2 的學習成效。
七、S1 能自行整理並組織數學概念，將數學概念與生活情境連結，
獲得其完整、紮實的數學概念。S2 透過實際操作之課程、過去舊經 驗，以獲得數學概念，理解多以建立在算式的計算上，較無法理解透 徹與靈活運用。
關鍵字：數學寫作、學習成效、偏鄉
iii
A study on the impact of mathematical writing on pupils’
learning performance in mathematics—a case study of two fifth graders of a primary school in Taitung
ZHENG LU YI JUN Abstract
This study explores the learning performance of two fifth graders from a primary school located in a remote and rural area in Taitung County using the case study method as a tool to examine their understanding of mathematical concepts and their presentations of mathematics once they were taught mathematical writing skills. The research findings were as follows:
1. Expository writing skills:
S1 has tried to give a detailed description of how a math problem was solved by offering a number of representations and an
explanation of the overall concept.
S2 has made progress in solving math problems effectively and efficiently, while creating drawings so as to clearly convey his thoughts.
2. Able to find faults in math writing:
S1 is capable of identifying errors and listing convincing reasons for the math problem at hand.
S2 is capable of identifying errors most of the time, and tends to explain the errors with formulas as examples.
3. Problem posing as a writing skill:
S1 knows how to use equations effectively and is able to place a math problem in a context.
S2 knows how to properly use equations and is making progress in giving descriptions of a math problem and using operators to perform mathematical operations.
4. Summary writing skills:
iv
Both students use examples to illustrate what they have learned about mathematics. S1 employs basic concepts and mathematical operations in his math writing, whereas S2 tends to use
operators to perform math operations before he learns to combine math concepts into his math writing.
5. Learning reflections:
S1 has shown little confidence in learning mathematics, whereas S2 exhibits confidence in the learning process.
Both have enthusiasm for mathematics this is connected with life, and are able to reflect over what they have previously learned.
6. The guide to mathematical writing proves to be helpful for S1 to keep his learning performance, and improves S2’s mathematics performance.
7. S1 is capable of organizing math concepts and placing such concepts in real-world contexts, in order to present a series of interconnected mathematical concepts. S2 has a tendency of trying to understand math concepts through mathematical operations learned via experience without fully comprehending the key ideas in mathematics.
Keywords: mathematical writing, learning performance, remote
and rural areas
v
目 次
摘要………i
Abstract………ii
目次………iv
表次………vi
圖次………vii
第一章 緒論 ... .1
第一節 研究背景與動機... .1
第二節 研究目的與研究問題... 5
第三節 名詞釋義... 5
第四節 研究範圍與限制... 7
第二章 文獻探討 ... 9
第一節 數學寫作概念與理論基礎... 9
第二節 數學寫作應用在數學領域之學習成效... 17
第三節 臺東縣國小學生數學領域之學習現況... 26
第三章 研究方法 ... 39
第一節 研究參與者... 39
第二節 研究流程... 40
第三節 數學寫作教學設計... 44
第四節 評量工具... 46
第五節 資料分析方法... 48
vi
第四章 研究結果與討論 ... 51
第一節 臺東縣二位國小五年級學生透過數學寫作後的學習成效... 51
第二節 臺東縣二位國小五年級學生在不同的數學寫作方式下之表現.... 60
第三節 數學寫作教學之省思... 118
第五章 結論與建議 ... 121
第一節 結論... 121
第二節 建議... 123
參考文獻 ... 125
附錄 ... 133
附錄一 研究參與學生家長同意書... 133
附錄二 數學單元測驗卷(1080603-比率與百分率-S_)... 134
附錄三 偵錯式寫作單(1080522-偵 5) ... 136
附錄四 擬題式寫作單(1080524-擬 4) ... 137
附錄五 解釋性寫作單(1080529-解 7) ... 138
附錄六 總結式寫作單(1080531-總 4) ... 139
附錄七 晤談記錄(1080529-解 7-S1 晤)... 140
vii
表 次
