第三章 理論分析
3.2 奇偶模對稱分析
1
1 ω Γ
= −
=
=
load inc
LR P
P 送到負載的功率
由波源可獲得的功率
P ， (3.11)
這裡的PLR就是當波源與負載均匹配時，S21 2的倒數。以dB表示的插 入損耗(IL)及反射損耗(RL)為：
2 21
log 1
10 P S
IL= LR = ，RL=10logS11 2 =10log1− S212 ， (3.12)
3.2 奇偶模對稱分析
當分析的網路具對稱性時，由此網路對稱面處一分為二，拆成兩 個相同電路，將有利於分析複雜的網路[13]。當網路作偶模態激發 時，如圖 3.2(a)，輸入與輸出同相位且等電位，對稱的界面處開路，
將原來雙埠網路變成兩個完全相同的單埠網路，是為偶模網路。同 理，當網路作奇模態激發時，如圖 3.2(b)，輸入與輸出反相位且等電 位，對稱的界面處短路，將原來雙埠網路變成兩個完全相同的單埠網 路，是為奇模網路。
圖 3.2 對稱的雙埠網路其(a)偶模激發，和(b)奇模激發。
由於任何對稱性的雙埠網路激發後，可由激發的偶模和奇模的網
ine ino
， (3.16)
由(3.16)的最後兩式，可顯而易見其對稱性。
令Z 和 代表單埠，偶、奇模網路的輸入阻抗。並由(3.10)、(3.1) 及(3.2)得：
Z
1
從(3.18)裡，可將(3.13)化成：
1
將(3.19)代入(3.16)，可獲得一些有用的公式：
( ) ( ) ( ) ( )
特別適合窄頻帶(<10%)的帶通或帶止濾波器的設計。
阻抗與導納反轉子的操作概念可由圖 3.3 解釋，由於此兩個反轉 子會反轉負載的阻抗或導納(電感轉為電容，或電容轉為電感)，所以 也可用以將串、並聯的元件分別轉換為並、串聯的元件。反轉子的優 點是，使原本電路中之元件值如電感、電容或電阻值，隨著 J 或 K 值 改變， 或 ，例如：在圖 3.3(a)中，令 J=1 時， ， 其導納轉換即可作單純化，在奇、偶模態激發時，就有利於低通原型 電路分析。
s
p J Z
Y = 2 Zs =K2Yp Yp =Zs
圖 3.3 (a)用 J 反轉子將串聯阻阬等效為並聯導納；
(b)用 K 反轉子將並聯導納等效為串聯阻抗。
另外，在濾波器設計上使用反轉子，可使得整個濾波器電路共振 腔與共振腔之間的複雜關係，予以簡化，藉由電容或電感之 π 型網 路的集總元件等效電路作適當轉換，J =ωoC=1/(ωoL)或
) /(
1 C L
K =ωo = ωo ，如圖 3.4 所示。當電路網路複雜不易分析時，等效 化作 J 或 K 值，可將網路模型簡化[17]。到了後面 3.5 節交錯耦合的 介紹時，我們會發現這種反轉子的運用，使得電路設計更富彈性，有 助於交錯耦合型共振腔濾波器的設計與分析。
圖 3.4 反轉子之集總元件 π 型等效電路(a)電感，(b)電容。
3.4 共振腔微小化設計
本論文所設計的平面式微帶線濾波器元件為集總式元件(Lumped elements)，其傳輸線的結構為最廣泛使用的微帶線(Microstrip Lines) 如圖 3.5 所示，主要的原因是微帶線可用照相蝕刻法(Photo etching) 製造，也非常容易與其他的主動或被動微波電路連接且積體化。
圖 3.5 微帶傳輸線簡示圖。
共振腔為構成濾波器的基本元件，本論文主要的研究目的之一，
是製造 1cm×1cm 面積內的微小化濾波器元件，所以微帶線共振腔的 結構及尺寸是微小化的關鍵。準橫向電磁(Quasi-TEM)波在通過微帶 線時，電荷分佈因延遲現象而不均勻，造成電荷量的變動，因而在共 振腔內形成電容效應，透過此現象的應用，改變幾何結構可達成微小 化的目的。一些不同結構的微帶線共振腔如圖 3.6 所示。圖 3.6(a)的 結構是一般傳統的二分之一波長共振腔的類型，通常當作平行耦合線 的濾波器來使用，實際設計上極佔空間，而不符合尺寸微小化的要 求。圖 3.6(b)的結構是將圖 3.6(a)拗成 U 字型如髮夾(hairpin)結構的共 振腔，雖然已縮小面積，但尺寸面積仍然過大。再將髮夾型拗成圖 3.6(c)方型開迴路式結構，由於方形開迴路式的設計，在此共振腔的 末端會產生上述共振腔本身的電容效應，得以縮小共振腔面積的尺寸 [4],[18]，總面積比髮夾型縮小約 7%。此結構的缺點侷限在末端的耦 合面積，為了進一步增加電容效應及縮短尺寸，將圖 3.6(c)加入耦合 線如圖 3.6(d)，其面積大約縮小約 27%，形成密集化內摺式微小化共 振腔的架構[19]，此結構末端的兩條平行耦合線為主要聚集的電容效 應，是內摺式髮夾型的主結構，在設計時為了增加耦合量，將結構末 端的兩條平行耦合線之長度適當地延長，寬度適當地加寬，耦合線的 間隙也愈窄愈好，其目的都是為了增加電容效應。
