誤差項變異數不均等檢定

Lee et al.（2012）發表不等變異數檢定，該檢定可以比較共整合均衡誤差變異 數的大小，並可區分在均衡關係的變數之間其關聯性緊密度的大小。該檢定在跨群不 相關（Cross-independence）的假設下使用 White（1980）研究的異質自我相關估計法

（Heteroscedastic - Autocorrelation Consistent Estimation, HAC）建構檢定統計量。本文 採用其理論做為基礎，比較本文房屋投資需求與房屋實質需求對房價的影響之共整合 變異數的大小，瞭解該二組共整合緊密度的關係。即變異數小，則表示該組共整合之 變數間緊密度大，影響房價程度亦較大。

進行誤差項變異數不均等檢定之前先將房屋投資需求與實質需求各自進行向量 誤差修正模型估計（VECM），並以估計結果之共整合迴歸式誤差項殘差值進行變異 數檢定。以下先介紹向量誤差修正模型估計，之後，為誤差項變異數不均等檢定說明。

一、 迴歸式向量誤差修正模型估計（Vector Error Correction Estimates Model﹐VECM ）

Stock（1987）研究結果顯示若變數間存在共整合關係時，使用 OLS 估計迴歸式 的參數具有很好得一致性。迴歸分析主要目的在於一個或多個解釋變數的一定資料訊 息下說明或預測被解釋變數現在或將來的行為、方向或數據等。該分析計算結果的誤 差愈小愈好。本文估計時均採用普通最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS），根 據 Guass-Markov 定理，OLS 為線性不偏估計式中變異數最小的估計式（Best Linear Unbiased Estimator, 簡稱 BLUE）。換言之，就是以計算出迴歸係數誤差平方和極小化 為目的之方法。本文使用 OLS 估計，藉由 VECM 估計模型探討本文（式 27）中二組

共整合關係的緊密程度。以下係使用 OLS 估計法進行時間序列多變數迴歸模型說 明：

若一組變數間呈線性的關係，以本文房屋需求為例，則迴歸模型如下：

𝑦𝑦_𝑡𝑡 = 𝑎𝑎₀+ 𝑎𝑎₁𝑥𝑥_1𝑡𝑡+ 𝑎𝑎₂𝑥𝑥_2𝑡𝑡 + 𝑎𝑎_𝑘𝑘𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑡𝑡} + 𝑒𝑒_𝑡𝑡 （式 33）

（式 33）多變數時間序列線性模型之性質與估計若以 OLS 模型估計其中殘差項 e_t必需符合一般線性模型之假設，如下

(1) 殘差為常態性 （Normality）

(2) 殘差期望值為零 （Zero Mean）：E（e_t）＝0 for all t。

(3) 殘差具同質變異 （Homoskedasticity）：var（et）＝σ²，σ²為一固定常數 for all t。

(4) 殘差無自我相關 （Non-Autocorrelation）：cov（e_t，e_t-1）＝0 for s≠0。

(5) 因變數與殘差無相關 （Orthogonality）：cov（xit，et）＝0 for all i。

(6) 各個因變數之間無相關 （Independence）：cov（x_it，x_jt）＝0 for all i≠j。

若殘差不符同質變異則估計出來的係數之變異數不是最小。換言之，該估計式非 最有效的估計式，將使統計推論可能出現問題。檢定該異質變異，本文以 White 檢定 並以本文房屋投資需求二自變數為例，說明如下：

設均衡模型為

𝑦𝑦_𝑡𝑡 = 𝑎𝑎₀+ 𝑎𝑎₁𝑥𝑥_1𝑡𝑡 + 𝑎𝑎₂𝑥𝑥_2𝑡𝑡+ 𝑒𝑒_𝑡𝑡 （式 34）

則 White 檢定進行一輔迴歸

𝑒𝑒_𝑡𝑡² = 𝑏𝑏₀+ 𝑏𝑏₁𝑥𝑥_1𝑡𝑡+ 𝑏𝑏₂𝑥𝑥_2𝑡𝑡+ 𝑏𝑏₃𝑥𝑥_1𝑡𝑡² + 𝑏𝑏₄𝑥𝑥_2𝑡𝑡² + 𝑏𝑏₅𝑥𝑥_1𝑡𝑡𝑥𝑥_2𝑡𝑡+ 𝑣𝑣_𝑡𝑡 （式 35）

