第三章 DEA 中投入產出因素資料特性之探討
第二節 評估因素數據變換對評估結果之影響
應用 DEA 進行效率評估時，常會發現有些因素的數據非常「大」，或是有些因素 之數據非常「小」，為了使各數據之差別不致太大，此時是否可以將某一因素加(減)去 一個常數，或乘(除)以一個「正值」常數，希望因素間數據之差距不致太大？如此經過 數據變換之後，是否會影響因素之間的相關係數？是否會改變效率評估之結果？所謂評 估因素數據變換，即將某一個因素的資料做加(減)一個數或乘(除)一個正數的處理，常 見者為將資料標準化；或改變資料單位，譬如，仟元為計價單位的改以十萬元為單位。
以下列分別說明之。
壹、 評估因素數據變換後相關係數之變化
在 DEA 的評估系統中，將某一個因素進行數據變換後，是否會影響與其他因素之 間的相關係數？茲以定理3.2 說明。
定理 3.2：假設在 DEA 評估系統中，因素 Xi與因素 Yj之相關係數為 r；若「因素 Yj減(加)一常數 b，再除(乘)以一正值常數 p 之後，」 與因素 Xi之相關係數 為r′ ，則
r r = 。 ′
證明：設在 DEA 評估系統中有 n 個 DMUs，因素Xi =(Xi1,Xi2,L,Xin)，因素
同的乘數條件限制下，是否會影響效率評估的結果？以下分別以CCR 與 BCC 模式說明。
無正負限制
理之證明，僅舉出產出因素變動情形，至於投入因素之相同變動情形之證明，方法相同
無正負限制
m
qk n
j qj
jY
≥
Y∑
=1λ
即為
0
1
≥
∑ −
= qk
n j
qj
jY Y
λ
模式(3-7)之效率評估值，與Y 沒有乘以 1/p 之情況完全相同。本定理之證明，僅舉q 出 CCR 模式中產出因素變動情形，至於投入因素之相同變動情形之證明，方法相同可 證。＃
於定理3.3 及定理 3.4 可看出，在乘數大於等於零的條件下，任何一個評估因素乘(除) 以一正值常數，不論採用CCR 模式或 BCC 模式皆不改變其效率値之評估結果；當任何 一個評估因素加(減)一常數(不致使該因素為負數)時，在 BCC 模式下不改變其效率値之 評估結果；然而在CCR 模式下是否有相同的結果？在 CCR 模式下，由於某一評估因素 整體加(減)一常數之變動，將會引致各受評單位之投入、產出座標點之平行移動，然而 效率値之評估，是以加權產出與加權投入之比例為衡量，此時「並不能保證仍然保持不 變的比例」。茲以一例證說明如下：
例題3.2：
設有四家受評單位，各有一個投入因素及一個產出因素：
DMU X Y
A 2 2 B 4 4 C 5 3 D 6 4
在未做變動之前，以乘數大於等於零的條件下之CCR 模式評估各受評單位之效率，
其値如下：
00 . 1 2
2 =
= μ ν
θ
A00 . 1 4
4 =
= μ ν
θ
B60 . 0 5 3 =
C =
θ
67 . 0 6
4 =
D
= θ
若是，產出因素Y，各加上 3 個單位，則各受評單位之效率値如下：
00 .
= 1 θ
A70 .
= 0 θ
B48 .
=0
θ
C467 .
= 0 θ
D由此例題可以看出，在乘數大於等於零的條件下之 CCR 模式下，某一評估因素加 上一個常數後，得知 (1)原來
θ
B= 1 . 00
，經過數據變換後θ
B= 0 . 70 ≠ 1 . 00
；(2)原來的效 率値之排序為θ
C <θ
D，經過數據變換後，反而θ
C >θ
D。因此當某一評估因素之值整體 加(減)一常數變動時，各受評單位之效率値可能改變，它們的效率値大小排序亦將改變。三、 在乘數值大於零條件下之影響
定理3.3、3.4 所適用之範圍，僅限於
μ
r,ν
i ≥0 之條件下，即乘數值大於等於零；其他情形，譬如乘數值大於等於非阿基米德數值(ε)或是保證區域，皆不適用於此兩定 理。茲以乘數值限制於保證區域之例子說明。
例題3.3：下表為 12 家商店之投入產出資料
m B 0.804318 0.577809 0.717104 0.804318 0.577809 0.717104 C 0.80791 1 0.606835 0.80791 1 0.606835 D 0.63029 0.441753 0.676981 0.630607 0.532105 0.676981 E 0.72477 0.285122 0.685176 0.735429 0.285122 0.685176
F 1 0.793956 1 1 1 1
G 0.624776 0.48162 0.508946 0.624776 0.48162 0.508946 H 0.691743 0.506507 0.556647 0.691743 0.506507 0.556647 I 0.671066 0.19454 0.684972 0.729685 0.19454 0.684972 J 0.785954 1 0.607604 0.785954 1 0.607604 K 0.932203 0.843806 0.8346 0.932203 1 0.8346 L 0.774595 0.305674 0.725988 0.792052 0.305674 0.725988 由以上結果可知，當乘數值受限於保證區域時，各評估因素不可以隨意加(減)某一 常數，或乘(除)以一「正值」常數，否則其效率評估值可能會嚴重地扭曲。