表 1 Flower＆Hayers 的寫作歷程與 Polya 的解題歷程對照表... 15
表 2 研究對象背景與數學學習表現、特質紀錄表 ... 39
表 3 數學寫作課程內容 ... 44
表 4 數學寫作單設計概念... 45
表 5 數學單元測驗卷評分標準... 47
表 6 晤談問題及對本研究之意義... 48
表 7 資料編碼說明... 49
表 8 資料轉譯代號說明... 49
viii
圖 次
圖 1 研究流程圖... 43
圖 2 1080401-符號代表數-S1 ... 51
圖 3 1080415-表面積-S1 ... 52
圖 4 1080506-小數-S1 ... 52
圖 5 1080520-生活中的大單位-S1 ... 52
圖 6 1080603-比率與百分率-S1 ... 53
圖 7 S1 歷次數學單元測驗成績表現... 53
圖 8 S1 歷次數學單元測驗中符合評分標準之題數... 54
圖 9 1080401-符號代表數-S2-1 ... 55
圖 10 1080401-符號代表數-S2-2 ... 55
圖 11 1080415-表面積-S2 ... 55
圖 12 1080508-小數-S2 ... 56
圖 13 1080520-生活中的大單位-S2-1 ... 56
圖 14 1080520-生活中的大單位-S2-2 ... 57
圖 15 1080603-比率與百分率-S2-1 ... 57
圖 16 1080603-比率與百分率-S2-2 ... 57
圖 17 S2 歷次數學單元測驗成績表... 58
圖 18 S1 歷次數學單元測驗中符合評分標準之題數... 59
圖 19 S1、S2 歷次數學單元測驗成績表現... 60
圖 20 1080325-解 1-S1... 62
圖 21 1080410-解 3-S1... 63
圖 22 1080508-解 5-S1... 65
圖 23 1080529-解 7-S1... 66
圖 24 1080325-解 1-S2... 67
圖 25 1080410-解 3-S2... 68
圖 26 1080508-解 5-S2... 70
ix
圖 27 1080529-解 7-S2... 71
圖 28 1080403-解 2-S1... 73
圖 29 1080422-解 4-S1... 74
圖 30 1080510-解 6-S1... 74
圖 31 1080403-解 2-S2... 76
圖 32 1080422-解 4-S2... 77
圖 33 1080510-解 6-S2... 77
圖 34 1080327-偵 1-S1... 83
圖 35 1080408-偵 2-S1... 83
圖 36 1080429-偵 3-S1... 84
圖 37 1080513-偵 4-S1... 84
圖 38 1080522-偵 5-S1... 85
圖 39 1080327-偵 1-S2... 86
圖 40 1080408-偵 2-S2... 86
圖 41 1080429-偵 3-S2... 87
圖 42 1080513-偵 4-S2... 87
圖 43 1080522-偵 5-S2... 88
圖 44 1080328-擬 1-S1... 96
圖 45 1080426-擬 2-S1... 97
圖 46 1080516-擬 3-S1... 97
圖 47 1080524-擬 4-S1... 99
圖 48 1080328-擬 1-S2... 100
圖 49 1080426-擬 2-S2... 100
圖 50 1080516-擬 3-S2... 101
圖 51 1080524-擬 4-S2... 102
圖 52 1080329-總 1-S1... 110
圖 53 1080412-總 2-S1... 110
圖 54 1080503-總 3-S1... 111
x
圖 55 1080531-總 4-S1... 112
圖 56 1080329-總 1-S2... 113
圖 57 1080412-總 2-S2... 113
圖 58 1080503-總 3-S2... 114
圖 59 1080531-總 4-S2... 115
1
第一章 緒論
本研究主要探討臺東縣國小五年級學生透過數學寫作於數學教學之情形，及 參與學生數學學習領域的學習成效。本章節一共分為四小節，第一節說明本研究 之背景與動機，第二節詳述研究目的與研究問題，第三節為本研究之專有名詞解 釋及定義，第四節說明本研究範圍及限制，分述如下。
第一節 研究背景與動機
本節分兩部分說明研究背景與研究動機，詳述如下。
一、研究背景
十二年國教即將於 108 學年度逐年實施，然而在十二年國民基本教育課程綱 要總綱下，秉著全人教育的精神，並以「成就每一個孩子—適性揚才、終身學習」
為願景，同時以「自發」、「互動」、「共好」為理念，讓數學領域的學習與數 學是一種語言、實用的規律科學、人文素養的特質來搭配課程設計，使學生在數 學學習上能有真切的感受（教育部，2014）。學生在學習上有感，才能與真實生 活情境做連結，並運用數學知識來思考問題，進而分析問題及解決問題。
教學現場上，隨著課程的改革及資訊科技不斷的進步下，教師們在課堂上已 不僅僅用講述教學法授課，因應課程內容調整教學方法已是現職教師的專業。但 在多元的教學方法下，學生對數學依然是敬而遠之的。
我國自 2003 年開始參與國際數學與科學教育成就趨勢調查研究（Trends in International Mathematics and Science Study，簡稱 TIMSS），由國際教育 成就評量協會（The International Association for the Evaluation
Achievement，簡稱 IEA）自 1995 年起每四年對四年級及八年級進行施測，各國 透過參與 TIMSS 的研究結果，可瞭解國家學生的數學學習成就表現及數學學習 成就的相關因素，亦能檢視國家在數學教育改革上對學生數學學習成效的相關，
2
以做為國家未來在數學教育改革上的參考（林碧珍，2012、林碧珍，2015、曹博 盛，2012、曹博盛，2015）。
我國參與 TIMSS 的數學成就表現每每都能取得亮眼佳績（林碧珍、蔡文煥，
2005、林碧珍，2012a、林碧珍，2015a、曹博盛，2005、曹博盛，2012a、曹博 盛，2015a、數理人文編輯室，2017），尤其在 2007 年，八年級學生在參與國家 或地區中拔得頭籌。
然而，在此優秀表現下，四年級及八年級學生在高學習數學自信上及喜歡學 數學上皆低於國際平均百分比，其中， 2003 年的四年級學生參與 TIMSS 測驗，
而後在 2007 年參加八年級 TIMSS 測驗，還有 2007 年的四年級學生參與 TIMSS 測驗並在之後參與 2011 年八年級 TIMSS 測驗，這兩批學生在高學習數學自信上 大幅下滑（林碧珍、蔡文煥，2005、林碧珍，2012b、林碧珍，2015b、曹博盛，
2005、曹博盛，2013b、曹博盛，2015b）。
學生在數學成就上表現優秀，但在其學習數學自信上卻是低弱的，甚至喜歡 數學的百分比偏低，而且從歷年資料來看，可以發現學習越久對數學越沒信心，
也喜歡數學的程度也越來越低，此現象一直是在 TIMSS 研究中發現一致性結果，
也一直是許多研究者在數學教育上欲改善的一部分，如何讓學生喜歡學數學、對 學習數學有信心，也能在學生的數學學習上有成效。
二、研究動機
研究者投入教職僅邁入第十年，也一直不斷在教學中精進，以期讓學生學習 更有成效，並用所學解決生活中的問題。一則學生家長給予研究者在教學上的回 饋深刻烙印於心中，有天幫一名導師代數學課，有位學生返家後開心地告訴家長 說，今天學的數學他都懂了！家長不用再指導學生，甚至晚餐後學生還自行出題 給自己練習。這件事給予研究者很大的衝擊，學生是對家長說「他懂了」，而不 是說他覺得好好玩，這則回饋提醒了研究者，提升學生對數學的學習興趣，不在 於用花俏的教學讓學生覺得好玩，而在於讓學生知道他現在在學什麼。
