第三章 光子晶體電源層
3.2 色散圖與頻帶分析
(a) (b)
圖3-1 光子晶體結構示意圖 (a)一維光子晶體 (b)二維光子晶體。
圖3-2 週期柱狀排列之二維光子晶體結構
3.2 色散圖與頻帶分析
當 電 磁 波 在 同 質 均 勻 的(homogeneous) 介 質 中 傳 播 時 ， 其 傳 播 常 數 k (propagation constant)與角度頻率ω 有一關係式：
( )
r
k ck
ω = ε (3-1)
其中波速c/ εr 與反射係數 εr 成反比，同樣角度頻率ω 與反射係數 εr 成反 比。而將角度頻率ω 對傳播常數 k 的變化作圖即為色散圖(dispersion diagram)。
但在光子晶體結構中，其介質為週期性的重複排列變化，電磁波在其中傳 播時不再是看到同質均勻的材質，其邊界條件(boundary condition) 也是週期的重 複，而一維光子晶體之傳播模態(propagation mode) 可以式 3-2 [28]表示： 單的一直線，我們可利用全波模擬軟體HFSS 中的求解特徵模態功能(eigenmode solver) 來求出介質中不同傳播常數的傳播模態，並且以此繪製色散圖。
在圖3-3 中，分別對 3 種不同多層薄板之一維光子晶體結構繪製其週期方向 之一維色散圖，此三結構每層厚度均為一半週期(0.5a) ，及兩種介質之厚度相 等。圖3-3(a)對應的結構其介質的 DK 值均為 15，是為同質均勻的介質，但同樣 可定義其週期長度為a 並以此繪製色散圖；如前所述，其色散圖為如式 3-1 所描 述的簡單直線，此直線又稱為光直線(light-line) 。由於週期結構的特性，在波向 量ｋ到達一週期之邊緣時將會重覆前一週期的行為，故下一週期色散圖的曲線也 如同前一週期，呈現摺疊重複的情形，故僅需分析單一週期之情形即可代表整體 結構，此單一週期的區域又稱為布里淵區(Brillouin zone)。
圖 3-3(b) 對應的是一近似於同質均勻的結構，兩種介質的介電常數分別為 DK1 = 15、DK2 = 13 ，差異極小，故其色散圖曲線相似於光直線，但有一重要 的不同處在於：在上下兩條模態曲線間有一截止頻帶，而無論任何波向量ｋ都無 法在此截止頻帶內激發出在光子晶體中傳播之模態，而此截止頻帶稱為光子能隙
(a)
(b)
(c)
圖3-3 三種一維光子晶體結構及其一維色散圖
(Photonic Bandgap)。而圖 3-3(c)對應的則是兩介電常數差距較大的光子晶體結 構，分別為DK1 = 15、DK2 = 2.2。明顯的當兩介質之介電常數差距越大，光子 能隙的頻寬也越寬。
欲了解為何會產生此光子能隙的截止頻帶，可參考在此截止頻帶上下邊界 模態之電場場形來說明。我們以圖3-3(c)色散圖的頻帶結構來作說明，截止頻帶 的上下界分別在頻帶曲線I (band I) 的最高點和頻帶曲線 II (band II) 的最低點，
而此兩點均在布里淵區的邊界處(k =π/ )a ，而在此點激發之模態均為駐波 (standing wave)，此駐波波長為兩倍的晶格常數 a。
(a)
(b)
圖3-4 截止頻帶上下邊界兩模態之電場、能量分佈圖及 HFSS 模擬之場型 (a)頻帶曲線 I 最高點之模態 (b)頻帶曲線 II 最低點之模態。
