用 BS 與考慮流動性模型之定價誤差與避險損失比較

∂

∂ ）

Vega 代表投資組合價值變動除以標的資產波動率的變動，若 Vega 的絕對值 很大，代表投資組合價值對波動度微小變化即相當敏感，反之若Vega 絕對值較 小，則波動度變動影響投資組合價值變化相對較小。由圖5-5 我們可知當市場流 動性越差，Vega 絕對值越大，則代表投資組合價值對波動度的改變敏感程度越 高，因此Vega 越大，就必須要增加調整投資組合的頻率，適度地去調整複製的 投資組合或是避險部位。

【圖5- 5】不同股價下之 Vega 值 Vega 值隨著流動性越不足而逐漸變高

第三節 用 BS 與考慮流動性模型之定價誤差與避險損失比較

由比較後可以發現其定價誤差都比用BS 模型所計算出的定價誤差還小。另外， 群益03 絕對 2.5135 2.5150 2.0886 1.6930 1.3250 0.9830 0.6660 相對 21.12% 21.13% 17.55% 14.23% 11.13% 8.26% 5.60%

群益02 絕對 1.5960 1.5971 1.2846 0.9944 0.7252 0.4747 0.2393 相對 19.11% 19.13% 15.38% 11.91% 8.69% 5.69% 2.87%

日盛13 絕對 1.0644 1.0648 0.9417 0.8278 0.7211 0.6204 0.5262 相對 43.44% 43.46% 38.44% 33.79% 29.43% 25.32% 21.48%

華信01 絕對 4.5437 4.5469 4.2308 3.9331 3.6525 3.3886 3.142 相對 53.77% 53.81% 50.07% 46.55% 43.22% 40.10% 37.18%

群益11 絕對 3.7034 3.7051 3.3984 3.1081 2.8343 2.5773 2.3358 相對 53.67% 53.70% 49.25% 45.04% 41.08% 37.35% 33.85%

元大21 絕對 15.7050 15.7080 13.9460 12.2970 10.7590 9.3310 8.0030 相對 52.35% 52.36% 46.49% 40.99% 35.86% 31.10% 26.68%

統一09 絕對 0.5643 0.5645 0.5028 0.4432 0.3855 0.3299 0.2762 相對 56.43% 56.45% 50.28% 44.32% 38.55% 32.99% 27.62%

統一11 絕對 1.0337 1.0338 0.9546 0.8762 0.7994 0.7263 0.6546 相對 68.91% 68.92% 63.64% 58.41% 53.29% 48.42% 43.64%

元大31 絕對 1.0262 1.0263 0.9316 0.8396 0.7509 0.6652 0.5843 相對 64.14% 64.14% 58.23% 52.47% 46.93% 41.58% 36.52%

台証02 絕對 1.1088 1.1089 1.0084 0.9100 0.8137 0.7212 0.6330 相對 65.23% 65.23% 59.32% 53.53% 47.87% 42.42% 37.24%

接著由第四章第二節所定義的追蹤誤差(tracking error)，其追蹤誤差定義為 選擇權市場價值減去用自我融資動態調整策略複製的選擇權價值，目的是可以用

來衡量避險所造成的損失，可以作為避險績效評估的參考指標。

日達到避險效果的權證似乎有減少的趨勢。再看三種調整期間的平均追蹤誤差，

不論流動性高低，隨著調整期間拉長而誤差逐漸變大，如每日調整部位，BS 模 型的避險策略所得到的平均追蹤誤差為0.8399，每五日調整部位得到平均追蹤誤 差1.1425，每十日調整部位得到平均追蹤誤差 1.3084；

ρ

= 0.25 時，每日調整部 位得到的平均追蹤誤差0.2261，每五日調整部位得到的平均追蹤誤差 0.3880，每 十日調整部位得到平均追蹤誤差0.5724，所以如果能夠不考慮交易成本而每日調 整部位，本文所選取市場流動性較不足期間的權證資料作分析，結果為

ρ

= 0.25 時所得到的平均避險誤差最小。

【

避險效果衡量

】

為了衡量用本文模型所做的避險誤差是否較小，在樣本數較少的情況下，使 用無母數統計的檢定方法，利用符號等級檢定法（Wilcoxon Signed Rank Test），

