第二章 理論與設計原理
2.5 計算窗型調和質量阻尼器之等效勁度
為了求得模擬時所須之窗型調和質量阻尼器的勁度參數，以角動量守恆理論 計算窗型調和質量阻尼器的等效勁度，其中假設窗型調和質量阻尼器為小角度擺 動，且為集中質量，並忽略擺動過程中所產生之摩擦力所造成的影響，以下將由 單擺的週期公式推導出雙擺的週期公式。
2.5.1 窗型調和質量阻尼器等效勁度
本文把窗型調和質量阻尼器的擺動視作一種擺的行為，不同的擺長會產生不 同的週期，對應不同的物體質量，擺動週期有其對應之不同的等效勁度，其關係 如式( 2.14 )：
𝑇 = 2𝜋√𝑙
𝑔= 2𝜋√𝑚
𝑘 ( 2.14 )
其中，l為單擺的擺長，m為物體的質量，k為物體的等效勁度，根據角動量守恆定 理，如式( 2.15 )：
𝜏 = 𝐼𝛼 ( 2.15 )
其中，τ為物體轉動的角動量，I為物體的轉動貫量，α為物體轉動的角加速度，質 量為m的物體在單擺的過程中，受到方向向下的重力加速度g，當擺動達到與平衡 位置呈θ角度時，會受到沿切線方向的力mg sin θ，則式( 2.15 )可改寫成式( 2.16 )：
𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑙 = 𝑚𝑙
2
𝛼 = 𝑚𝑙2
𝑑2
𝜃𝑑𝑡
2
( 2.16 )當θ < 10
0
屬於小角度擺動，令sin θ ≈ θ，則式( 2.16 )可改為式( 2.17 )：𝑑
2
𝜃 𝑑𝑡2
−𝑔𝑙 𝜃 = 0 ( 2.17 )
解式( 2.17 )的二階微分方程式，可得出式( 2.18 )：
𝜃 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(√𝑔
𝑙𝑡) ( 2.18 )
由於餘弦函數的周期是 2π，所以由式( 2.18 )可得出單擺的週期公式，如式( 2.19 )：
𝑇 = 2𝜋√𝑙
𝑔 ( 2.19 )
現在將窗型調和質量阻尼器簡化成上下兩質點的雙擺模型，以窗型調和質量阻尼 器質量中心為分界，質量中心以上的部分取集中質量為m
1
，距離支點的距離為L1
； 質量中心以下的部分取集中質量為m2
，距離支點的距離為L2
，L1
及L2
的算法可經 由質量中心公式求得，其方法為對窗型版各部分結構的質量中心對應質量取加權 平均，可得到上部結構及下部結構的質心位置，圖 2. 17 為窗型版支點位置示意圖，隨著支點位置的不同，上部質心及下部質心距離支點的位置也會不同；計算上部 質心以及下部質心的方法為取個部分質量塊對其質心座標取加權平均，如圖 2. 18 所示，為計算上部質量中心的一個範例，取上部橫桿的邊界為座標軸的起始位置，
向右為正 X 方向，向下為正 Y 方向，因為此窗型版為一左右對稱結構，故質心會 在中心軸上，圖中 A 質塊的質心位置在正 Y 方向為 10mm，B 質塊的質心位置在 正 Y 方向為 190mm，C 質塊的質心位置在正 Y 方向為 107.5mm，計算質心時忽略
支點附近結構的質量，主要以窗型版的支撐框架所佔有質量做為計算依據，此示 意圖為支點在 185mm 的上部質量塊分布，則圖中 1 個 A 質塊、1 個 C 質塊及 4 個 B 質塊的質量總和為 31 公斤重，支點以下的框架部分同樣以此方式計算，得到下 部質量總重為 57 公斤重，雖然整個架構為 200 公斤重，但所估計的窗型版在擺動 的質量計算估計僅有 88 公斤重，經計算得L
1
為 257mm，L2
