第三章 估計方法
第二節 薪資估計模型－追蹤資料
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第三章 估計方法
第一節 就業選擇估計模型
為了比較不同族群在不同年度對於就業選擇的變化，本文將針對各年度各 族群的就業選擇做估計，以經濟學家常用的二元選擇模型Probit 模型估計勞工 的就業選擇，方程式如下：
Employee = δ + (1)
= 1, ⋯ , ; = , ; T = 2008, 2009
其中， 為勞工個人， 為族群身分(即城市勞工 U 或農民工 M)，T 代表 2008 年度的資料或是 2009 年度的資料，Employee 為一虛擬變數，若 族群 勞工在T 年選擇為為受雇勞工，則Employee = 1，若勞工選擇不就業、成為 自雇勞工或其他，則Employee = 0。 為影響 族群勞工在T 年選擇的受 雇與否的相關變數，δ 代表相關變數的估計向量， 代表殘差項。藉由 Probit 模型估計結果求算 Inverse Mills Ratio (IMR) = =
( ( ) Φ(⁄ ))，其中 代表標準常態機率密度函數(standard normal probability density function)，Φ代表標準常態累積機率函數(standard normal cumulative distribution function)，每個觀察個體得到不同的 IMR，並將加入以 下不同薪資估計模型之中，用以修正樣本選擇性偏誤的問題。
第二節 薪資估計模型－追蹤資料
過往文獻在研究薪資差異和人力資本回報率時，由於資料取得不易，多使 用橫斷面估計模型。本文藉由由2008 年和 2009 年 RUMiC 資料所組成的追蹤資 料(Panel Data)能同時發揮橫斷面資料和時間序列資料的特性，並克服橫斷面資 料因為個體特性差異所造成的異質性問題(Heterogeneity)，以及時間序列資料可 能會有的序列相關(Serial Correlation)的問題。Hsiao(1986)研究結果，使用追蹤資
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料有以下好處：
1. 提供更多的樣本數和模型自由度。
2. 減少共線性的問題。
3. 減低個體加總所產生的偏誤。
4. 避免橫斷面與時間序列資料單獨檢定時發生的誤差。
5. 可控制樣本的異質性。
依據討論主題和樣本特性，經濟學家會選擇不同的追蹤資料估計模型。為 了比較各模型的優異，本文在薪資估計時使用混和迴歸模型(Pooled Regression Model)、隨機效果模型(Random Effects Model)、固定效果模型(Fixed Effects model)和 Hausman-Taylor Model。加入 IMR( )的追蹤資料基本迴歸模型如下 的：
Y = α + (X )β + ( )δ + e (2)
= 1, ⋯ , ; = , ; t = 1,2
其中，Y 代表月薪的自然對數， 代表資中共有幾組觀察值， 代表族群 (U=城市居民、M=農民工)，t 代表不同的年度(1=2008 年、2=2009 年)，α 代表 截距項，為特定個別效果(Specific Individual Effect)，不同的觀察個體有不同的 值，但不隨時間變動，Y 代表薪資， X 代表人力資本相關的變數，β 為人 力資本相關變數之估計係數， 為 族群之IMR，δ 為 IMR 之估計值，e 殘 差項~iid(0, (σ ) )。
混和迴歸模型 (Pooled Regression Model)
此迴歸法是將追蹤資料以最小平方法OLS 的假設進行估計，將所有資料合 併進行最小平方法OLS 估計，找出一條最具代表性的迴歸式，其中α 是該迴歸 式的截距項，為一不隨觀察值和時間改變的時固定值，可將其假設為α =
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α ，每個觀察值皆具有相同的特定個別效果，經由以上假設，此迴歸模型將無 法準確控制觀察個體間的不同特性，估計時將產生異質性問題。為控制異質性 問題，經濟學家常會使用固定效果模型(Fixed Effects model)和隨機效果模型 (Random Effects Model)。
固定效果模型 (Fixed Effects Model)
固定效果模型和隨機效果模型的差異在於，對於截距項的假設和其與相關 變數的相關性。固定效果模型擁有追蹤資料的優點外，允許每個觀察個體有其 特定的截距項，也就是特定個體效果α ，因為假設此效果不隨時間改變，也叫 做固定效果，就像是在解釋變數中加入一組 個虛擬變數，以控制 個觀察個 體的異質性，並且假設每個特定效果和解釋變數X 是相關的Cov(α , X ) ≠ 0，由於以上的假設，FE 模型也叫虛擬變數模型(Least Squared Dummy Variable Model)或是共變異數模型(Covariance Model)。其估計方法為利用組內平均差
「deviation from group mean」的迴歸方法，來去除特定個體效果α 對於β 估 計的影響，首先針對迴歸式(2)取組內平均得到的迴歸式(3)，再將迴歸式(2)和迴 歸式(3)取差分項，得迴歸式(4)，也就是固定效果模型如下：