分別檢定在不同流動性參數下本文模型的追蹤誤差母體平均是否小於BS 模型所

ρ

= 0.1、

ρ

= 0.15、

ρ

= 0.2 與

ρ

= 0.25 所得到的避險誤差皆顯著比 BS 模型 策略所得到的避險誤差來的小。在α =0.01 下，我們有證據說

ρ

= 0.1、

ρ

= 0.15、

ρ

= 0.2 與

ρ

= 0.25 下得到避險誤差顯著的比 BS 模型策略得到的誤差 小。

由以上可知，假設券商採每日調整部位，則不管用哪個模型或不同流動性之 下，其平均追蹤誤差都會比調整期間長的平均追蹤誤差來的小，因此較容易達到 券商欲求的避險效果，亦即追蹤誤差為負值，所以儘管在每日調整策略時，BS 模型與本文模型追蹤誤差之差異，並沒有每五日調整或每十日調整策略來的顯 著，由表5-3，在

ρ

= 0.25 時仍達到最好的避險效果，亦即有六檔權證算得的避 險誤差小於零。相對的，若採取每五日調整或每十日調整部位，本文模型與 BS 模型得到的追蹤誤差相異程度，其顯著性雖然較高，但平均追蹤誤差卻比每日調 整策略的追蹤誤差大，且每十日調整策略所得到的誤差最大，避險效果最不好。

由這些結果顯示，當市場流動性較不足的時候，用本文所選取的十檔權證來分 析，不管券商採取每日、五日或十日調整策略，本文模型所採取的策略皆可得到 比BS 模型之下所採取避險策略更佳的避險效果。

【表5- 3】考慮流動性模型與 BS 模型所得到的到期日追蹤誤差比較 群益03 1.1143 1.1168 0.9770 0.8484 0.7288 0.6143 0.5029 群益02 -1.7703 -1.7262 -2.0481 -2.3320 -2.5914 -2.8370 -3.0815 日盛13 -0.3250 -0.3221 -0.5152 -0.6949 -0.8711 -1.0375 -1.1658 華信01 0.4890 0.4751 0.2938 0.1290 -0.0203 -0.1564 -0.2815 群益11 1.1490 1.3242 1.2449 1.1530 1.0517 0.9441 0.8314 元大21 7.1003 8.1216 8.0348 7.8905 7.6936 7.4448 7.1453 統一09 -0.4836 -0.4541 -0.5478 -0.6418 -0.7346 -0.8223 -0.9038 統一11 -0.4553 -0.4324 -0.5156 -0.5958 -0.6740 -0.7500 -0.8271 元大31 0.6049 0.6230 0.4676 0.3187 0.1767 0.0417 -0.0842 台証02 0.9757 0.9956 0.7999 0.6145 0.4392 0.2759 0.1254

平均追蹤誤差² 0.8399 0.9721 0.8191 0.6690* 0.5199** 0.3718*** 0.2261***

追蹤誤差標準差 2.3842 2.6790 2.7146 2.7288 2.7248 2.7034 2.6655 平均/標準差 0.3523 0.3629 0.3017 0.2451 0.1908 0.1375 0.0848

2 *表示在 α =0.1，其追蹤誤差母體平均顯著小於 BS 的追蹤誤差母體平均 **表示在 α =0.05，其追蹤誤差母體平均顯著小於 BS 的追蹤誤差母體平均 ***表示在 α=0.01，其追蹤誤差母體平均顯著小於 BS 的追蹤誤差母體平均

顯著水準見 Daniel, W. W., 2000, Applied Nonparametric Statistics, Duxbury.