另外，研究者在一次數學觀課中，台上教師正引導學生計算 34÷2，但此時 卻有一名男學生說著 15+2，說了三、四次，台下觀課的我疑惑著男學生想表達
3
什麼，而研究者再看台上教師，正要進行寫除法算式的手停了下來，問了男學生：
「15+2 的意思是什麼？」，男學生回答說：「30 的一半是 15，4 的一半是 2，所 以 34÷2 就是 15+2 啊！」，研究者不禁為這男學生的回應給予掌聲，男學生的想 法就是這麼自然並與個人生活經驗做連結。而這一幕也一直深刻烙印在研究者腦 海中，也不斷反思著，在研究者的教學中是否提供孩子機會去表達孩子們的想法？
研究者要用什麼樣的方式來去了解孩子們的想法？
試想，在那一次的觀課中，若是台上教師繼續寫著除法算式，忽略了那男學 生的聲音，是否那男學生就必須被迫接受教師給予的除法算式？教師與學生間的 溝通就好比雞同鴨講，就算教學者用再多花俏的教學，也無法將男學生的想法與 教師的教學做一個完美的翻譯，也無法讓其他學生看到解決問題的方法其實不只 一種，甚至有比用除法算式更容易想的方法。而最後，學生無法理解教師的教學 內容，那就仿造解題。但題目百百種，要提高在數學上的學習分數，只能不斷的 練習，不斷地寫考古題，才能把每一種題目都練過。如此，學生在學習上只是不 斷地上喪失興趣、不斷地受挫。
因此，要如何讓學生知道自己目前正在學習什麼？而非一昧的仿造教師的解 題模式。而學生在學習時的想法為何，學生是如何將學習的新知識與個人的舊經 驗組織為個人的數學概念？教學者要如何能清楚知道學生建立的數學概念，以與 學生建立起溝通的橋樑？
研究者參閱關於數學寫作的相關文獻，數學寫作（Mathematical Writing）
在眾多文獻中皆表示能提升數學學習成效（呂守純，2007；林冠汝，2011；陳文 章 2010；郭室宜，2008；鄭惠芬，2005；蕭明芳，2016；Dougherty, 1996; Havens, 1989），或是能提升數學溝通與表達能力、解題能力、認知能力與理解力（呂守 純，2007；林冠汝，2011；洪宗賢，2011；胡湘采，2017；紀詩蕙，2009；郭室 宜，2008；曾千芬，2007；黃千芳，2007；楊素禎，2013；蔡昀辰，2014；鄭惠 芬，2005；蕭明芳，2016；簡雅惠，2012；Dougherty, 1996; Havens, 1989; LeGere, 1991），且大多文獻皆表示透過數學寫作能提升學生的數學學習興趣（紀詩蕙，
2009；陳文章 2010；郭室宜，2008），透過數學寫作能了解學生做數學領域學習 上的困難，確實掌握學生的數學學習，並能針對學生學習困難處進行迷思概念的
4
澄清或補救教學。
在 TIMSS 2011 年的調查研究中，根據學校所在的城鎮大小與數學成就比較，
在台灣，四年級學生的學校所在城鎮人口數達 50 萬以上，其數學平均成就高於 學校所在城鎮人口數 5 萬以下，且兩者學生成就差異達 35 分以上，亦高於國際 平均 20 分以上，而八年級學生的學校所在城鎮人口數達 50 萬以上，其數學平均 成就遠高於學校所在城鎮人口數 5 萬以下，且兩者學生成就差異達 62 分以上，
亦遠高於國際平均 34 分以上（李哲迪，2016）。而臺東縣 16 個鄉鎮市區中，僅 有台東市超過 5 萬人口，但未達 50 萬以上，其餘皆未達 5 萬，其中 12 個鄉鎮未 達 1 萬人口（臺東縣政府縣政統計資訊網，2018）。跨年比較臺灣小學的四年級 學生數學平均表現的城鄉差異時，城鄉差異一直存在著（黃敏雄，2015），且在 所有學科中，數學科的學習成就在城鄉差距中是最大的，且學習成就低落區主要 發生在原住民鄉(陳奕奇，劉子銘，2008)。
有關城鄉學習表現差異最重要原因為學生的家庭教育資源（黃敏雄，2015、
李哲迪，2016），但往往這也是學校教師最難施力的地方。然而在控制家庭教育 資源後，卻也發現鄉村與都市間的數學成就差異與非家庭教育資源有關(李哲迪，
2016)，意即學校對學生的學習成就是有影響力的。偏遠地區的學生，雖然家庭 教育資源不足，依然有可能透過學校因素改善其學習成就（黃秀卿，2009）。
數學寫作在數學學習領域的成效是明顯有助益的，但在數學寫作的相關研究 中，尚未有研究對象為臺東縣國小學生。臺東縣國小學生的數學學習成效與其他 縣市相比，是有落差存在的，且數學學科與其他學科相比是落差較大的，其中，
學生的背景因素與學生的數學學習表現有相關（巫有鎰，2005）。然而，相關研 究亦指出，教師秉持著積極、樂觀的正向態度鼓勵學生，與學生建立良好關係，
提升教師的教學專業知能使學生在學習上更主動、學習更有效，讓學生在學業成 就上能透過學校的努力進而有更佳的學習成就。因此，研究者想瞭解透過數學寫 作教學建立師生間良好的溝通，教師透過回饋給予學生正向的鼓勵與支持，提升 學生對自身的教育抱負、學習動機，分析學生的寫作內容以診斷學生的迷思概念，
進而對其實施補救教學，在臺東縣國小學生的數學學習上是否亦能提升其數學學 習成效，是本研究最主要的研究動機。
5
其次，臺東縣國小學生在學習數學的核心概念上，學生於數學課程中學習數 學後，會如何透過自身的數學語言做轉換以獲得其數學概念，教學者了解學生獲 得數學概念方式，利於教學者調整教學模式，備課時能從學生獲得概念方式來著 手設計課程，縮短學生學習與教師溝通上的距離，教與學不再是雞同鴨講，此為 本研究的次要研究動機。
第二節 研究目的與研究問題
根據前述的研究動機，本研究欲探討透過數學寫作對臺東縣二位國小五年 級學生數學領域的學習成效，及透過學生的數學寫作中，探究學生數學概念的獲 得方式。本研究的具體研究目的及研究問題如下：
一、研究目的
（一）探討透過數學寫作教學對臺東縣二位國小五年級學生的數學學習成效。
（二）透過學生的數學寫作分析臺東縣二位國小五年級學生數學概念的獲得。
二、研究問題
（一）數學寫作對臺東縣二位國小五年級學生數學領域的學習成效。
（二）臺東縣二位國小五年級學生在不同數學寫作下的表現為何。
（三）臺東縣二位國小五年級學生數學概念的獲得為何。
第三節 名詞釋義
本節將本研究所涉及的重要名詞：數學寫作、數學概念、學習成效，分別說 明如下：
一、數學寫作
數學寫作是指學習者個人對數學的概念、理解、思考過程或對數學學習的另有 想法，透過紙筆以文字、算則、圖、表或符號呈現，建構屬於學習者個人對數學的 知識，並透過數學語言以書面方式向他人表達、溝通。
6
因此，數學寫作方式多樣化，本研究中的數學寫作依教學內容與使用時機的 不同而採用自編的解釋性寫作、偵錯式寫作、擬題式寫作、總結性寫作、數學日 誌五種寫作形式。
二、數學概念
概念一詞是指對同類事物獲得一種概括性的統一認知經驗，然而概念的形成須 透過學習獲得，把個人對具體事物的經驗進行組織和分類，抽象化而形成超越對具 體對象的認識（張春興，1989）。
本研究中所指的數學概念係指「國民中小學九年一貫課程綱要」中，在國小五 年級數學學習領域裡所訂的四大主題為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」， 但在本研究中所採用的翰林版五下數學教材內容僅有「數與量」、「幾何」、「代數」
三大主題，因此本研究所指的數學概念為五年級學童在「數與量」、「幾何」、「代數」
所應習得的數學概念。
三、學習成效
本研究中所稱的學習成效是指學生在單元教學結束後實施數學單元測驗，得分 越高代表學習成效越好，得分越低代表學習成效較差，測驗題型以數學文字題為主，
每次 10 題，共進行五次，另請長期任教於高年級之教學現場專業教師命題，命題內 容以該單元之能力指標為範疇，教師可透過此數學單元測驗見學生學習成效，並透 過逐次之數學單元測驗見學生學習成效之變化。。
四、學習反映
本研究所稱之學習反映是指學生在數學日誌中記錄下對數學課程所學習到 的內容、問題，或是學生對學習時的疑惑與感受，使學生抒發於學習時的負面情 緒或是學習時的正向回饋，以使教師了解學生學習時的心理層面感受。
五、臺東縣國小五年級學生
本研究所稱之臺東縣國小五年級學生，是以研究者任教學校的五年級二位學 生為例。研究者任教學校位於臺東縣某特偏國小，以二位學生做個案研究，了解 數學寫作教學對二位臺東縣國小五年級學生的學習成效。