若殘差沒有與 x1t及 x2t二變數有關的異質變異，則虛無假設為：

𝐻𝐻₀：𝑏𝑏₃ = 𝑏𝑏₄ = 𝑏𝑏₅ = 0 （式 36）

使用（式 35）輔助迴歸所得到 R²值與樣本總數 T，可計算出 White 檢定之統計量如 下：

𝐼𝐼 × 𝑅𝑅²～𝑥𝑥²（𝑞𝑞） （式 37）

q 為輔助迴歸式所多出來的待估參數之數目（本例中的 q＝3）。若檢定結果具有 異質變異則可採用「加權最小平方法」（Weight Least Squares, WLS）校正其中的異質 變異並加以估計。因 WLS 非本文研究方法的重點，故在此不加以敘論。

時間序列資料常會出現殘差自我相關，故需先以檢定。若殘差確有自我相關，則 估計結果的參數，不具有效性。可以採用 ACF 和 PACF、Q 檢定、自我相關 LM 檢定 等來判定時間序列模型是否具有殘差自我相關問題。因上述相關檢定非本文研究方法 重點，故在此不加以敘論。

二、 誤差項變異數不均等檢定（The Unequal Variance Test)

根據本文（式 8）HPt ＝ β1y

GDP + β

GDP + β

GDPβ + μ

1x

M2 + ν

求 所 影 響， 存在 二組 時 間序列 ，分別為：𝑦𝑦𝑡𝑡 = 𝐻𝐻𝐺𝐺𝑡𝑡﹐𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝑡𝑡﹐𝐺𝐺𝑃𝑃𝐺𝐺𝑡𝑡﹐𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡﹐𝑢𝑢𝑡𝑡 及

𝑥𝑥_𝑡𝑡 = 𝐻𝐻𝐺𝐺_𝑡𝑡﹐𝑀𝑀2_𝑡𝑡﹐𝑣𝑣_𝑡𝑡 。設該二組共整合皆各包含一確定趨勢項及一隨機趨勢項﹐則該 二組時間序列向量為

𝑦𝑦_𝑡𝑡 = 𝜏𝜏^𝑦𝑦𝑡𝑡 + 𝛤𝛤_𝑡𝑡^𝑦𝑦

（式 38）

𝑥𝑥_𝑡𝑡 = 𝜏𝜏^𝑥𝑥𝑡𝑡 + 𝛤𝛤_𝑡𝑡^𝑥𝑥 ﹐ t＝1﹐2﹐3﹐…T

（ 式 38 ） 其 中 ，𝜏𝜏^𝑦𝑦及 𝜏𝜏^𝑥𝑥表 示 為 定 性 趨 勢 （ Deterministic trend ） 向 量 ， Γ_𝑡𝑡^𝑦𝑦 = ∑^𝑡𝑡_𝑗𝑗=1𝜂𝜂_𝑗𝑗^𝑦𝑦 ， 𝛤𝛤_𝑡𝑡^𝑥𝑥= ∑^𝑡𝑡_𝑗𝑗−1𝜂𝜂_𝑗𝑗^𝑥𝑥為隨機趨勢（Stochastic Trend）向量，且𝛤𝛤^𝑦𝑦 = 𝛤𝛤^𝑥𝑥= 0。

根 據 wold 分解法 ，定態的 時間序列 表示為 MA（∞）。 設 𝜂𝜂_𝑡𝑡^𝑦𝑦 = 𝑐𝑐^𝑦𝑦（𝐿𝐿）𝜀𝜀_𝑡𝑡^𝑦𝑦， 𝜂𝜂𝑡𝑡𝑥𝑥 = 𝑐𝑐^𝑥𝑥（𝐿𝐿）𝜀𝜀𝑡𝑡𝑥𝑥 ，其中﹐𝑐𝑐^𝑦𝑦(𝐿𝐿)及 𝑐𝑐^𝑥𝑥（𝐿𝐿） 為多項式矩陣，可推展至無限期。𝜀𝜀_𝑡𝑡^𝑦𝑦 及 𝜀𝜀_𝑡𝑡^𝑥𝑥 為白噪音（White Noices）向量。

若向量 y_t 及 x_t 各只存在一組共整合關係，則可分別表示為 𝛼𝛼𝑦𝑦,𝑦𝑦𝑡𝑡～ 𝐼𝐼(0)及 𝛼𝛼_𝑥𝑥^,𝑥𝑥_𝑡𝑡～𝐼𝐼（0） ， 經 標 準 化 成 為 𝛼𝛼_𝑦𝑦 = （1, −𝛽𝛽_1,𝑦𝑦, −𝛽𝛽_2,𝑦𝑦, … ）^, 及 𝛼𝛼𝑥𝑥 = （1, −𝛽𝛽1,𝑥𝑥, −𝛽𝛽2,𝑦𝑦…）^,，下列使用多元的 Beveriage-Nelson 組合，以本文房屋實質 需求及房屋投資需求二組共整合關係表示之模型為：