【表5- 4】考慮流動性模型與 BS 模型所得到的到期日追蹤誤差比較 （五日調整部位）

隨著

ρ

越大其追蹤誤差逐漸變小，用BS 模型策略有四檔權證達避險效果，用本 文模型避險在

ρ

=0.25 時有五檔權證達到避險效果，較每日調整部位達到避險效 果的權證少，由無母數檢定得知本文模型避險誤差比BS 避險誤差小的顯著性，

較每日調整部位的顯著性高（表中*號，其顯著程度見註解 2）。

權證名稱 每五日調整部位所得之避險誤差

BS Frey model

ρ

=0

ρ

=0.05

ρ

=0.1

ρ

=0.15

ρ

=0.2

ρ

_=0.25

群益03 0.1750 0.1754 0.0495 -0.0639 -0.1685 -0.2700 -0.3700 群益02 -1.0551 -1.0230 -1.3488 -1.6575 -1.9525 -2.2371 -2.5189 日盛13 -0.4008 -0.4045 -0.5708 -0.7374 -0.8981 -1.0526 -1.1853 華信01 1.6116 1.6473 1.4400 1.2473 1.0719 0.9132 0.7696 群益11 0.9791 1.1675 1.1018 1.0204 0.9267 0.8249 0.7167 元大21 9.2873 9.5140 9.2569 8.9825 8.6867 8.3609 7.9994 統一09 -0.4378 -0.4043 -0.5164 -0.6233 -0.7241 -0.8171 -0.9039 統一11 -0.6882 -0.6521 -0.7170 -0.7825 -0.8477 -0.9123 -0.9790 元大31 0.9155 0.9320 0.7514 0.5822 0.4238 0.2750 0.1377 台証02 1.0387 1.0634 0.8684 0.6864 0.5164 0.3589 0.2135

平均追蹤誤差 1.1425 1.2016 1.0315*** 0.8654 *** 0.7035 *** 0.5444 *** 0.3880***

追蹤誤差標準差 2.9934 3.0548 3.0292 2.9981 2.9600 2.9125 2.8542 平均/標準差 0.3817 0.3933 0.3405 0.2887 0.2377 0.1869 0.1359

【表5- 5】考慮流動性模型與 BS 模型所得到的到期日追蹤誤差比較 （十日調整部位）

隨著

ρ

越大其追蹤誤差逐漸變小，用BS 模型策略有四檔權證達避險效果，用本 文模型避險在

ρ

=0.25 時亦只有四檔權證達到避險效果，由無母數檢定得知本文 模型避險誤差比 BS 避險誤差小的顯著性，較每日調整部位的顯著性高（表中*

號，其顯著程度見註解2）。

權證名稱 每十日調整部位所得之避險誤差

BS Frey model

ρ

=0

ρ

=0.05

ρ

=0.1

ρ

=0.15

ρ

=0.2

ρ

=0.25 群益03 1.4581 1.4529 1.3267 1.1988 1.0680 0.9363 0.8027 群益02 -0.9854 -0.9648 -1.2475 -1.5486 -1.8477 -2.1348 -2.4163 日盛13 -0.4589 -0.4609 -0.6266 -0.7903 -0.9475 -1.0974 -1.2289 華信01 1.6971 1.7483 1.5126 1.3050 1.1244 0.9657 0.8234 群益11 0.8090 1.0960 1.0686 1.0196 0.9531 0.8740 0.7848 元大21 9.6551 9.8854 9.7068 9.4785 9.2013 8.8745 8.4989 統一09 -0.5074 -0.4801 -0.5846 -0.6866 -0.7839 -0.8742 -0.9574 統一11 -0.7583 -0.7379 -0.8033 -0.8696 -0.9354 -0.9996 -1.0656 元大31 1.0456 1.0631 0.8746 0.6995 0.5364 0.3841 0.2438 台証02 1.1290 1.1432 0.9345 0.7408 0.5601 0.3930 0.2390

平均追蹤誤差 1.3084 1.3745 1.2162 * 1.0547 *** 0.8929 *** 0.7322 *** 0.5724 ***

追蹤誤差標準差 3.0938 3.1544 3.1481 3.1302 3.0985 3.0513 2.9891 平均/標準差 0.4229 0.4357 0.3863 0.3369 0.2882 0.2399 0.1915

第六章 結論與建議

本文採用Frey(2000)與 Frey 和 Patie(2001)在流動性不足之下的歐式選擇權定 價模型，探討當流動性不足時，選擇權標的股價、波動度與選擇權價格會如何受 到大型投資人動態避險策略影響，以及如何建立避險部位方能減少避險誤差，規 避掉市場風險與流動性風險，加入無風險利率於模型中使模型更為一般化，且探 討考慮流動性不足因素下，金融機構發行選擇權，該如何訂價與避險，Frey 和 Patie(2001)將 BS 偏微分方程修正為一非線性偏微分方程，並用有限差分法與牛 頓法來解此非線性偏微分方程，求得理論的選擇權價格，但本文將此非線性方程 先轉為線性偏微分方程再進行求解，因此預期可以減少相當多的程式運算時間，