7
第四節 研究範圍與限制
本研究是對臺東縣二位國小五年級學生透過數學寫作在數學領域上的學習 成效進行分析研究，為使研究定義更為明確，茲將研究範圍與研究限制於本節中 說明。
一、研究範圍
為了清楚描述本研究的範圍，所以從研究對象、教材、時間三方面來說明，
說明如下：
（一）研究對象
本研究的對象為研究者目前服務之臺東縣某特偏國小五年級的二位男學生 為研究對象，研究者擔任本研究之教學者，學校位於偏遠海邊，且為原住民重點 學校，校內原住民學生占九成以上，且大部分為阿美族學生，全校共 6 班，107 學年度共有 45 位學生。
（二）研究教材
本研究中的研究教材採用 107 學年度翰林版國小五下的數學課本及習作學 習內容、九年一貫課程綱要數學學習領域在五年級的分段能力指標，並輔以數學 新世界教師種子生根計畫所研發之國小五年級教材學用修訂版，作為研究者自編 的數學寫作單的教材內容。
（三）研究時間
本研究之教學自 107 學年度下學期第 7 週開始至第 16 週，為期 10 週，每週 4 節數學課程、1 節彈性課程，每週共計 5 節，在日常數學課程中融入數學寫作 活動，並在彈性課程中進行數學寫作單的分享與回饋。
二、研究限制
受限於研究時間與人力，本研究僅進行 10 週的課程教學，其研究限制依研 究推論、研計教材、研究方法、研究工具做說明。
（一）研究推論
本研究僅對 107 學年度臺東縣研究者所任教之某國小五年級二位學生為對
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象，採個案研究作分析，需耗費較大心力於個案上，故無法採取大樣本之研究，
亦非隨機取樣，研究結果會因學校所在地、教學者特質、學生學習能力、寫作方 式等因素恐有差異，因此本研結果僅能推論至相似樣本，不宜作過度推論，若要 再進一步推論至其他縣市、年級的學生、其他教學領域，則須再另作研究確認。
（二）研究教材
本研究所使用的數學寫作單乃參考相關文獻及學生該階段的學習教材內容 所編製而成，以達成學習目標、簡單明瞭、學生易書寫為主，可依研究對象的能 力而做修改，但本研究之研究教材使用僅限此次的研究對象。
（三）研究方法
本研究使用質性研究中的個案研究來探討數學寫作對臺東縣二位國小五年 級學生的數學學習成效，並透過學生的數學寫作紀錄及訪談，分析寫作想法與數 學概念的獲得，其他有關數學學習成效的相關因素無法做深入探討，此為研究方 法之限制。
（四）研究工具
本研究於單元教學結束後之下一週進行數學單元測驗，另請長期任教於高年 級教學現場之專業教師進行命題，以數學文字題為佈題題型，共計進行五次測驗，
僅能對本次研究教學之主題進行學習成效之探討，無法廣泛推論至其他單元，此 為研究工具之限制。
綜合上述的研究範圍及研究限制，本研究結果如要做其他研究推論，應在研 究對象、教材、時間、方法、工具等各方面做適度修正，不宜過度推論至其他教 學場域。
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第二章 文獻探討
本章首先探討數學寫作之概念與理論基礎，接著了解數學寫作應用在數學之 成效，最後探討臺東縣國小學生數學學習之現況。以下針對其內容做詳細說明，
分述如下。
第一節 數學寫作與理論探討
本節共分為二個部份：數學寫作、數學寫作的理論基礎進行說明。以下 分別加以論述：
一、數學寫作
美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）
（1989）認為數學是解題外，亦認為數學是溝通、推理，而其中在數學是溝通中 將寫作納為學習數學和使用數學很重要的部分，透過數學寫作可促進有意義的學 習。九年一貫課程中認為國民教育階段應協助學生數學溝通能力的發展，溝通是 指除了要能理解別人以書寫、圖形或口語所傳遞的數學資訊外，亦要學童能以書 寫、圖形或口語等形式，並運用精確的數學語言表達個人的數學想法。即將上路 的十二年國教數學領域綱要中，也強調在數學課程中應發展學生的數學溝通能力，
並應透過多元評量以了解學生的思考脈絡。而寫作較口語述說能有更多元的表徵 方式呈現學習者的數學想法，並在寫作過程中解釋、反思、澄清並組織或連結至 其他數學概念，學生的寫作紀錄亦提供教師豐富的學生學習資訊，並讓教師在教 學上能選擇更適切的教學方法協助學生學習。因此研究者期望透過數學寫作方式 提升學生的數學學習成效，並了解學生在數學學習上建構的數學概念、想法與迷 思。茲就數學寫作之意義、功能、類型三個面向加以探討數學寫作的概念。
（一）數學寫作的意義
Emig（1977）認為寫作是一種獨特的學習方式，同時整合手、眼、腦運作 的重要學習模式，透過寫作可以讓學生進行分析、比較事實與統整（引自 Miller, 1991）。美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱
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NCTM）（1989）將數學寫作定義為個人描述問題是如何解決的，說明過程中有 助於學生澄清他們的想法，並進一步發展更深入的理解。」。劉祥通、周立勳（1997）
認為數學寫作是一種教學與學習間的溝通工具，而能促使學習者進行解釋、反思、
回顧、組織或連結數學概念的書寫及紀錄活動，皆可稱為數學寫作活動。
魏宗明（1997）說明數學寫作是數學表徵活動之一，學習者利用紙筆將個人 內化的數學想法、概念、技巧或解題過程以學習日誌、報告、故事等方式呈現，
並以此與他人溝通。學生在進行數學寫作活動時，須將已得到的數學訊息進行有 系統的組織，進而建構屬於學生自己的數學概念，對學生個人而言不僅有意義，
更有價值。然而數學寫作不僅僅是將個人的數學概念以書寫紀錄呈現出來而已，
更應重視學生在紙上的思考活動、思考脈絡（Borasi& Rose, 1989）。
綜合而言，數學寫作是指學習者將理解的數學意義及概念、想法、思考過程 與脈絡，透過多元表徵記錄於書面呈現，以此與他人建立數學的溝通平台，並在 寫作的編碼過程中，促使學習者重整數學知識，而獲致屬於學習者建構的數學知 識網絡。
（二）數學寫作的功能
美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）
（1989）指出寫作在數學溝通表達上是一項特別有用的工具，它可以使不敢或不 擅長在公開場合發言的學生藉著寫作表達期想法。NCTM（1991）說明數學寫作 能促使學生對數學學習活動的思考，當學生在寫作中解釋、定義及確認關係時，
學生即是在對自己所習得的數學知識進行反思；數學寫作是師生間有用的溝通橋 樑，幫助教室裡的討論活動；教師可參考學生的寫作紀錄評量學生學習，抑或是 調整教師教學模式。以下將數學寫作的功能分學生、教師及師生間作說明。
1.在學生學習數學方面
（1）學生將數學知識透過對自己有意義的數學符號用熟悉的語言將數學概念或 規則重新整理、連結後陳述出來，可促進學生將其知識內化（Pugalee, 1998; 魏 宗明，1997）。
（2）學生在寫作過程中能察覺個人的解題步驟及面臨的困難，並對自己的問題 予以改進，提升學生解題能力，而學生的數學寫作即是學生在學習數學上別具價
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值的學習歷史紀錄（Pugalee, 1998; 魏宗明，1997）。
（3）學生可透過寫作宣洩學習數學時的負面情緒，並覺察到自己對數學的感覺 是否影響學習，因此數學日誌具有情緒治療的價值（Borasi & Rose, 1989; Pugalee, 1998; 魏宗明，1997）。
（4）在有限的教學時間下，給予不同程度的學生同時都有學習數學的機會（劉 祥通，1994），也給不敢在課堂上說話的學生有表達的機會（Miller, 1991; 林姿 飴、楊德清，2005）。