圖3-4(a) 為截止頻帶下邊界模態之電場、能量分佈圖及 HFSS 模擬之場型， 為一正方晶格(Square Lattice) 排列之二維光子晶體結構及其布里淵區和色散 圖，其結構是在低介電材質(DK2 = 4.4) 的基底中，以正方晶格週期排列放置柱 狀高介電材質(DK1 = 100)，其結構與圖 3-2 所示相似，而圓柱半徑 r 與晶格常數 a 的比例 r/a = 0.16。二維光子晶體之色散圖與一維光子晶體不同，其橫軸代表二 維平面上不同方向大小的 k 向量(propagation vector) ，只要了解布里淵區內各個 方向大小 k 向量所激發之模態就可代表整個結構激發模態的效應。而由於布里淵 區 圖 形 的 旋 轉 與 鏡 射 的 對 稱 性 ， 僅 需 分 析 圖 中 三 角 區 域 的 約 化 布 里 淵 區 (Irreducible Brillouin Zone) 即可代表整個布里淵區的情形，故只需畫出 k 向量繞
著約化布里淵區邊界路徑走一圈的色散圖，如此已足以顯示頻帶結構的主要特 徵，且對於截止頻帶的情況也不至於有所缺漏。而色散圖上所繪製的頻帶結構均 為TM 模態，事實上 TE 和 TM 模態都可藉由模擬得到，但由於此結構僅有 TM 模態具有光子能隙的特性，故繪製TM 模態的頻帶結構曲線；而本論文也較著重 於TM 模態光子能隙的效應，故對於 TE 模態的頻帶結構和會產生 TE 模態光子 能隙的光子晶體結構，在本論文中均不予以討論。
圖3-5 正方晶格排列之二維光子晶體結構及其布里淵區和色散圖
在此我們使用 MPB (MIT photonic-band)軟體[29] 來計算色散圖的頻帶結 構，MPB 軟體為一專門分析週期結構的特徵模態(eigenmodes) 的軟體。其使用 方式為指定特定的邊界條件、介質參數(DK)、結構尺寸比例 ( / )r a ，並且定義不 同的 k 向量來計算其對應的模態，藉此繪製出圖 3-5 的色散圖。由圖中可輕易觀 察得到兩頻帶曲線間截止頻帶的位置與寬度，或由計算出的模態曲線頻率數據來 估算之；而截止頻帶的寬度與位置由兩介質的介電常數和光子晶體的形狀尺寸所 決定，兩介質的介電常數大小差距越大則截止頻帶越寬。
二 維 週 期 排 列 除 了 正 方 晶 格 排 列 外 ， 還 有 三 角 晶 格 排 列(Triangular Lattice)，圖 3-6 即為一三角晶格排列之二維光子晶體結構及其布里淵區和色散 圖，其結構為使用三角晶格作柱狀排列，低介電材質介電常數DK2 = 4.4 ，高介 電材質介電常數DK1 = 100，而圓柱半徑 r 與晶格常數 a 的比例r a/ = 0.2，同樣 的色散圖所繪製的頻帶結構均為TM 模態。
圖3-6 三角晶格排列之二維光子晶體結構及其布里淵區和色散圖
而除了使用MPB 軟體外，另外也可利用全波模擬軟體 HFSS 來模擬光子晶 體色散圖的頻帶結構，其與MPB 軟體最大差異在於必須繪製出實際結構尺寸，
確定如a、r 等尺寸參數，而非 MPB 軟體中只需輸入 r/a 比例。也由於此，計算 頻帶結構時，HFSS 是以單位為 GHz 的實際頻率為縱軸作圖，因其 a、r 均已確 定，不過經由簡單的單位換算也可將實際頻率轉換成單位為 ωa/2πc 的正規化頻 率。
圖3-7 為使用 HFSS 所繪製出的實際模擬結構，圖 3-7(a)為高介電值圓柱依
(a) (b)
圖3-7 使用 HFSS 模擬時所繪製之光子晶體單位結構 (a)正方晶格 (b)三角晶格
(a) (b) 圖3-8 HFSS 模擬之三角晶格單位結構
(a)週期排列後之整體結構 (b)單位結構及其布里淵區示意圖
正方晶格排列所形成光子晶體之單位結構(等同於其布里淵區)；圖 3-7(b)為高介 成光子晶體之頻帶結構，高低介電質介電常數分別為 DK1=100、DK2=4.4 與圖 3-5 相同，圓柱半徑 r = 2mm，晶格常數 a = 12.5mm，r a/ = 0.16 與圖 3-5 相同。
(a)
(b)
圖3-9 HFSS 與 MPB 所模擬色散圖之比較 (a)正方晶格 (b)三角晶格