為 470mm，再經由上 述的角動量守恆定理，可得出角動量守恆方程式，如式( 2.20 )：−𝑚
1
𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐿1
+ 𝑚2
𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝐿2
= (𝑚1
𝐿2 1
+ 𝑚2
𝐿2 2
)𝛼 = (𝑚1
𝐿2 1
+ 𝑚2
𝐿2 2
)𝑑2
𝜃𝑑𝑡
2 ( 2.20 )
當θ < 100
屬於小角度擺動，令sin θ ≈ θ，式( 2.20 )可改寫為式( 2.21 )：𝑑
2
𝜃𝑑𝑡
2
−(𝑚2
𝐿2
− 𝑚1
𝐿1
)𝑔𝑚
1
𝐿2 1
+ 𝑚2
𝐿2 2
𝜃 = 0 ( 2.21 ) 解式( 2.21 )的二階微分方程式，可得出式( 2.22 )：𝜃 = 𝐵𝑐𝑜𝑠(√(𝑚
2
𝐿2
− 𝑚1
𝐿1
)𝑔𝑚
1
𝐿2 1
+ 𝑚2
𝐿2 2
𝑡) ( 2.22 ) 如此可推導得出雙擺的週期公式如式( 2.23 )：𝑇 = 2𝜋√ 𝑚
1
𝐿2 1
+ 𝑚2
𝐿2 2
(𝑚
2
𝐿2
− 𝑚1
𝐿1
)𝑔 ( 2.23 ) 由以上性能測試所得出的阻尼常數 c 及計算雙擺周期而得出的等效勁度 k，可 進行二次模擬的測試。由於在之後的實驗中發現窗型版的擺動頻率不足，將導致 擺動頻率轉換成窗型版等效勁度時會達不到所需的有效勁度，所以另外設置彈簧 支撐架，利用彈簧所提供的彈性力，給予窗型版額外的加勁，所使用的彈簧原始 長度為 45 公分，經預力拉伸後之長度變為 72 公分，量初始預力之伸長量為 27 公 分，彈性係數為 278.97 𝑁 𝑚⁄ ，每組窗型版各配置 12 支彈簧，共計使用 24 支彈簧，加上彈簧後，式( 2.23 )可改寫為式( 2.24 )：
𝑇 = 2𝜋√𝑚
1
𝐿1 2
+ 𝑚2
𝐿2 2
+ (𝐹𝑢𝑝
𝑑𝑢𝑝 2
+ 𝐹𝑑𝑜𝑤𝑛
𝑑𝑑𝑜𝑤𝑛 2
)/𝑔(𝑚
2
𝐿2
− 𝑚1
𝐿1
)𝑔 + 𝐹𝑢𝑝
𝑑𝑢𝑝
+ 𝐹𝑑𝑜𝑤𝑛
𝑑𝑑𝑜𝑤𝑛
( 2.24 ) 其中，𝐹𝑢𝑝
為上部總彈簧水平出力，𝐹𝑑𝑜𝑤𝑛
為下部總彈簧水平出力，𝑑𝑢𝑝
為上部彈簧 距支點距離，𝑑𝑑𝑜𝑤𝑛
為下部彈簧距支點距離，由圖 2. 19，可看出加上彈簧加勁後的 窗型版，擺動頻率上升，200 公斤的窗型調和質量阻尼器選擇支點距第二支撐 140毫米位置，其擺動頻率加裝彈簧後為 0.708Hz，未加裝彈簧的擺動頻率為 0.589Hz，
勁度由𝑘 = 𝑚 ∙ (2𝜋𝑓)
2
，其中 m 為窗型版重量，f 為窗型版擺動頻率，則增加的勁 度為 536 𝑁 𝑚⁄ ；320 公斤的窗型調和質量阻尼器同樣選擇支點距第二支撐 140 毫米 位置，其擺動頻率加裝彈簧後為 0.655Hz，未加裝彈簧的擺動頻率為 0.620Hz，則 增加的勁度為 366 𝑁 𝑚⁄ ，雖然加重後的窗型版其頻率下降，但其所產生的勁度，會受到質量的影響，隨著質量的上升，勁度還是會增加，表 2- 3 為兩種不同重量 窗型版所對應的勁度，由於裝置彈簧機構的限制無法裝載更多彈簧來提升勁度，
以及彈簧勁度增大將造成裝載上的困難，無法達到本次實驗目標的勁度，未來如 能排除上述兩種困難，根據模擬，把彈簧勁度增為原來的 10 倍，使每支彈簧的勁 度變為 2789.7 𝑁 𝑚⁄ ，彈簧支數每組窗型版增為 24 支，如圖 2. 20 所示，可達到勁 度的需求目標。