（5）促進學生思考，以增進學生後設認知（Pugalee, 1998; 林姿飴、楊德清，2005；
劉祥通，1994）。
（6）允許學生獨立的去經驗、探究、創造並發現數學，鼓勵學生將習得的數學 知識加以個人化、同化或調適（Azzolion, 1990）。
2.在教師教學方面
（1）透過數學寫作了解班上每位學生在學習數學時的想法與感受，遭遇到的困 難與問題及診斷出學生的迷思概念（Azzolion, 1990; Borasi & Rose, 1989; 林姿飴、
楊德清，2005；魏宗明，1997）。
（2）教師可透過數學寫作了解學生的思維，學生在寫作中提供的回饋及想法可 作為教師改進教學方法的參考，以提升學生的有效學習（Azzolion, 1990; Borasi &
Rose, 1989; Miller, 1991; 林姿飴、楊德清，2005；魏宗明，1997）。
（3）提供不同的評量方法以掌握學生不同面向的數學學習成效（劉祥通，1994）。
3.在師生互動方面
（1）促進師生間的對話，師生在寫作上的對話是確實針對學生學習需要所建立 的個別化溝通模式（Pugalee, 1998; 魏宗明，1997）。
（2）數學寫作能塑造和諧的班級氣氛（Borasi & Rose, 1989; 魏宗明，1997）。
綜合以上，數學寫作能幫助學生學習數學及反思，學生學習到的數學知識不 再是片段式的，而是數學概念間彼此互相連結的，且是持續修正、精進的，這在 學生應用數學能力解決問題中是很重要的，因為生活中的問題常是複雜的，需透 過多個數學概念解決問題，而非像學生平時練習的題目，可能透過一至二個數學 概念即可解決的。並進而提升學生的數學能力與後設認知，並能有機會表達自己
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的負面情緒與困難，因此學生對數學的學習態度較積極，且降低學生的數學焦慮；
教師透過數學寫作能即時進行教學診斷，以改善或調整教師教學內容或方法，並 能掌握學生在數學領域的認知、技能、情意上的學習成效；師生間利用數學寫作 能建立個別化的溝通橋樑，進而塑造良好且正向的班級氣氛。
（三）數學寫作的類型
學生透過數學寫作主要表達、溝通與分享個人在數學領域上的學習及思考，
因此不同於語文領域上的寫作，數學寫作不強調詞藻華麗，不強調使用優美句子。
數學寫作方式較不受限，因此形式多元、內容涵蓋廣泛，所以教學者可以依教學 目標、教學環境、教學時間與學生的特質選擇合適的數學寫作方式。以下將國內、
外學者提出的寫作分類方式與形式作說明：
1.依寫作的時間長短區分
（1）長期寫作（long-term writing technique）：寫作上需維持一段時間，長期寫 作可分為三步驟，首先是預寫或計畫（prewriting or planning），寫作者需在個人 的認知系統中針對寫作主題找出適用的資訊，並加以評估、選擇；接著進行寫作 或組織（writing or composition），寫作者將所選擇的資訊清楚的表達出來，並開 始進入寫作程序中；最後是校訂或重寫（revision or rewriting），檢視個人的思考 歷程並予以修正。此寫作形式包含了數學叢書或數學家的讀書報告、數學史、寫 信告知朋友對數學的感受等（Kenyon, 1989）。
（2）短期寫作（short-term writing technique）：寫作形式包含了解釋性寫作，學 生可以以自問自答方式釐清數學相關概念；文字題，學生自行創作文字題或將不 懂的文字題寫下，然後藉著分享、討論、找關鍵字以理解數學概念；進入新的數 學概念時，可利用摘錄重點的寫作方式讓學生組織訊息；透過擬題的寫作方式提 供學生設計題目的機會；亦可用筆記方式記錄上課內容或做省思；日誌寫作內容 不受限，可以是學習內容、疑問、感受等（Kenyon, 1989）。
2.依寫作的用途區分
（1）執行性寫作（transactional writing）：藉由語言或文字向他人清楚地陳述個 人的想法，因此寫作內容有目的、具結構性，其寫作形式有摘要、筆記、報告、
論文等（Rose, 1989）。
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（2）表達性寫作（express writing）：學生在寫作過程中同時放聲思考，記錄下 個人對問題的想法或學習上的反思，使閱讀者能透過寫作了解學生的想法（Rose, 1989）。
3. 適用於班級教學的數學寫作
（1）解釋性寫作（explanatory writing）：使學生回顧數學概念並將習得的數學知 識組織以說明數學概念或解決問題，因此沒有固定的標準答案，回答較具開放性，
而不同程度的學生在回答上也有差異，教師可透過此寫作了解學生的認知層次、
數學概念的理解與應用能力。學生透過文字、算則與圖將解題的想法一一呈現出 來時，教師可了解學生的算式及想法，便能確實掌握學生在解題時的邏輯與運用 的數學概念（Mclntosh, 1991; 劉祥通、黃國勳，2005）。
（2）偵錯式寫作（probing writing）：培養學生能判斷答案是否合理的能力，並 從題目的解題過程中找出錯誤的部分，並說明理由，再校正錯誤或提出其他解法。
藉此寫作能釐清學生的數學概念，而且從說明理由、校正錯誤與提出其他解法中 擴展其數學的知識與能力。
（3）編擬文字題寫作（generating story problems）：學生根據抽象的數學式子自 行擬定題目，進而解題、討論、練習與校正，使學生能對抽象的式子更具體化。
學生透過編擬文字題能理解數學符號所代表的意義，並將學生的生活經驗與數學 概念結合呈現，亦可增進學生構思數學問題的能力（Mclntosh, 1991; 劉祥通、黃 國勳，2005）。
（4）總結式的寫作（summarizing writing）：學生在教學活動後，將學習所獲得 的知識、意義做陳述、分析及組織，並進一步反思所習得的知識，有助於學生產 出抽象的數學概念，並藉此發展學生的後設認知能力（劉祥通、黃國勳，2005）。
（5）數學日誌（journals）：學生記錄下教師所提的問題與重點，及個人的疑惑 與感受，能抒發對於學習時的負面情緒或給予教師教學上的正面回饋（Mclntosh, 1991）。
數學寫作的類型繁多，不同的寫作方式培養不同的能力，亦提供教師在學生 學習上不同的資訊，所以教師應依教學需要與學生特質選擇適切的寫作方式。
本研究欲探討在學習資源較缺乏的臺東縣國小學生運用透過數學寫作在數
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學領域的學習成效如何？學生在不同數學寫作上的問題與困難為何？另外，透過 數學寫作了解學生如何建構起屬於個人的數學知識？因此，本研究採適用於班級 教學的數學寫作方式進行探究。利用解釋性寫作可以知道學生是否清楚數學概念，
亦可知道學生的迷思概念，從學生的迷思概念中可以設計偵錯式寫作，從找錯的 過程中釐清自己的數學概念，再藉由編擬文字題寫作使學生將算是與生活情境作 連結，最後在利用總結性寫作提供學生在教學結束後做學習上的反思，以獲得完 整的數學概念，另外在上述四種寫作中包含以數學日誌呈現的佈題，以了解學生 在學習時感受，透過數學寫作能使教師更清楚掌握學生在數學學習領域的認知、
技能與情意上之表現。
二、數學寫作的理論基礎
美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）
（1989）在「Curriculum and evaluation standards for school mathematics」（數學課 程與評鑑標準）一書中指出數學是解題、溝通、推理。九年一貫數學領域的課程 綱要中也將推論能力、溝通能力與解題方法列為數學教學的總體目標。即將於 108 學年度上路的十二年國教，在其數學領域的課程目標中，亦將培養學生推論、
溝通及數學表述的能力，以及培養數學思考問題、分析問題和解決問題的能力。
因此運用數學寫作於教學中所依據的理論基礎應能支持數學課程所欲達到的目 標，以下根據劉祥通（1997）提出的數學理論基礎說明數學寫作與數學學習的關 係。
