第三章 濾波器設計參數
3.1 耦合係數法
3.1.6 使用耦合係數來表示帶通濾波器
10 換器 (impedance inverter ; K inverter) 將並聯電容改變至串聯電
g0
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W 為比例頻寬 (fractional bandwidth)
Ωc為正規化後的低頻濾波器截止頻率 (通常Ω =1c )
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最後，利用外部品質因數Qext (external quality factor) 和內部耦 合係數K (internal coupling coefficient) [3] 來表示帶通濾波器的等效 電路，如圖3.1-6。
14
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3.2 內部耦合係數 (Internal Coupling Coefficient) 與 外部品質因數 (External Quality Factor) 之求法
這一節將會介紹如何利用電磁模擬軟體 [15] 模擬電路結構，設 計出與耦合係數法中外部品質因數 Qext和內部耦合係數 K 所相對應 的諧振腔尺寸大小，因為之後的濾波器設計其中心頻率均為 1GHz，
諧振腔結構如圖2.3-2 所示，因此以下的說明均以此為範例。
3.2.1 內部耦合係數 K 之求法：
在 3.1.6 節所提到的 Kij和 Qext是說明濾波器欲設計的規格，而 實際利用二個相鄰諧振腔求出內部耦合係數的電路如圖 3.2-1 [3]。
圖3.2-1 求內部耦合係數 K 之電路
(1)、利用微弱耦合方式來模擬二個相鄰諧振腔之間的耦合量，其耦 合量跟二個諧振腔間的距離S 有關。
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(2)、經過模擬後可以觀察到有二個分開的諧振頻率分別為 f1及f2， 如圖 3.2-2 所示，這二個諧振頻率的位置與耦合強度有關，若耦 合愈強則 f1及f2距離相隔愈遠，耦合量愈弱則f1及f2間距離愈 近。
圖3.2-2 求內部耦合係數的 f1及 f2諧振頻率
內部耦合係數K 可用 f1及f2表示為：
0 1 2
f f K f −
= ，其中 f0為中心頻率。
3.2.2 外部品質因數 Q
ext之求法：
要求外部品質因數 Qext可以有二種方式，分別為：(1)、單輸入 端 饋 入 耦 合 (singly loaded) 及(2)、雙輸入端饋入耦合 (doubly loaded)，分別敘述如下 [3]：
(1)、單輸入端饋入耦合 (Singly Loaded)：
將輸入端饋入，利用電磁模擬軟體，觀察圖 3.2-3-(1) S11的相
f 1 f 2
f 0
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(2)、雙輸入端饋入耦合 (Doubly Loaded)：
電路如圖 3.2-4-(1)所示，由 S21中心頻率fo下降3dB 的頻率
f
+90of
0f
-90o18
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20
21
步階阻抗諧振腔之諧振條件如圖 4.1-2 所示，我們可以先算出欲設計 的步階阻抗諧振腔其阻抗比值R (調整微帶線寬度)，從圖 4.1-2 中選 定阻抗比值R 的曲線，再決定電氣長度 (electrical length) θ1，此時 θ1 會對應到一點正規化長度 Ln，這表示說諧振腔整體的電氣長度 為：θT = Ln × (π/2)。
圖4.1-2 步階阻抗諧振腔之諧振條件
(1)、當 R = Z2 / Z1 > 1 時，為圖 4.1-2 右邊上面 (a) 的步階阻抗諧振 腔，此時諧振腔長度比四分之一波長長。
(2)、當 R = Z2 / Z1 = 1 時，為圖 4.1-2 右邊中間 (b) 的均勻阻抗諧振 腔，此時諧振腔長度為四分之一波長。
(3)、當 R = Z2 / Z1 < 1 時，為圖 4.1-2 右邊下面 (c) 的步階阻抗諧振 腔，此時諧振腔長度比四分之一波長短。
Z1
Z2
Z1=Z2 Z1
Z2 (a)
(b)
(c)
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圖 4.1-4 正規化二次諧振頻率與阻抗比值 R 之關係 θ1=θ2=θ0
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4.2 準橢圓函數帶通濾波器：
在濾波器的合成中，較常使用的響應為巴特沃茲 (Butterworth) 和柴比契夫 (Chebyshev) 二種來達成，這兩種方式都是屬於由多項式 來加以合成，而其傳輸零點 (transmission zero) 是出現在頻率等於零 或頻率等於無窮大時，因而無法將截止頻帶設計得很陡峭，所以無法 達到高選擇性 (selectivity) 之要求。
其它的濾波器響應函數可分為橢圓函數響應 (elliptic function response) [6] 或 準 橢 圓 函 數 響 應 (quasi-elliptic function response) [7]，這二種響應的特性是可以在有限的頻率產生傳輸零點，所以當 濾波器在某個頻率需要有很高的拒斥力時，則可以將傳輸零點置於想 要 拒 斥 的 頻 率 ， 如 此 便 可 以 利 用 很 少 的 階 數 來 達 成 想 要 的 通 帶 (passband) 與截止帶 (stopband) 的規格；因為之後我們的濾波器設計 運用到橢圓函數響應的觀念，所以將其理論及特性結果整理如下。
