討論與建議

本節針對本研究的研究過程中的缺失提出改善建議，並藉由此次研究的結 果，在未來新課綱或相關研究上，提出參考。

一、對於未來相關研究時

(1)借用班級做教學實驗的時間應更加提早

由於此次教學實驗─三角形面積的教學內容，必須在學生學習相似形之觀 念之後方能實施，時間非常逼近國中教育會考，許多教師要總複習國中課程而 不願意出借班級，應更提早與國中教師洽談，使國中數學教師能預先準備其複 習課程進度，才能有時間讓研究者進行教學實驗。

(2)後測、延後測題目數量應增加

此次教學實驗之後測、延後測的題目僅有兩題，因此無法蒐集到更多的資 料以便做分析，之後若有相關研究，可以在題目的數量上可以增加。

(3)測驗的評定標準應更多元

此次教學實驗的資料處理方式是將一個題目分為答對與答錯兩種，而沒有 實際分析學生在答題過程中的錯誤方式為何，如圖4.3.6。學生僅是忘記乘以

1

2，在本研究即判定為答錯，應可以採取更多元的評定標準。

(4)缺乏質性資料

此研究缺乏質性資料，僅有後測測驗卷、延後測測驗卷的數據結果以及統 計分析，可以加入質性資料，如問卷、課程錄影、訪談等。研究者起初也有設

卷的資料來分析學生的學習情況，期望能藉由資料分析來讓之後的教學更加完 善。但是由於問卷在學生上完課程後才填寫，且問卷題目設計不良，口試委員 認為證據不足，無法獲得實徵的結論，因此研究者將此部分在本文中刪除，放 入附錄六供讀者參考。

二、對於未來數學新課綱的建議及參考

108 課綱帶來許多改革，在數學上使得學生的學習內容與以前大不相同，

但研究者根據108 課綱數學領域綱要的內容以及國外的教科書資料，提出下列 幾點建議及參考：

( 1 ) 國中平面幾何可以適度的刪修

根據108 課綱的學習表現，國中階段(第四學習階段)在平面幾何部分有 16 項之多，反觀坐標幾何部分卻只有2 項；但高中階段(第五學習階段)在平面幾 何部分只有2 項，而在坐標幾何上增加為 5 項。根據課綱中學習表現 g-V-5：理 解並欣賞坐標系統可為幾何問題提供簡潔的算法，而坐標的平移與伸縮可以簡 化代數問題，能熟練前述操作，並用以推論及解決問題。更是說明坐標幾何可 以為幾何問題提供更便捷之算法，顯示坐標幾何之重要性。但根據課綱以及國 中教科書上並沒有將坐標幾何視為重要的課程內容。

根據臺灣國高中數學教科書以及歷屆國中教育會考、學測、指考的考題之 資料顯示，國中會考在平行線截比例線段性質上年年必考，在數學教科書上佔 據第五冊的¹

9之多(約 20 多頁)，顯示出國中端認為此概念是重要的，教師會強 調因此學生也會精熟此概念，但高中的數學教科書從課綱目標到課程內容強調 坐標幾何的觀念。在此出現國高中學習上的落差。因此研究者認為國中平面幾 何的內容過多過難，可以適度的將國中平面幾何的內容比重做刪減，例如：平 行線截比例線段，將課程時間留給需要的課程內容。

( 2 ) 國中可以增加坐標幾何的課程內容，讓學生進入坐標幾何的世界 根據研究者在國中三年級的班級實地做教學實驗，得知學生對於坐標幾何 的想法為：十分有用且快速，且根據課綱也提到坐標幾何可以為幾何問題提供 簡潔的算法。並根據此次實驗結果知道國三學生學習坐標幾何並沒有太大的學 習問題，顯現坐標幾何的內容是可以在國中部分放入課程內容，研究者建議可 以將平面幾何的內容適度刪修，並加入些許坐標幾何的課程內容。

參考文獻

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張幼賢、李明芳、李信仲等編著(2016)。翰林版國民中學數學課本第二冊 一年

級下學期。台北市：翰林。

張幼賢、李明芳、李信仲等編著(2016)。國民中學數學課本第三冊 二年

級上學期。台北市：翰林。

張幼賢、李明芳、李信仲等編著(2016)。國民中學數學課本第四冊 二年

級下學期。台北市：翰林。

張幼賢、李明芳、李信仲等編著(2016)。國民中學數學課本第五冊 三年

級上學期。台北市：翰林。

張幼賢、李明芳、李信仲等編著(2016)。國民中學數學課本第六冊 三年

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附錄一、教學實驗教案 數學科〈三角形面積〉教案

單元名稱 三角形面積 教學時間 90 分鐘(2 堂課)