（一）寫作歷程與解題歷程彼此呼應
認知心理學視學生為一個主動的訊息加工者，因此學生在執行任務時應該知 道什麼？要做什麼？怎麼做？需透過任務分析後才能清楚，而過程分析即直觀的 呈現認知操作時所需的知識與過程（彭聃齡、張必隱，2000）。
Flower 與 Hayers（1981，引自彭聃齡、張必隱，2000）將分析課室中的寫 作任務為過程分析的例子，並提出由任務環境、寫作歷程、寫作者的長期記憶，
三者所組成的寫作模型。而其中寫作歷程是由計畫（planning）、轉換（translating）、 回顧（reviewing）在寫作中交替進行的。
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1.計畫：計畫寫作時須先確立目標（goal setting），接著自長期記憶中檢索相關訊 息以產生想法（gennrating），將可用的訊息加以組織（organizing），以構成計畫 的藍圖。
2.轉換：將寫作者的想法轉為文字、符號表達的過程。
3.回顧：寫作者自我評價寫作的內容是否符合原先確立的目標以進行修正。
此外，寫作者須隨時監控寫作歷程，以了解寫作任務的完成情形，並決定寫 作者在寫作歷程中的位置。
而 Polya 最早有系統的提出解題策略，並將解題歷程分為：
1.瞭解題意（understanding the problem）：從問題中確認已知條件與未知，還有待 回答的問題。
2.訂定計畫（devising a plan）：解題者找出問題中各項目間的關係後初步擬定的 解題策略。
3.執行計畫（implementing a plan）：依解題計畫執行尋求答案的過程。
4.回顧檢驗（verifying the solution）：解題者驗算得到的解答並檢驗論證過程。（引 自張春興，1991）。
透過表 1 比較 Flower 與 Hayers 的寫作歷程與 Polya 的解題歷程，可見其思考 模式是對互符應（corrrspondence），因此寫作對數學的解題活動是極富價值的教 學與學習工具。
表 1 Flower 與 Hayers 的寫作歷程與 Polya 的解題歷程對照表 Flower 與 Hayers 寫作歷程 Polya 解題歷程
步驟一 計畫 階段一 瞭解題意
階段二 訂定計畫
步驟二 轉換 階段三 執行計畫
步驟三 回顧 階段四 回顧檢驗
資料來源：引自邱嬿滋，2016。
（二）寫作能連結不同表徵
表徵在認知心理學中視為記載或表達信息的方式，即表徵能代表某件事物傳
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遞某種信息，而表徵的形式可以是具體物、圖表、符號、文字或心理的表徵等。
表徵在認知心理學中為知識以及用來組織知識的，因此，學生能理解表徵所代表 的意義，即顯示學生能理解表徵所代表的數學知識與所表達的生活情境，且前述 之表徵也在學生理解下產生屬於自己代表此數學知識的表徵。
Emig 認為第一階（first order）的思考過程語言是圖形表徵，第二階（second order）的思考過程語言是寫作表徵，所以寫作能提供學生經驗較高階的思考過 程語言（引自劉祥通，1997）。Resnick 與 Ford（1981）表示寫作活動包含三種 表徵：動作的（enactive）、符號的（symbolic）、影像的（iconic），學生構思寫作 計畫並用手執行寫出，最後檢驗自己寫作的內容與思考過程，即是藉由此三種表 徵予以表現（引自劉祥通，1997）。學習數學時能透過適切的理解問題和解決問 題的表徵，將有助於學生學習，且能在不同表徵間密切的切換表示對其數學概念 已理解。
Bell 與 Bell（1985）指出溝通可藉由口述與寫作，然而口述較為隨興亦無法 回顧，但寫作卻需要經過編碼（encoding）的過程，因此能促使學生學習並思考。
Shannon 的訊息處理論中指出訊息需經過選擇注意後進入短期記憶，而短期記中 的訊息需經過編碼始能進入長期記憶，訊息經過編碼後能有利於日後檢索，即編 碼進入長期記憶的訊息才能讓學生隨時應用。
透過寫作能連結不同表徵表示其數學概念與想法，顯示其已能理解並應用，
而透過表徵編碼進入長期記憶的數學也有利於學生日後檢索。
（三）寫作能建構知識
隨著時代轉變，AI（Artificial Intelligence）人工智慧已逐漸取代人類，而要 避免學生們未來不被 AI 取代，機械式的計算題目已不是現在學生所需要的，重 複性的練習會使學生思考受限而變僵化。主動學習並透過思考建構知識，才能將 知識統整並精緻化。
建構主義認為個體知識的形成是透過個體與外界環境的互動，並先根據已有 的知識認識外界環境，因此知識是個體主動學習的。建構取向教學認為教學應以 學生為建構知識主體，所以學校應提供學生利於建構知識的環境以及適於建構知 識的教材。Miller（1992）表示寫作是主動學習的過程，能促進學生數學概念及
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解題程序上的了解，也在寫作中意識到自己想什麼？學了什麼？什麼是重要的？
教師應以引導者的身分設計教學內容，思考應協助學生建構什麼數學知識。
Bruner 的發現學習論強調學生主動探索，教師應當教學生如何思維，在學習 訊息中發現其中的原理原則使形成學習，學生根據自己的先前經驗與先備知識對 學習情境進行直覺思維，主動尋找相關線索進行連結，並在尋找過程中不斷修正、
調整，而獲致答案，每一次修正的認知歷程對學生的活饋是很有價值的有效學習
（引自張春興，1996）。學生即是透過教師在數學寫作中的佈題進行主動思考，
連結學生先前經驗對問題進行直覺思維，並再不斷修正、調整。數學寫作也是行 動後尋找理由支持，能促使學生在其思考歷程中進行自我察覺、反思與主動建構 其知識的機會。在寫作歷程中，學生不斷將訊息編碼、加工處理，訊息不斷地精 緻化，進而產生新的知識結構，因此，透過寫作能學生能主動建構其知識結構。
（四）寫作助於發展後設認知能力
後設認知能力是指對自己認知歷程上的認知能力，例如能自己掌握、監控、
調整自己的學習、自己能評估自己的學習、自己能發現自己學習困難的地方能改 變學習策略或速度（張春興，1996）。寫作能使學生陳述想法、分析訊息，而具 省思的數學問題有助於後設認知能力的發展。數學寫作不單單是要學生算出答案，
而是要學生將整個思考歷程在紙上放聲思考，讓整個思考歷程透明化，因此學生 能透過寫作內容清楚看到自己在想什麼？怎麼想？選擇什麼？哪裡錯了？教師 透過數學寫作也能反思自己的教學成效，亦是有助於教師的後設認知能力。
已上述四點理論基礎，可知數學寫作融於教學活動中確能培養學生的解題能 力、溝通能力、推理能力，以符合數學領域所欲學生具備的能力。
第二節 數學寫作應用在數學領域之學習成效
數學寫作對數學學習領域的功能前已述及，而國內外相關文獻亦多針對數學 寫作對數學學習領域的功能做探究。因此，本節將數學寫作與數學學習、教師教 學的實證研究分述如下。
一、數學寫作與數學學習
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數學寫作不是教學的目的，而是教數學的方法（Azzolino, 1990），也就是說 學生透過數學寫作學習能提升學習成效。有關數學寫作的相關文獻中，主要探究 數學寫作對學生的學習成效、學習態度，與分析學生的寫作內容，以下將相關文 獻結果分述如下。
（一）數學寫作與學生的數學學習成效
數學寫作確能提升學生的數學學習成效（呂守純，2007；陳文章 2010；郭 室宜，2008；楊德清、姜淑珍，2008；蕭明芳，2016；Dougherty, 1996; Havens, 1989）。 數學寫作能提升學生的認知能力（呂守純，2007）接受數學寫作融入數學教學的 學生其學習成效顯著優於一般教學的學生（林冠汝，2011；陳文章，2010；鄭惠 芬，2005）。數學寫作能協助學生真正的理解數學概念，而不是用技巧算數學