𝐻𝐻𝐺𝐺𝑡𝑡− 𝛽𝛽1𝑦𝑦𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝑡𝑡− 𝛽𝛽2𝑦𝑦𝐺𝐺𝑃𝑃𝐺𝐺𝑡𝑡− 𝛽𝛽3𝑦𝑦𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡− 𝑢𝑢𝑦𝑦− 𝛿𝛿𝑦𝑦𝑡𝑡 = 𝑢𝑢𝑡𝑡~𝐼𝐼（0）

（式 39）

𝐻𝐻𝐺𝐺𝑡𝑡− 𝛽𝛽1𝑥𝑥𝑀𝑀2𝑡𝑡− 𝑢𝑢𝑥𝑥− 𝛿𝛿𝑥𝑥𝑡𝑡 = 𝑣𝑣𝑡𝑡~𝐼𝐼（0）

（式 39）共整合迴歸式中 𝑢𝑢_𝑦𝑦− 𝛿𝛿_{𝑡𝑡𝑦𝑦}= 𝑢𝑢_𝑡𝑡 及 𝑣𝑣_𝑡𝑡 皆為常數項，𝑢𝑢_𝑡𝑡 及 𝑣𝑣_𝑡𝑡 為捨均 數及捨趨勢項後的共整和均衡誤差。當確定（式 39）二組共整合迴歸式模型後，在

房屋供給面不變之下，本文裕探討房屋投資需求與房屋實質需求對房價的影響。將誤 差項變異數不均等檢定分別設定虛無假設與對立假設如下：

𝐻𝐻0：𝜎𝜎_{𝑣𝑣,𝐻𝐻𝐺𝐺𝐼𝐼}² ≥ 𝜎𝜎_{𝑢𝑢,𝐻𝐻𝐺𝐺𝑅𝑅}²

（式 40）

𝐻𝐻₁：𝜎𝜎_{𝑣𝑣,𝐻𝐻𝐺𝐺𝐼𝐼}² < 𝜎𝜎_{𝑢𝑢,𝐻𝐻𝐺𝐺𝑅𝑅}²

（式 40）檢定虛無假設（H0）為𝜎𝜎_𝑣𝑣²變異數大於或等於𝜎𝜎_𝑢𝑢²變異數，表示該二組共 整合緊密度相同或𝜎𝜎𝑣𝑣2共整合緊密度小於𝜎𝜎𝑢𝑢2共整合的緊密度。換言之，即表示房價與 投資需求共整合迴歸式緊密程度小於房價與實質需求共整合迴歸式緊密程度，房價不 存在泡沫化現象。對立假設（H₁）為𝜎𝜎𝑣𝑣2變異數小於𝜎𝜎𝑢𝑢2變異數，表示𝜎𝜎𝑣𝑣2共整合緊密度 大於𝜎𝜎_𝑢𝑢²共整合的緊密度。換言之，即表示房價與投資需求共整合迴歸式緊密程度大於 房價與實質需求共整合迴歸式緊密程度，則房價存在泡沫化現象。

另外本文也將透過該檢定，針對房屋實質需求個別單一變數 GDP 或 POP 或 INT 與房屋投資需求變數 M2 進行個別的迴歸式誤差項變異數不均等檢定，判別房屋投資 需求變數 M2 與房屋實質需求個別單一變數 GDP 或 POP 或 INT，何者需求影響房價 上漲程度較大。其檢定說明詳如前面房屋投資需求與房屋實質需求之檢定。其共整合 關係表示之模型為如下：

𝐻𝐻𝐺𝐺_𝑡𝑡− 𝛽𝛽_1𝑦𝑦𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺_𝑡𝑡− 𝑢𝑢_𝑦𝑦− 𝛿𝛿_𝑦𝑦𝑡𝑡 = 𝑢𝑢_𝑡𝑡~𝐼𝐼（0）

