第五章 實證分析
第二節 不同流動性之下的避險成本與 Greeks
首先利用第四章第四節所介紹的有限差分法，求得到期日相同但不同股價下 的選擇權價格、Delta、Gamma 及 Vega，比較在不同流動性之下的選擇權價值如 何改變與部位風險變化。
z 避險成本(hedge cost)
圖 5-2 為在不同流動性下(
ρ
=0 ~ 0.25)1，用有限差分法評價三個月到期 (T=0.25)的歐式認購權證，分別計算起始股價(S0)不同的三個月到期選擇權價 值，履約價X=100，無風險利率 r = 0.02，波動度σ
=0.4，股價最小值為10，最 大值為200。可看出隨著ρ
變大，亦即流動性越不足時，波動度也因為流動性不 足而大於預設的常數波動度 0.4，因此計算出來的選擇權理論價值會越高，假設 券商沒有存在套利的情況下，選擇權的理論價格即可視為其避險成本，所以流動 性越不足時，避險成本也就越高，並且在價平附近(S=X=100)的價格改變較大。。【圖5- 2】不同股價下之選擇權定價
此圖只有繪出起始股價為60~160 這段，隨著
ρ
增大流動性越不足時，模型所算 出的選擇權理論價格逐漸提高，且可將此視為避險成本，在價平(S=X=100)附近 的改變量較大。z 避險比率（hedge ratio，Delta，
u S
∂
∂ ）
Delta 定義為選擇權價值的變動相對於其標的股票價格的變動之比率，因為 我們通常使用 Delta 中立來規避風險，因此 Delta 又稱避險比率。由圖 5-3，避 險比率在S<X 的時候，隨著
ρ
增加而變大，例如S=80，ρ
=0 時其避險比率僅在 0.15 左右，當ρ
上升至0.25，其避險比率也上升至 0.3；反之，在 S>X 時避險比 率卻隨著ρ
增加而變小，ρ
越大Delta 圖形越顯平坦。由圖可知當市場流動性不 足時若用BS 模型 Delta 中立來避險，在 S<X 時會避險不足(under hedge)，而在S>X 會過度避險(over hedge)，如此一來會產生避險誤差而造成損失。
【圖5- 3】不同股價下之避險比率 (Delta)
隨著
ρ
越大Delta 圖形越顯平坦，若在流動性不足的情況下使用 BS 模型 Delta 中立來進行避險，在S<X 時會避險不足，S>X 時會過度避險。z Gamma（
2 2
u S
∂
∂ ）
Gamma 是 Delta 的變動量再除以標的資產價格變動量，即可視為 Delta 變化 量對於資產價格變化的敏感關係，若 Gamma 小表示 Delta 變動的較慢，那麼為
且在價平附近，原本
ρ
=0 的 Gamma 值為 0.02，但是當ρ
=0.25 時，其 Gamma 下降至 0.012，可看出在價平附近 Delta 對標的資產價格變動逐漸不敏感，而價 內與價外皆隨著流動性越不足，Delta 對股價變動的敏感度越高，但在價外時變 動較大，當股價為60 時，我們可以看出不同的市場流動性狀態下，Gamma 值的 變化是非常大的，最多大約差了四倍左右。【圖5- 4】不同股價下之 Gamma 值
當
ρ
逐漸變大，Gamma 值的高峰逐漸左移且降低，並在價平附近改變量最大。z Vega（
u σ
∂
∂ ）
Vega 代表投資組合價值變動除以標的資產波動率的變動，若 Vega 的絕對值 很大，代表投資組合價值對波動度微小變化即相當敏感，反之若Vega 絕對值較 小，則波動度變動影響投資組合價值變化相對較小。由圖5-5 我們可知當市場流 動性越差，Vega 絕對值越大，則代表投資組合價值對波動度的改變敏感程度越 高，因此Vega 越大，就必須要增加調整投資組合的頻率，適度地去調整複製的 投資組合或是避險部位。
【圖5- 5】不同股價下之 Vega 值 Vega 值隨著流動性越不足而逐漸變高