（Havens, 1989; 林冠汝，2011；洪宗賢，2011；胡湘采，2017；郭室宜，2008；
曾千芬，2007；楊德清、姜淑珍，2008；蔡昀辰，2014；簡雅惠，2012）。學生 透過自己的數學語言回應開放式佈題的數學寫作，建立學生在數學上強大的理解 力（Dougherty, 1996）。
數學寫作能幫助認真上課的中程度學生學習更佳（呂守純，2007；蔡昀辰，
2014；蕭明芳，2016）。寫作投入程度越高，學業成就進步越明顯（蕭明芳，2016）。
曾玉庭（2018）亦指出中高程度學生透過數學寫作學習數學的進步幅度較大，低 程度學生在短時間內透過數學寫作在數學領域的學習成效有限。魏宗明（1997）
將學生分為一般寫作、分組寫作與一般教學，而僅發現分組寫作有利於中、高程 度學生的解題能力。
然而，亦有研究指出數學寫作對學生的學習成效有不同結果。接受數學寫作 融入數學教學的學生其學習成效無顯著優於一般教學的學生，但成績略有提升或 追上接受一般教學的學生（郭室宜，2008；游群賀，2010；楊素禎，2013）。數 學寫作活動對學生的算則理解力部分並無明顯相關（魏宗明，1997）。數學寫作 實施一學年後，接受數學寫作教學的學生期成績才顯著優於接受一般教學的學生，
實施一學期時，兩組學生成就表現尚無顯著差異（曾安如，2005）。
學生的數學表達能力透過數學寫作提升（Havens, 1989; 姜淑珍、劉燕芬、
楊德清，2005；紀詩蕙，2009；楊素禎，2013；蕭明芳，2016）。透過數學寫作
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的討論活動，學生能有機會表達其想法，傾聽他人的想法，進而修正自己的想法，
展現出學生的溝通能力、批判與思考（鄭惠芬，2005）。
透過數學寫作能提升學生的解題能力（洪宗賢，2011；黃千芳，2007；黃麗 紅、溫媺純、施皓耀，2008；蔡昀辰，2014）、認知表現能力（胡湘采，2017）。
學生能主動在寫作中使用正確的數學語言與解題策略，並和教師分享解題能力的 進步，寫作內容越來越完整、正確（洪宗賢，2011；黃麗紅、溫媺純、施皓耀，
2008）。學生透過數學寫作教學能促使學生運用其他有效的解題方法，以啟發學 生多元的解題想法，以提升學生在解題及思考時的流暢度（姜淑珍、劉燕芬、楊 德清，2005；曾千芬，2007）。學生透過寫作能在認知中經歷建構知識的過程，
因此學生解題時，能有自己的解題策略（LeGere, 1991）。
學生在寫作後能運用後設認知，協助學生回顧並發展其反思能力，發展學習 策略以幫助其學習，培養學生成為自主學習的學習者（LeGere, 1991；洪宗賢，
2011；郭室宜，2008；許琬菡，2013；廖怡雯，2011）。但學生在解題歷程中的
「監控執行」階段中，使用後設認知行為的頻率並無增加（洪宗賢，2011）。數 學寫作迫使學生需要運用更高層次的技能，使學生思考他正在做什麼，清楚他正 在學習什麼，培養學生批判性思維與發展其能力（LeGere, 1991）。數學寫作改善 學生學習和解決問題的能力，數學寫作就像是學生個人在學習數學的歷史文獻，
學生透過寫作能清楚知道自己是如何做數學？如何解決問題？如何思考？遇到 那些困難？又是如何解決的？對於解決方法的評估又是如何？學生對自己在數 學學習過程中的認識更多更了解，使學生能更有效的學習數學，多數學生肯定數 學寫作能幫助學習，並主動透過數學寫作協助自己學習（Borasi & Rose, 1989）。
學生可以透過數學寫作的紀錄來評估自己在數學領域的成長（Dougherty, 1996）。
學生透過寫作將數學概念與生活經驗連結，將學生的創造力呈現在自由創作 寫作中，對於學生未來面對複雜問題時，學生能有足夠信心打破思考限制，發揮 其創意解決問題（洪宗賢，2011）。數學寫作是能使學生有效學習數學的方法，
學生用自己的話來重述概念和規則，但實則上是將數學知識內化，學生不再滿足 於能運用符號來解題，而是能為符號創造了自己的意義，並以此表達其數學知識、
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想法，連結其他數學概念，學生能更進一步對數學概念做探究，但並非大多數學 生皆能有此體驗，僅有三分之一的學生經驗過數學寫作帶給他們上述的學習經驗，
並肯定數學寫作的價值（Borasi & Rose, 1989）。透過精心設計的佈題促使學生將 學習的數學內容整合（Dougherty, 1996）。
學生表示透過數學寫作能主動學習與思考，加強對數學概念的理解與應用，
自我評估學習與思考歷程，多元化的題目可發揮學生創意並提升學生的學習興趣
（郭室宜，2008；LeGere, 1991）。
據以上所述，數學寫作在大多數實證研究中確實能提升學生的數學學習成效，
而中、高程度學生進步較明顯，低程度學生受限於研究時間較短，數學寫作在其 學習表現上進步幅度較小，對數學寫作投越投入的學生越能提升其學習成效。數 學寫作讓學生學習數學更貼近個人與生活，面對複雜化的生活情境問題，學生較 能跳脫課本的框架，找出適切的策略解決問題。透過數學寫作學生能在個人的認 知歷程中經歷建構知識的過程，然後透過賦予符號意義表達個人想法，傾聽其他 同學的另有想法，修正個人觀點以釐清數學概念或運用更多有效的方法解決問題。
數學寫作提供學生在數學領域上的學習紀錄，反思個人的學習歷程、解題歷程、
知識建構歷程，了解自己學什麼、怎麼學，評估個人學習以期達到更有效的學習，
促進學生在後設認知能力與批判性思維的培養，成為自主學習者。
（二）數學寫作與學生的數學學習態度
接受數學寫作融入數學教學的學生其在數學態度量表的得分顯著高於一般 教學的學生（陳文章 2010；郭室宜，2008；鄭惠芬，2005）。其中數學態度量表 中的學習過程項目的得分顯著提升（陳文章 2010；郭室宜，2008）。
亦有研究指出接受數學寫作教學的學生其在數學態度量表上的得分並無顯 著高於接受一般教學的學生（曾安如，2005；楊素禎，2013），或將數學寫作融 入合作學習的教學方法中，學生的數學學習態度前後測成績並未達顯著水準（吳 錫銘，2012）。但觀察接受數學寫作活動的學生其數學態度量表的前測得分低於 接受一般教學的學生，然而其後測卻發現高於接受一般教學的學生，且得分上是 有進步的，因此數學寫作確實能對學生的數學態度有正向提升的功能，尤其在提 高學生的探究動機與減少學生的學習焦慮部分，意即數學寫作對學生的學習態度
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是有正向相關的（楊素禎，2013）。然而僅觀察接受數學寫作學生的前後測，其 前後測得分無顯著差異，但後測得分確實高出前測許多（游群賀，2010；曾安如，
2005），其顯示數學寫作確實對學生的數學學習態度有幫助，而其中在數學學習 動機的前後測有顯著差異，數學自信與數學焦慮部分前後測雖無顯著差異，但比 較前後測得分，仍可得知數學寫作對學生的數學自信與數學焦慮部分有幫助（游 群賀，2010）。
數學寫作能讓學生很自在地表達他們對數學與對課程的感受，即使這些感受 是負面的，學生也能意識到這些情緒如何影響他們的學習，並應如何採取措施去 克服他們感知到的困難，這對學生的數學焦慮數學具有治療的價值（Borasi, &
Rose）。
中、高成就學生透過數學寫作學習意願提升，但低成就學生則下降（曾安如，
2005；楊素禎，2013；蕭明芳，2016）。數學寫作能帶給高程度學生成就感，給 予中程度學生學習上的幫助，並讓學生喜歡上數學，協助低程度學生了解題意（蔡 昀辰，2014）。亦有研究指出多數學生肯定數學寫作的功能，有意願持續參與數 學寫作活動（Borasi & Rose, 1989; 邱嬿滋，2016；胡湘采，2017；陳文章，2010；
游群賀，2010；楊素禎，2013；鄭惠芬，2005）。
數學寫作能提升學生對數學領域的學習興趣（紀詩蕙，2009；陳文章 2010；