= α + X β + ( ̅ )δ + e (3) Y − = X − X β + − ̅ δ + (e − e ) (4) 雖然固定效果模型可以成功處理異質性問題，但是在估計的過程中去除了 不隨時間變動的解釋變數，都將其歸類於固定效果之中，如教育年數和務工地 區等變數變得無法估計，使得變數估計較較不具有效率性。
隨機效果模型 (Random Effects Model)
不同於固定效果模型，隨機效果模型假設母體內的相似性高，比起關注觀 察個體的固定效果，隨機效果模型更適合去解釋整體母體。隨機效果模型假設 每個觀察個體的特定效果α 是隨機產生的，因此也叫做隨機效果，可將其拆解
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成α = (α + )，其中 ~iid 0, ，並且假設α 與解釋變數X 無關 Cov(α , X ) = 0。由於以上假設，RE 模型又被稱作誤差成分模型(Error
Component Model)。其估計方法為一般最小平方法 GLS(General Least Squared)估 計解釋變數的係數，隨機效果的迴歸式如下：
Y = α + + (X )β + ( )δ + e (5) 由於估計方法的不同，RE 模型可以將隨著時間改變的解釋變數納入迴歸之 中，但是卻需要符合截距項和解釋變數不相關的假設，若樣本不符合模型假 設，將造成估計模型不一致的問題。
Hausman Taylor Model
固定效果模型允許其截距項可與解釋變數相關，也就是解釋變數中可包含 內生變數，並藉由其估計方法去除固定效果，但是用這個方法將同時去除不隨 時間變動的變數，如教育年數等變數。而隨機效果模型得允許對不隨時間變化 的變數進行估計，但是假設其截距項與解釋變數無關，也就是所有解釋變數都 是外生變數，使得模型無法控制內生性的問題。為了能同時處理變數異質性和 內生性問題，並且更有效率取得其估計係數，Hausman 和 Taylor 在 1981 年提出 以綜合固定效果模型估計法、工具變數(Instrument Variable)估計法和一般最小 平方法GLS 的估計方法，針對是否是內生和是否隨時間變化的變數分別進行估 計，其估計模型迴歸式如下：
Y = + X β + X β + γ + γ + e (6) i = 1, … , n ，t = 1, … , T (T = 2)， 追蹤資料的隨機效果
~iid 0, ，X 為會與時間變動的變數外生變數，並將IMR( )歸類於 此變數中，X 為會與時間變動的變數內生變數， 為不會與時間變動的外 生變數， 為不會與時間變動的內生變數。
設定變數 是經過組內轉換的變數ω ，變數 是經過平均的的變數ω 。
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= ω − ω = ∑ ω
迴歸式(6)經過組內轉換後，移除了Z，轉換後迴歸式如下：
Y = X β + X β + e
再利用固定效果模型的「deviation from group mean」迴歸方法，估計出與 β 和β 一致的β 和β ，但是此估計方法無法估計γ 和γ 。由以上的估 計值，可以得到異質誤差成分(idiosyncratic error component，(σ ) )的估計 值，如下：
(σ ) =
−
其中 為利用固定效果模型估計的殘差的平方和(residual sum of
squares)， 則是總和的樣本觀察數。利用固定效果模型的估計，可得到一個 組內的殘差項 ̅ 如下：
̅ = − X β + X β
再將X 和Z 當作工具變數，針對 ̅ 中的Z 和Z 作迴歸，得到中間 (intermediate)一致(consistent)的估計值γ 和γ ，在估計時為了符合階層條 件(Order Condition)，X 的變數個數必須大於或等於Z 的變數個數，以避免 weak instrument problem。接著，利用固定效果模型迴歸估計取得的β 和 β 以及工具變數法得到的γ 和γ ，得對迴歸式(6)中的殘差進行估計，
並令估計後的殘差為ϵ 如下：
ϵ = (Y − X β − X β − γ − γ ) 再根據Hausman and Taylor (1981)的定義：
(s ) = 1
( 1
ϵ )
plim→ (s ) = (σ ) + ( )
經過簡單的代數轉化，即可得到隨機效果的變異數估計值(σ ) 如下：
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(σ ) = ((s ) − (σ ) ) 1
得到(σ ) 和(σ ) 後，即可求得變異數成分(Variance Component)的估計 值θ 如下：
θ ＝1 − ( ( )
σ + ( ) ) /
藉由θ 即可進行隨機效果模型的GLS 轉換，即 ω = ω − θ 為經過 GLS 轉換的變數ω ，並對迴歸式(6)GLS 轉化成下方迴歸式(7)，並利用X 、 X 、X 、X 和 當作工具變數，對迴歸式(7)作工具變數估計法，以取 得各別解釋變數之估計係數。
Y = + X β + X β + γ + γ + e (7)