（式 41）

𝐻𝐻𝐺𝐺𝑡𝑡− 𝛽𝛽1𝑥𝑥𝑀𝑀2𝑡𝑡− 𝑢𝑢𝑥𝑥− 𝛿𝛿𝑥𝑥𝑡𝑡 = 𝑣𝑣𝑡𝑡~𝐼𝐼（0）

𝐻𝐻𝐺𝐺𝑡𝑡− 𝛽𝛽2𝑦𝑦𝐺𝐺𝑃𝑃𝐺𝐺𝑡𝑡− 𝑢𝑢𝑦𝑦− 𝛿𝛿𝑦𝑦𝑡𝑡 = 𝑢𝑢𝑡𝑡~𝐼𝐼（0）

（式 42）

𝐻𝐻𝐺𝐺_𝑡𝑡− 𝛽𝛽_1𝑥𝑥𝑀𝑀2_𝑡𝑡− 𝑢𝑢_𝑥𝑥− 𝛿𝛿_𝑥𝑥𝑡𝑡 = 𝑣𝑣_𝑡𝑡~𝐼𝐼（0）

𝐻𝐻𝐺𝐺𝑡𝑡− 𝛽𝛽3𝑦𝑦𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑡𝑡− 𝑢𝑢𝑦𝑦− 𝛿𝛿𝑦𝑦𝑡𝑡 = 𝑢𝑢𝑡𝑡~𝐼𝐼（0）

（式 43）

𝐻𝐻𝐺𝐺_𝑡𝑡− 𝛽𝛽_1𝑥𝑥𝑀𝑀2_𝑡𝑡− 𝑢𝑢_𝑥𝑥− 𝛿𝛿_𝑥𝑥𝑡𝑡 = 𝑣𝑣_𝑡𝑡~𝐼𝐼（0）

（式 41）～（式 43）共整合迴歸式中 𝑢𝑢𝑦𝑦− 𝛿𝛿𝑡𝑡𝑦𝑦 = 𝑢𝑢𝑡𝑡 及 𝑣𝑣𝑡𝑡 皆為常數項，𝑢𝑢𝑡𝑡 及 𝑣𝑣_𝑡𝑡 為捨均數及捨趨勢項後的共整和均衡誤差。當確定（式 41）～（式 43）之間各二 組共整合迴歸式模型後，本文另欲探討房屋投資需求變數 M2 與房屋實質需求個別單 一變數 GDP 或 POP 或 INT 對房價的影響。將誤差項變異數不均等檢定分別設定虛無 假設與對立假設如下：

𝐻𝐻₀：𝜎𝜎_{𝑣𝑣,𝑀𝑀2}² ≥ 𝜎𝜎_{𝑢𝑢,𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺}²

（式 44）

𝐻𝐻₁：𝜎𝜎_{𝑣𝑣,𝑀𝑀2}² < 𝜎𝜎_{𝑢𝑢,𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺}²

𝐻𝐻0：𝜎𝜎_{𝑣𝑣,𝑀𝑀2}² ≥ 𝜎𝜎_{𝑢𝑢,𝐺𝐺𝑃𝑃𝐺𝐺}²

（式 45）

𝐻𝐻1：𝜎𝜎𝑣𝑣,𝑀𝑀22 < 𝜎𝜎𝑢𝑢,𝐺𝐺𝑃𝑃𝐺𝐺2

𝐻𝐻₀：𝜎𝜎_{𝑣𝑣,𝑀𝑀2}² ≥ 𝜎𝜎_{𝑢𝑢,𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼}²

（式 46）

𝐻𝐻₁：𝜎𝜎_{𝑣𝑣,𝑀𝑀2}² < 𝜎𝜎_{𝑢𝑢,𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼}²

（式 44）～（式 46）中，𝜎𝜎_{𝑣𝑣,𝑀𝑀2}² 為 M2 誤差項變異數，𝜎𝜎_{𝑢𝑢,𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺}² 為 GDP 誤差項變

異數，𝜎𝜎_{𝑢𝑢,𝐺𝐺𝑃𝑃𝐺𝐺}² 為 POP 誤差項變異數，𝜎𝜎_{𝑢𝑢,𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼}² 為 INT 誤差項變異數。

（式 41）～（式 43）檢定設定虛無假設（H0）為𝜎𝜎𝑣𝑣2變異數大於或等於𝜎𝜎𝑢𝑢2變異數，

表示該二組共整合緊密度相同或𝜎𝜎_𝑣𝑣²共整合緊密度小於𝜎𝜎_𝑢𝑢²共整合的緊密度。換言之，

即表示房價與投資需求共整合迴歸式緊密程度小於等於房價與實質需求共整合迴歸 式緊密程度，房價不存在泡沫化現象。虛無假設（H1）為𝜎𝜎_𝑣𝑣²變異數小於𝜎𝜎_𝑢𝑢²變異數，

表示𝜎𝜎𝑣𝑣2共整合緊密度大於𝜎𝜎𝑢𝑢2共整合的緊密度。換言之，即表示房價與投資需求共整 合迴歸式緊密程度大於房價與實質需求共整合迴歸式緊密程度，則房價存在泡沫化現 象。