隨著標的證券價格變動，解出不同流動性之下的歐式買權理論價格與Greeks，觀 察其將會如何變化。實證部份挑選台股加權指數每月成交量較少的年度來做分 析，採用台灣美式單一個股認購權證，挑選其中標的公司無發行股利的權證，因 其性質將類似歐式買權。從券商的角度出發，當證券市場有流動性問題產生時，

券商如何對認購權證做定價，並以此理論價格做為避險成本，在發行日建構一個 包含標的股票與無風險性資產的投資組合，用此投資組合來複製認購權證，採用 間斷調整投資組合股票與無風險性資產部位。本研究選用每日避險、五日避險與 十日避險三種不同的調整期間來做比較，於到期日時求得追蹤誤差，其定義為認 購權證市場真實價格減去複製的投資組合價值，比較用BS 模型與本文模型所做 的避險策略，研究其追蹤誤差在不同調整期間下的變化。本篇研究得到以下幾點 結論：

一、在考慮流動性因素下，Frey 和 Patie(2001)將 BS 偏微分方程修正為一非線性

的理論價格，並求得選擇權的 Delta、Gamma 與 Vega 值，以及比較其在不

故此時用BS 模型避險策略將會造成避險不足（under hedge）的問題；

在股價大於執行價時，避險比率會因為流動性不足而減少，故使用 BS 模型避險策略會造成過度避險（over hedge）的狀況。整體而言 Delta 隨著流動性不足(

ρ

越大)而越顯平坦，因此在考慮流動性因素下，我們 關係，以及觀察出正向回饋效果（positive feedback effect）的強弱。

4. Vega 值（

u

二、本文利用Frey and Patie (2001)所提出的模型，且設定流動性參數

ρ

從0 到 0.25 與 BS 模型所做的十檔認購權證做定價誤差的比較，在實證結果顯示使 用本文模型所產生的定價誤差較小，尤其是在

ρ

= 0.25 時算得的定價誤差最 小，其相對誤差與 BS 模型所算的相對訂價誤差做比較，平均可降低 22.55%，由此可顯示在我們選擇的這段期間內，用本文模型且

ρ

= 0.25 時，

來評價權證價格應該是恰當的。

三、本研究分別使用兩種選擇權定價模型計算權證的理論價格作為券商避險成 本，並且建構一個投資組合來複製認購權證價值，間斷地調整其避險部位，

調整期間分成每日、每五日與每十日，以自我融資（self-financing）的方式 來複製認購權證價值，求得不同流動性參數下的追蹤誤差並加以比較。

1. 研究發現不管調整期間多長，追蹤誤差大多隨著

ρ

變大而逐漸變小，亦 即此時參數設定

ρ

= 0.25 算得的追蹤誤差最小，似乎較能符合當時市場 狀況。

2. 每日的平均追蹤誤差會比每五日或每十日所算得的平均追蹤誤差來的 小，顯示每日調整避險部位應較容易達到券商所要的避險效果，亦即追 蹤誤差小於零，因此券商可複製出一個較市場認購權證價值高的投資組 合。

3. 利用無母數檢定避險誤差是否小於 BS 模型的避險誤差，結果發現每日 避險的檢定結果比每五日或每十日的檢定結果還不顯著，採取每五日調 整避險部位檢定結果最為顯著，我們發現用本文模型

ρ

從 0.05 到 0.25 算得的追蹤誤差皆顯著比BS 模型算得的追蹤誤差小。

因此每日調整部位所算得的追蹤誤差雖然較小，但是因為本文尚未考慮交易 成本，若券商考慮交易成本採取五日避險或十日避險，由無母數檢定可知五

果。

八、流動性衝擊（illiquidity shock）可能會對漂移項（drift term）造成影響，產 生風險貼水（risk premium），後續研究需將模型漂移項做調整。

參考文獻

詹場，胡星陽(民90，7月)，流動性衡量方法之綜合評論，國家科學委員會研究 彙刊: 人文及社會科學，11(3)，205-221。

詹場，胡星陽(民90，7月)，流動性衡量方法之綜合評論，國家科學委員會研究 彙刊: 人文及社會科學，11(3)，205-221。

在文檔中 考慮流動性因素下金融機構發行選擇權之訂價與避險：理論與實證分析 (頁 36-52)