郭室宜，2008）。實施數學寫作後期，中低程度學生已能參與課堂上的討論，高 程度學生在同儕競爭下改變其學習態度（胡湘采，2017）。學生在學習過程中參 與的更多（LeGere, 1991）。
學生喜歡透過數學寫作的方式來學習（游群賀，2010；簡雅惠，2012）。大 部分學生喜歡數學寫作也喜歡數學寫作的討論（鄭惠芬，2005）。喜歡數學寫作、
肯用心於數學寫作、贊成數學寫作有助於表達數學想法的學生約佔一半比例（郭 室宜，2008），表示實施數學寫作中，仍有約一半比例的學生不喜歡數學寫作、
不用心於數學寫作、對數學寫作有助於表達其數學想法持相反意見。多數學生認 為數學寫作有助於提升數學成績（吳錫銘，2012；陳文章 2010；郭室宜，2008；
曾安如，2005；游群賀，2010；魏宗明，1997）。且有一半比例的學生在實施數 學寫作後比較喜歡數學（郭室宜，2008）。透過數學寫作學習數學能讓不同程度
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的學生都有機會學習而成長，讓學生在學習上沒有壓力且樂於接受（呂守純，2007；
林冠汝，2011；曾玉庭，2018）。學生一開始接觸數學寫作時較感到不安，但後 期大多數學生皆主動積極於數學寫作上（Havens, 1989）。
家長對數學寫作普遍也表示贊成數學寫作有助於學習，支持運用數學寫作於 教學中，提升數學難度對孩子學習上是有幫助，亦期望數學寫作能提升學生在數 學領域的學習成效，研究後期，家長肯定孩子在數學上的成就進步，也意識到孩 子喜歡數學了（鄭惠芬，2005）。
綜合以上文獻顯示，數學寫作能提升其數學態度，增加學生在學習數學的自 信，提供學生一個自在、沒有壓力的平台表達學生的負面情緒以減低學生的數學 焦慮，具有療癒的價值。學生肯定數學寫作確實對其學習上有幫助，提生數學興 趣，數學課室中的參與度提高，學生透過數學寫作更認識數學也更喜歡數學，多 數學生亦有意願持續數學寫作，唯低成就學生意願較低，數學寫作也獲得家長支 持，並對數學寫作提升學生的學習成效有所期望。
（三）學生的數學寫作內容分析
學生寫作內容多元且豐富，能運用不同表徵描述其想法（林冠汝，2011；邱 嬿滋，2016；胡湘采，2017；曾玉庭，2018；鄭惠芬，2005）。學生經過數學寫 作教學後，在數學寫作內容愈見完整與正確，表示其在思考上更具邏輯性與組織 性（林冠汝，2011；邱嬿滋，2016；曾玉庭，2018）。學生的思考歷程各具獨特 性（楊雅玉，2012）。
擬題寫作能幫助學生以敘述完整的句子表達（胡湘采，2017），低年級學生 在擬題寫作與解自己擬的題方面表現優異（朱龍美，2012）。需要透過數學算式 進行逆向思考的擬題性寫作對三年級學生來說較具難度，因其在學習過程中未曾 碰觸過（黃長雄，2012）。低年級學生不易分辨對錯，甚至容易將偵錯性寫作中 的錯誤概念誤植為正確的數學概念（朱龍美，2012）。不同類型的數學寫作其提 供學生學習上的幫助也相異（吳錫銘，2012）。
學生較喜歡的數學寫作方式為當日課程的重點摘要，容易寫又不用算數學
（郭室宜，2008；曾安如，2005；楊素禎，2013），也有學生較喜愛解釋性數學 寫作，可以表達自己的想法或解讀同學的想法（紀詩蕙，2009）。較不喜歡的數
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學寫作方式為偵錯，與需進行高層次思考的統整形寫作（郭室宜，2008；楊素禎，
2013）。學生喜歡生活化、趣味化、有深度卻又簡單的數學寫作形式（鄭惠芬，
2005）。透過具有反思性的寫作佈題能讓學生反思數學的本質，闡述學生對數學 的看法（Borasi & Rose, 1989）。
高成就學生寫作內容傾向統整與歸納，顯示對學習的數學知識能有完整的心 像圖；中程度學生寫作內容傾向於呈現自我的數學概念，而到後期寫作程度與高 成就學生相仿，表達能力大幅提升；低成就學生寫作內容大多都是當日學習的回 顧與複習，進步幅度較小，低成就學生缺少整體思考，小細節分析的能力（蕭明 芳，2016）。邱嬿滋（2016）研究中顯示高程度學生能將數學知識自由轉譯，中 程度學生能以仿作形式記錄，而低程度學生僅能作程序性紀錄。不同程度學生在 數學寫作上的表現差異很大，高程度學生容易掌握題意，清楚說明其解題想法，
中程度學生能透過數學表徵其想法，但文字敘述較不完整，部分低程度學生能透 過數學寫作學習數學，成就較中、高程度學生大幅進步，然而也有部分低程度學 生過去學習較低表現或理解較差，使其無法自數學寫作中提升其表達能力（紀詩 蕙，2009）。學生在數學寫作中主要記錄學習教材的難易、解決問題的方法與學 習上的曾犯過的錯誤進而反思，中、高程度學生記錄較豐富詳實，低程度學生較 為簡單扼要紀錄（魏宗明，1997）。
不同程度學生透過寫作發現數學概念表現差異的原因：低程度學生對概念較 無深層的了解、以往較少接觸開放性問題、高程度學生適時用舉例說明解釋想法
（簡雅惠，2012）。中、低程度學生認為透過數學日記與教師溝通，表達學習心 情與問題，有助於數學學習；高程度學生喜歡透過數學日記展現其數學能力與數 學語言的使用（陳文章，2010）。
綜合分析學生數學學寫作內容的實證研究，學生的數學寫作透過不同表徵 表達呈現多元且豐富的內容，顯見學生在數學領域學習上思考各具獨特性，寫作 內容也漸趨完整、正確，顯見學生的思維漸具邏輯性與組織性，而不同類型的數 學寫作方式或佈題應評估學生能力、教學目的、教學內容等融入教學中。不同程 度學生在數學寫作表現上亦不同，高程度學生能整合數學概念建立完整的心像圖，
能掌握題意並清楚表達，在不同表徵中能自由轉譯，顯見其確實了解數學概念，
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高程度學生喜歡透過數學寫作展現其數學能力；中程度學生透過數學寫作進步幅 度最大，寫作內容多呈現自我的數學概念或是以仿作形式呈現，能表達其想法但 敘述較不完整，然而到後期中程度學生已能與高程度學生相仿；低程度學生對數 學概念較無深層理解，其寫作紀錄多呈現當日課程內容，或是對解題作程序性紀 錄，語句敘述上教簡單扼要，然而也有部分低成就學生透過數學寫作大幅提升其 數學成就，尤其在表達能力上，因此，教師透過數學寫作了解低成就學生理解上 的困難，協助對數學概念更深層的理解，使其在學習上能有大幅進步。
數學寫作確實利於學生在數學學習領域上的成效，提高學生數學自信與興趣，
降低對數學的焦慮，開放性回應讓學生更勇於嘗試可能，縝密思考以求合理答案，
在不斷思考再思考中，培養學生的後設認知與批判性思維，以修正、釐清並結合 片段的數學知識以凝聚一個活躍、有力的個人數學知識庫，面對生活問題能靈活 運用其數學知識解決。
二、數學寫作與教師的數學領域教學
NCTM（1989）將數學視為溝通，而其中寫作是一種特別有用的溝通方式，
它讓不擅於在公開場合說話的學生有一個平台表達。因此，寫作讓每位學生都能 有機會表達、學習，即使文字表達上較不順暢的學生也能用其他表徵進行溝通，
教師能獲得每位學生在學習數學上的訊息。而相關實證研究也探討這些訊息對教 師教學上的影響。
數學寫作能幫助教師了解學生數學概念的理解程度，透過寫作內容了解學生 的想法，觀察學生的學習狀態更敏銳，並診斷出學生學習上的迷思概念進而釐清，
同時也反思個人教學時應如何調整以利學生學習，教學上能更聚焦，教師也更能 掌握學生在學習時容易形成的迷思概念，強化教師數學學科的教學知識，使教師 在教學時能讓學生對數學概念更清楚了解，數學寫作是教師在教學上的診斷工具，
也是師生間的溝通橋樑（呂守純，2007；林冠汝，2011；邱嬿滋，2016；洪宗賢，
2011；姜淑珍、劉燕芬、楊德清，2005；許琬菡，2013；黃千芳，2007；曾玉庭，
2018；曾安如，2005；黃啟晉，2017；游群賀，2010；廖怡雯，2011；鄭惠芬，
2005；Borasi & Rose, 1989; Dougherty, 1996）。運用不同的數學寫作或佈題能幫 助教師了解不同程度或背景的學生的數學學習成效（朱龍美，2012；呂守純，2007；