圖 3.6 釔鋇銅氧之微帶線且共振頻率約為 1.8GHz 時，
(a)微帶線共振腔(Microstrip resonator) (b)髮夾型共振腔(Hairpin resonator) (c)方型開迴路共振腔(Square open-loop resonator)
(d)具耦合線之內摺式微小化髮夾型共振腔(Miniaturized hair-pin resonator with folded coupled lines)。
3.5 具高選擇性的交錯耦合結構
本論文所使用的 2×2 排列交錯耦合型濾波器(cross-coupled microstrip filter)，是藉由交錯耦合結構使通帶兩側產生一對傳輸零 點，使截止頻帶外側附近的雜訊，得以迅速衰減，不致於佔據太多頻 寬，提高濾波器元件本身的選擇性(selectivity)[4],[14],[20]。首先說明 交錯耦合的三個基本的耦合結構︰共振腔 1 和 4 為電耦合(Electric coupling)、共振腔 2 和 3 為磁耦合(Magnetic coupling)、共振腔 1 和 2 或共振腔 3 和 4 為混合型耦合(Mixed coupling)[14]，如圖 3.7 所示。
圖 3.7 交錯耦合型濾波器的 2×2 排列結構，基板介電常數εr和厚度 h。
3.5.1 電耦合(Electric Coupling)
兩個共振腔的排列如圖 3.8(a)所示時，當共振腔發生共振時，在 有間隙(open-gap)端會有最大的電場密度產生，就會產生電耦合。圖 3.8(b)為圖 3.8(a)的等效電路模型，其中 L、C 表單一共振腔本身的電 感和電容，因此單一共振腔本身的共振頻率即為(2π LC)−1/2，而 Cm
則是表示兩個共振腔之間的耦合電容(mutual capacitance)。
從 T1-T1'和 T2-T2'的參考平面看入整個電路，相當於一個雙埠網
路，此等效電路模型可以由下面的兩個數學式來描述︰ 電牆(electric wall))，此時等效電路的共振頻率為︰
) 中心對稱的 T-T'參考平面即為開路(或磁牆(magnetic- wall))，此時等 效電路的共振頻率為︰
耦合發生時，將會產生兩個高、低頻共振頻率。
藉由(3.24)和(3.25)式定義電耦合係數M14︰
2 2
2 2
14
o e
o e m
f f
f f C M C
= +
=
(3.26) 此時耦合量以電容來表示，因此又可將電耦合結構稱為電容性耦 合結構，且因 fo比 fe小，所M14必為負值，。
3.5.2 磁耦合(Magnetic Coupling)
兩個共振腔的排列如圖 3.9(a)所示時，當共振腔發生共振時，相 對於間隙的窄線端會有最大的磁場密度產生，就會產生磁耦合。圖 3.9(b)為圖 3.9(a)的等效電路模型，其中L、C表單一共振腔本身的電 感和電容，因此單一共振腔本身的共振頻率即為(2π LC)−1/2，Lm則是 表示兩個共振腔之間的耦合電感(mutual inductance)。從T1-T1'和T2-T2' 的參考平面看入整個電路，相當於一個雙埠網路，此等效電路模型可 以由下面的兩個數學式來描述︰
2 1
1 j LI j LmI
V = ω + ω ， (3.27a)
1 2
2 j LI j LmI
V = ω + ω ， (3.27b) 由(3.27a)和(3.27b)式可得 Z 參數矩陣︰
Z11 =Z22 = jωL， (3.28a) Z12 =Z21 = jωLm， (3.28b) 根據網路理論[21]及前面 3.3 節所敘述，可以將圖 3.9(b)的等效電
路轉換為圖 3.9(c)，用阻抗反轉子(K inverter) K=ωLm來取代兩個共振
3.5.3 混合型耦合(Mixed Coupling)
兩個共振腔的排列如圖 3.10(a)的耦合結構，在這兩個共振腔相鄰
處分別有電場和磁場的分佈，因此同時會產生電耦合和磁耦合，稱之
則中心對稱的 T-T'參考平面即為開路(或磁牆)，此時等效電路的共振
圖 3.8 (a)電耦合共振腔結構；(b)電耦合共振腔等效電路；
(c)利用導納反轉子J=ωCm轉換的電耦合等效電路。
圖 3.9 (a)磁耦合共振腔結構；(b)磁耦合共振腔等效電路；
(c)利用阻抗反轉子K=ωLm反轉的磁耦合等效電路。
圖 3.10 (a)混合型耦合共振腔結構﹔(b)混合型耦合共振腔等效電路；