4.2.1 準橢圓函數之介紹：
準橢圓函數又稱為廣義柴比契夫 (generalized Chebyshev) 函 數，函數的表示式有以下二種：
(1)、利用柴比契夫多項式 (Chebyshev polynomial) 合成準橢圓函數：
下頁圖4.2-1 為有理函數 ( ) 2 ( )2
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(2)、利用三角函數 (trigonometric function) 合成準橢圓函數：
[
( 2)φ 2θ]
下式來進行頻率轉換 (frequency mapping)：⎟⎟⎠
W 為比例頻寬 (fractional bandwidth)
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交錯耦合 (cross coupling) 的觀念，使非相鄰的二個諧振腔間能量有 所耦合，以此來製造一對傳輸零點在通帶的兩側，而我們所設計的
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第五章 諧振腔特性分析
圖 5.0-1 為前面章節所討論的傳統四分之一波長步階阻抗諧振腔 結構，此結構包括了高阻抗 (Z1) 及低阻抗 (Z2) 二部份，整個諧振 腔的長度為LT (LT = L1 + L2)，而高阻抗 (Z1) 和低阻抗 (Z2) 的阻抗 比值R 定義如下：
R = Z2 / Z1
同時由前面章節的討論 [10]，可以知道當 L1 = L2時，整個諧振腔的 長度有最小值，所以在以下的討論中，我們令L1 = L2 = L。
圖5.0-1 傳統的四分之一波長步階阻抗諧振腔
在前面第二章的圖 2.3-2 中，發現諧振腔上半部和下半部傳輸線 的結構不一樣，所以其特性阻抗值自然不相同，因此可以將步階阻抗 的觀念引入，此為四分之一波長步階阻抗諧振腔；在本論文的電路 中，我們希望諧振腔的特性阻抗其上半部為低阻抗，而下半部為高阻 抗，而諧振腔的正面圖及側視圖如下頁圖5.0-2-(1)、5.0-2-(2) 所示，
同時由圖中，我們令諧振腔上半部的整體寬度為 WL，其中接地細帶
W
H32
的寬度為WS，內部間隔距離為Wg，諧振腔下半部的寬度令為 WH， 基板的厚度令為H；為了減少諧振腔的面積，所以再將圖 5.0-2-(1)諧 振腔的下半部 (高阻抗Z1) 予以上折，最後如圖5.0-3 所示，之後的 濾波器設計其諧振腔結構均採用此種型式。
(1) (2)
圖5.0-2 (1)諧振腔的正面圖 (2)諧振腔的側視圖
圖5.0-3 將 5.0-2-(1)中電路高阻抗 Z1部份予以上折
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在此，我們令Wg = WS = WH = 5mil (此值約為一般外面 PCB 板廠所 能製作的最細線寬及最小線距，同時為了讓阻抗比值R 盡可能縮小，
所以高阻抗Z1部份取所能達到的最小線寬5mil)，設定諧振腔的主諧 振頻率為 1GHz，分別對於不同的介電常數 ε (取 3.5、6.8、10.2) 及 不同的厚度H (取 20、25、40、50、60 mil) 的板材觀察其特性阻抗。
首先，先將使用模擬軟體量測特性阻抗的方式示意如下：
使用 Sonnet 模擬 加入接地細帶後 的諧振腔。
將 Sonnet 模擬後的.s2p 檔代入AWR 模擬軟體。
在AWR 模擬軟體中，調整 Zeff的值，使得S11在1GHz 時有最小值，此 Zeff之值即為傳輸線的特性阻抗。
將.s2p 檔取出
調整輸入阻抗值
調整Zeff之值，
使得S11在 1GHz 時有最小值
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5.1 介電常數 ε 為 3.5：
表格5.1-1、高阻抗部份 Z1的傳統微帶線結構 (WH=5mil)，根據不同 的厚度H 來量測其阻抗：(圖 5.0-1)
substrate thickness H (mil)
20 25 40 50 60
substrate thickness H (mil) Z2(Ω)
WL (mil) 20 25 40 50 60 59 (2) 32.5 34.4 38.2 39.8 41.2 113 (4) 19.3 20.5 22.8 23.9 24.8 167 (6) 14 14.8 16.5 17.3 18
substrate thickness H (mil) Z2(Ω)
WL (mil) 20 25 40 50 60
59 41.6 48.1 63.2 70.6 77.2
113 25.8 30.5 42.4 48.6 54.3
167 18.8 22.4 32 36.8 42.1
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表格5.1-4、傳統步階阻抗微帶線諧振腔其高低阻抗比值 R 及加入接 地細帶後其阻抗比值R 的變化：
1、未插入接地細帶 (No inserted)：R = 表格 5.1-2 /表格 5.1-1 2、有加入接地細帶 (inserted)：R = 表格 5.1-3 /表格 5.1-1
substrate thickness H (mil) R
WL (mil) 20 25 40 50 60
No inserted 0.314 0.34 0.396 0.42 0.442 59
inserted 0.245 0.243 0.24 0.237 0.236 No inserted 0.195 0.216 0.266 0.289 0.311 113