演示教師 葉繼聰 教學對象 國三上

指導教師 單維彰 教學人數 30 人

敎材來源 自編(學習單) 教學方法 講述法

教學資源 黑板

先備知識 起點行為

1. 理解相似形之觀念

2. 理解平行線截比例線段之觀念 3. 知道兩平行線間的距離為定值

4. 能運用相似形及平行線截比例線段之概念解題

敎學目標

1. 知：知道點的平移

2. 知：知道三角形之面積公式

3. 行：給定任意不共線三點座標，能計算出三角形面積

4. 行：能畫出輔助線，製造出相似形進而推導出三角形面積公式 5. 識：能感受到坐標幾何的實用之處

教學活動計畫表

項目 教師活動 時間 註記

複習

複習相似形、平行線截比例線段、幾何原理之 觀念

幾何原理：兩平行線間的距離是定值，因此，

若固定三角形的底邊，令其頂點在平行於底邊 的直線上任意移動，產生的任意三角形之高皆 為定值，亦即兩平行線的距離，因此下列三種 三角形之面積相等

相似型與平行線截比例線段：

(此題雖然僅為平行線截比例線段之題目，但考 量時間關係，用此題一同複習同位角相等→AA 相似)

5min (5min)

1. 確定學生是否完全理解相似 形、幾何原理、平行線截比 例線段之觀念

例題1

給定兩點 𝑃(2, 1) 和 𝑄(1, 3)，求 Δ𝑂𝑃𝑄 的面 積，其中O 表示原點。

講解過程─

(1)導入預備：我們從國小開始便得知三角形面 積為底 高  2，所以若已知底與高我們便可以 算出三角形之面積，但若現在在平面座標裡面，

已知三點座標，能否得知三角形之面積呢？

(2)例題導入：從剛剛所說，我們只知道三角形 面積為底 高  2，所以在此題中我們要創造出 底與高

10min (15min)

1. 學 生 一 開 始 接 觸 此 項 訓 練 (化平行線、利用相似求底 邊)，所以須慢慢說明，確保 學生能夠理解

而點A 是 L 與 x 軸的交點。則 Δ𝑂𝑃𝑄 的面積 等於 Δ𝑂𝐴𝑄 的面積，簡記為 Δ𝑂𝑃𝑄 = Δ𝑂𝐴𝑄。

假設 𝐴(𝑎, 0) 則 Δ𝑂𝐴𝑄 的底邊長是 a 而它的 高是 3，從圖中看得出來 𝑎 > 0；因此 Δ𝑂𝐴𝑄 =

1

2(𝑎 × 3) =³

2𝑎。

令 𝑃₀ 是 P 在 x 軸的垂足，𝑄₀ 是 Q 在 x 軸 的垂足，則因為平行線的同位角相等，所以

∠𝑄𝑂𝑄₀ = ∠𝑃𝐴𝑃₀，又因為 ∠𝑄₀ = ∠𝑃₀ = 90^∘， 所 以 兩 直 角 三 角 形 相 似 ， 簡 記 為 Δ𝑄𝑂𝑄₀ ~ Δ𝑃𝐴𝑃₀。從對應邊的比例關係，得到

1 ∶ (2 − a) = 3 ∶ 1 也 就 是 6 − 3𝑎 = 1 ， 得 到 𝑎 =⁵

3 。 所 以 Δ𝑂𝐴𝑄 =⁵

2 ，也就是 Δ𝑂𝑃𝑄 =⁵

2。

練習1 給定兩點𝑃(2, −1)，點 𝑄(1, 3)，求 Δ𝑂𝑃𝑄 的面

積，其中O 表示原點。 10min (25min)

1. 讓學生練習5 分鐘後，剩餘 5 分鐘可讓厲害的學生上台 講解(教師輔助學生作圖，以 避免學生之作圖底下同學看 不懂)

理論推 導1

一般情形，假設點 𝑃(𝑎, 𝑏)、𝑄(𝑐, 𝑑) 其中 𝑑 >

0 且點 P 在直線 OQ 的右邊 (請畫草圖)。求 Δ𝑂𝑃𝑄 的面積公式。

講解過程─

(1)畫出草圖：做 OQ 知平行線交 x 軸於 A( ', 0)a 點

(2)代數式推導：已知Δ𝑂𝑃𝑄之面積為1

2a' ，d 所以須算出 'a ，利用上述所說之相似形概念，

得 到a a− ' : b=c : d ；bc=ad−a d' =d a a( − ') ' bc ' bc

a a a a

d d

 − =  = −

Δ𝑂𝑃𝑄面積為1

( ) 2 ad−bc

10min (35min)