(c)利用阻抗反轉子K=ωLm’和導納反轉子J=ωCm’表示磁耦合 和電耦合的混合型耦合等效電路。
3.5.4 交錯耦合型帶通濾波器
本論文研究的濾波器的主要架構為四階共振電路之交錯耦合型 帶通濾波器，濾波器的耦合結構必需滿足圖 3.11 之耦合結構，其中 Qei、Qeo為內外部品質因數，M1,2、M2,3、M3,4為正耦合值，M1,4為負 耦合值，也就是說交錯耦合是由共振腔 1 與 4 的耦合相位，不同於其 它的耦合相位產生的，讓通帶外兩側出現一對傳輸零點[6],[15]。
圖 3.11 具有一對傳輸零點的四階微帶線帶通濾波器的耦合結構。
3.6 饋入裝置的應用
平面濾波器不同的饋入裝置應用，分為 0o與 180o饋入結構，利用 傳輸矩陣來分析饋入結構，發現其中一種饋入方式，可增加額外一對 傳輸零點，使得帶通信號邊緣響應的陡峭度大幅提升，提高阻絕能 力。在此我們先利用簡單的髮夾型共振腔(hairpin resonator)結構，來 述敘 0o饋入裝如何產生一對傳輸零點，然後再以相同的原理，應用在 四階交錯耦合型濾波器。
利用兩個髮夾型半波長開路傳輸線共振腔，隔著一小間隙佈置成
環狀，每條傳輸線有特性阻抗Zo，並隔成兩區域，其電氣長度(electrical
length)分別為θ1和θ2。如圖 3.13 所示，耦合結構的上、下傳輸路徑的 電氣延遲時間(electrical delays)，在基本共振頻率下並不相同，這種稱 為 180o(180-degree)饋入結構。如圖 3.12 所示，上、下路徑的電氣延 遲 時 間 (electrical delays) 相 同 ， 則 稱 為 0o(zero-degree) 饋 入 結 構 [11],[16],[22]。
3.6.1 0
o饋入結構
和
1
1 1 o
tanθ ≈ Z ωC 或 tanθ2 ≈1 ZoωC1， (3.44) 因為C1很小，所以傳輸零點將會發生在當θ1 ≈π 2或θ2 ≈π 2。檢查傳 輸零點的存在，考慮(3.42)的(Au +Al)2 −4項，在Bu=0 的情況下，
0 4 ) cos cos
cos cos ( 4 )
(Au +Al 2 − = θ1 θ2 + θ2 θ1 2 − ≠ 。因此，傳輸零點可在 的條件下產生。由於
0 lim 21
0 =
→ S
Bu θ1比半波長共振腔的一半長還短，所以
會造成高頻位置的零點；而θ2比半波長共振腔的一半長還長，所以會 造成低頻位置的零點。這一對額外的傳輸零點，用來增加截止頻帶的 衰減深度而言，很有幫助。
3.6.2 180
o饋入結構
圖 3.13 180o饋入結構的等效電路及其參數。
180o饋入結構的分析與斜對稱饋入結構相似，C1為間隙等效電 容。如圖 3.13，180o饋入結構的上、下信號路徑的傳輸矩陣：
⎥⎥
1
2 1 o
tanθ = Z ωC ， (3.50) 但不論在(a)或(b)任一情況，其 該項為零，這表
示在(3.48)中， 或 皆為有限值且傳輸零點無法產生。
2
2 ( )
)
(AuBl +AlBu − Bu +Bl
0 21
lim S
Bu→ 21
0
lim S
Bl→
3.6.3 0
o與 180
o饋入結構的應用
從3.5 節可知四階的交錯耦合型結構的等效電路極為複雜，不易 由傳輸參數矩陣來分析，但由之前所述敘的原理可知，0o饋入之耦合 結構的上、下傳輸路徑的電氣延遲時間相同時，即可產生一對傳輸零 點。因此，由圖3.7 共振腔1與4中，我們可選擇饋入點的位置，即 可達到0o饋入與180o饋入的效果，如圖 3.14所示。在此須注意，0o饋 入點的位置不可太靠近共振腔之中心紅線位置，若太靠近則產生的零 點會太接近通帶邊緣，會影響到通帶的效能表現；其次，饋入線的寬 度，最好與共振腔線寬相同，如此一來，才不會造成阻抗不匹配，使 得信號的反射損耗(RL)嚴重。
圖 3.14 四階交錯耦合結構共振腔 1 與 4 之(a) 0o饋入，(b) 180o饋入。
第四章 濾波器設計
一般設計傳統濾波器乃採用插入損耗法(Insertion Loss Method) 來實現濾波器元件，但在本論文裡，無法直接套用此方法，原因在於 準橢圓(Quasi-elliptic)低通轉換函數合成函數，並非實係數之函數，
即使經由數值縮放後產生的帶通函數仍舊非實係數函數，其集總式帶 通濾波器電路自然也無法獲得。因此，我們利用準橢圓函數所給定的
即使經由數值縮放後產生的帶通函數仍舊非實係數函數，其集總式帶 通濾波器電路自然也無法獲得。因此，我們利用準橢圓函數所給定的