複雜網路模型

自然界許多複雜系統都可透過網路來分析。我們可以將系統中每個部份對應成一個點，

每個關係對應成一條線，進而描繪出系統的網路。透過網路分析，省略多餘的細節，系 統間所擁有的共通性質便慢慢浮現，因此，不管是細胞中蛋白質的相互抑制活化、人與 人之間的友誼、又或是網際網路上的網頁連結，乃至於生態系統中的食物網，網路都是 分析上的重要工具(Newman, 2003)。

然而，真實世界的網路仍舊相當複雜而難以釐清，面對這樣的問題，過去的研究往往將 其簡化，成為理論上的正規網路(Regular network)或隨機網路(Random Network)，但簡化 的結果總是與真實情況有一段差距。隨著研究的進展，學者慢慢發現，真實世界的網路 具有許多統計上的特性，而這些特性並不像過去所想的正規網路或隨機網路一般，而是 介於兩者之間，於是，「複雜網路」的理論就漸漸誕生了(Watts, 2003)

複雜網路為近年來新興的跨領域科學，它包含了物理學、統計學、圖論、計算機科學以 及社會學等不同領域的學問。我們可以從近幾年複雜網路的論文數量中發現，這個領域 正如火如荼地發展。複雜網路有許多統計上的特徵，而這些特徵也決定了網路整體架構，

其中最重要的是小世界網路與無尺度網路(Watts, 2003; Barabási, 2003)。

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2.2.1 小世界網路

小世界網路(Small-world Network)是第一個發現的複雜網路模型，其研究來自於人們的 小世界經驗──亦即朋友的朋友往往也是朋友，而陌生的兩個人，卻在交談後，意外發 現兩人原竟然有共通的朋友。1967 年，著名的哈佛大學心理學教授 Stanley Milgram 針 對此現象做了一次實驗，讓參與實驗的人透過朋友關係，輾轉將信件傳遞給原先不認識 的人，結果發現，任兩個陌生人之間，平均只需要六次傳遞，即可將郵件送達，因而建 立六度分隔理論(Watts, 2003)。

1998 年，Watts 與 Strogatz 為研究螢火蟲的同步發光與心臟的同步收縮，回頭探查小世 界現象的網路架構，結果發現，在原先的正規網路中，逐漸增加每個邊隨機連結發生的 機率，會慢慢形成一種介於隨機網路與正規網路間、節點具有「高群聚度(High Clustering Coefficient)」與「低分隔度(Low Separation Coefficient)」的網路，而這種網路能解釋人 們認知中的小世界現象，故被稱為「小世界網路」(Watts & Strogatz, 1998)。

圖 12 小世界網路與正規網路和隨機網路的關係

註：p 代表網路中每條連結發生隨機連結的機率。在正規網路下，每個節點都擁有 4 條 連結，分別和左右兩個節點相連。

資料來源：Watts, D. J. and Strogatz, S. H. (1998). Collective dynamics of ’small-world’

networks. Nature, 393(6684):440–442.

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如圖 12 所示，當 p = 0 時，網路則恢復成原來的正規網路，當 p = 1 時，網路中則到處 充滿隨機的聯結，形成一般的隨機網路。至於 p 介於 0 跟 1 之間的時候，我們可以調整 p 的大小，以便讓網路反應出較大的群聚度與較小的分隔度，形成我們概念中的小世界 網路(Watts & Strogatz, 1998)。此外，也因為小世界網路建立在節點連結數相同、p = 0 的正規網路與節點連結數呈隨機分布、p = 1 的隨機網路上，因此在這種情況下，形成

資料來源：Watts, D. J. and Strogatz, S. H. (1998). Collective dynamics of ’small-world’

networks. Nature, 393(6684):440–442.

2.2.2 無尺度網路

繼 Watts 和 Strogatz 提出小世界網路之後， Albert、Jeong 及 Barabási(1999)從網際網路 的架構出發，提出無尺度網路(Scale-free Network)。在無尺度網路中，節點上連結數的 分布符合冪次律(Power-Law Distribution)，換言之，少數節點擁有網路中大部份的連結，

形成所謂的集散點，但大多數的節點卻只有少數的連結。這個現象，不論網路規模的大 小、也不管從什麼尺度下去看都存在，故被稱為「無尺度網路」。

Barabási 與 Albert(1999)透過模擬來觀察無尺度網路形成，結果發現，「優先連結」與「成

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資料來源：Barabási, A.-L. L. and Bonabeau, E. (2003). Scale-free networks. Scientific American, 288(5):60–69.

2.2.3 小世界網路與無尺度網路的比較

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圖 15 指數律與冪次律分布

註：橫軸為節點的連結數，縱軸為擁有相同連結數的節點數量。

資料來源：Watts, D. J. (2003). Six Degrees: The Science of a Connected Age. W. W. Norton

& Company, 1st edition.

最後，用表 2 將小世界網路與無尺度網路間差異做一統整比較。而其中的連結分布和容

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