1. 此部分有許多未知數，做推 導時須注意學生是否能跟上

理論推 導2

如果點P 在直線 OQ 的右邊但是 𝑑 < 0，怎麼 求 Δ𝑂𝑃𝑄 的面積？再想一想，如果點 P 在直 線OQ 的左邊

講解過程─

當P 在 OQ 直線的右邊，意味著過 P 平行於 OQ 的直線交 x 軸於 𝐴(𝑎^′, 0)，𝑎′ > 0，所以 如果 𝑑 < 0，則Δ𝑂𝐴𝑄=¹

2𝑎′(−𝑑) 。而 P 在 OQ 直線的左邊，則意味著 𝑎′ < 0 所以

Δ𝑂𝐴𝑄=¹

2|𝑎′𝑑| =¹

2(−𝑎′)|𝑑|。總之，最後的結 果不是 ¹

2(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) 就是 ¹

2(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)。

導出結論：因為¹

2(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)、¹

2(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)僅相差 一負號，所以算出來若是為負，則直接加絕對 值讓他變正即可(面積恆正)

10min (45min)

1. 給學生足夠時間思考後，教 師再講解

例題2

給定Δ𝐴𝐵𝐶 中 𝐴(2, 1)、𝐵(1, 3)、𝐶(−1, −1)，

求 Δ𝐴𝐵𝐶 的面積。

講解過程─

(1)例題引導：我們剛剛都有一個點在原點 O，

但不是所有三角形的頂點都有一個點在原點 O，現在此題的三角形三點並沒有在 O 點，要 如何利用剛剛所學的公式作運用呢？

(2)例題講解：我們將Δ𝐴𝐵𝐶的頂點 C 平移到原 點，使得A 跟著平移到 𝐴′、B 跟著平移到 𝐵′，

而保持 Δ𝐴𝐵𝐶 ≡ Δ𝐴′𝐵′𝑂平移的動作，是向右 1 單位、向上 1 單位。平移的動作對應坐標的操 作，就是 x 坐標和 y 坐標各加 1。所以，

𝐴′(3, 2)、𝐵′(2, 4)。平移之後的三角形面積就能 使用前面的公式了：Δ𝐴^′𝐵^′𝑂 = 4。

5min (50min)

1. 利用點的平移，再利用上述 所說之三角形公式求解

練習2

在坐標平面上，畫出以下三點，並畫出 Δ𝐴𝐵𝐶，

求 Δ𝐴𝐵𝐶的面積：點 𝐴(2, −1)，點 𝐵(1, 3)，點 10min (60min)

1. 讓學生練習5 分鐘後，剩餘 5 分鐘可讓厲害的學生上台 講解(教師輔助學生作圖，以 避免學生之作圖底下同學看

至原點，並沒有固定作法

理論推 導3

一般而言，給定平面上三點 𝑃₀(𝑎₀, 𝑏₀)、𝑃₁(𝑎₁, 𝑏₁)、𝑃₂(𝑎₂, 𝑏₂)，找出計算 Δ𝑃₀𝑃₁𝑃₂ 面積的公 式。

講解過程─

我們選擇其中一點𝑃₀(𝑎₀, 𝑏₀)，將其平移到原點 O，則就是將每個 x 座標減掉a₀，每個 y 座標 減掉b₀，則P a₁'( ₁−a b₀, ₁− 、b₀) P a₂'( ₂−a b₀, ₂−b₀)

，再利用上述之三角形公式求解

5min (65min)

理論推 導4

如果無法是先檢查哪個點在哪條邊的右邊，可 以如何修改 Δ𝑃₀𝑃₁𝑃₂ 的面積公式，使它一定正 確呢？(加絕對值即可)

5min (70min)

此為數學公式的完善性，讓學生 知道若出現負號則加絕對值即可

練習3 點 𝐴(2, 1)，點 𝐵(1, − 3)，點 𝐶(−1, 1)，求 Δ𝐴𝐵𝐶 的面積

5min (75min)

統整

從利用相似形觀念推導出若三角形有一頂點在 原點O，則三角形面積即為1

2 ad−bc

若遇到頂點沒有在原點的三角形，則利用點的 平移到原點後，即可求解

5min (80min)

測驗 發下考卷請同學做答 10min

(90min)

在文檔中 國 立 清 華 大 學 碩 士 論 文 (頁 60-85)