inserted 0.146 0.145 0.143 0.142 0.142 No inserted 0.142 0.158 0.201 0.219 0.241 167
inserted 0.106 0.105 0.104 0.103 0.103
將表格5.1-4 的變化圖示如下：
圖5.1-1 表格 5.1-4 的變化示意圖
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substrate thickness H (mil) Z2(Ω)
substrate thickness H (mil) Z2(Ω)
WL (mil) 20 25 40 50 60 59 (2) 24.6 26.1 29 30.3 31.3 113 (4) 14.6 15.5 17.3 18.1 18.8
167 (6) 10.6 11.2 12.5 13.2 13.7
substrate thickness H (mil)
20 25 40 50 60 characteristic
impedance Z1
(Ω) 100.8 107.5 121.4 128 133.2
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表格5.2-4、傳統步階阻抗微帶線諧振腔其高低阻抗比值 R 及加入接 地細帶後其阻抗比值R 的變化：
1、未插入接地細帶 (No inserted)：R = 表格 5.2-2 /表格 5.2-1 2、有加入接地細帶 (inserted)：R = 表格 5.2-3 /表格 5.2-1
將表格5.2-4 的變化圖示如下：
圖5.2-1 表格 5.2-4 的變化示意圖 substrate thickness H (mil) R
WL (mil) 20 25 40 50 60
No inserted 0.309 0.334 0.391 0.416 0.436 59
inserted 0.244 0.243 0.239 0.237 0.235 No inserted 0.19 0.209 0.26 0.279 0.305 113
inserted 0.145 0.144 0.143 0.141 0.141 No inserted 0.138 0.153 0.194 0.214 0.233 167
inserted 0.105 0.104 0.103 0.103 0.103
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5.3 介電常數 ε 為 10.2：
表格5.3-1、高阻抗部份 Z1的傳統微帶線結構 (WH=5mil)，根據不同 的厚度 H 來量測其阻抗：(圖 5.0-1)
substrate thickness H (mil)
20 25 40 50 60
substrate thickness H (mil) Z2(Ω)
substrate thickness H (mil) Z2(Ω)
WL (mil) 20 25 40 50 60
59 (2) 20.4 21.7 24 24.6 25.5
113 (4) 12.1 12.9 14.4 14.8 15.3
167 (6) 8.8 9.3 10.4 10.8 11.2
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表格5.3-4、傳統步階阻抗微帶線諧振腔其高低阻抗比值 R 及加入接 地細帶後其阻抗比值R 的變化：
1、未插入接地細帶 (No inserted)：R = 表格 5.3-2 /表格 5.3-1 2、有加入接地細帶 (inserted)：R = 表格 5.3-3 /表格 5.3-1
將表格5.3-4 的變化圖示如下：
圖5.3-1 表格 5.3-4 的變化示意圖 substrate thickness H (mil) R
WL (mil) 20 25 40 50 60
No inserted 0.306 0.333 0.389 0.424 0.434 59
inserted 0.244 0.243 0.238 0.235 0.234 No inserted 0.188 0.209 0.258 0.289 0.303
113
inserted 0.145 0.144 0.143 0.142 0.141 No inserted 0.136 0.153 0.193 0.22 0.231 167
inserted 0.105 0.104 0.103 0.103 0.103
40
5.4 表格結果討論：
(1)、在表格 5.1-2 中，以厚度 H = 20mil、介電常數 ε = 3.5 的基板為 例，若低阻抗Z2的傳輸線其寬度 WL為113mil，則對於傳統的微 帶線結構而言，其特性阻抗值 Z2為25.8Ω；但若使用加入接地細 帶的方式 (表格 5.1-3)，則可以將 Z2的值降為 19.3Ω，在高阻抗 部份 Z1保持不變的情形下，可以更為降低阻抗比值 R；同時從 表格 5.1-2、5.1-3 可以看出，對於相同的整體寬度 WL來說，當 基板厚度 H 越大時，則傳統的微帶線特性阻抗和改良後加入接 地細帶的微帶線其特性阻抗值差距越大，其它介電常數 (ε = 6.8 及10.2) 均有相同的現象，這是因為我們增加了傳輸線的等效電 容值，以此來降低特性阻抗。
(2)、以介電常數 ε = 3.5 為例說明，比較表格 5.1-2 及 5.1-3，在相同 的整體寬度 WL狀況下，諧振腔中加入接地細帶後的微帶線其低 阻抗值 Z2隨基板厚度 H 的變化程度遠小於傳統微帶線結構，這 是由於等效電容因為所加入接地細帶的原因，所以有很大一部份 是分佈在微帶線的表面，因而低阻抗 Z2 主要是受到內部間隔距 離 Wg、金屬線的寬度WS、和整體傳輸線寬度 WL (隨著加入接地 細帶的個數而有所不同) 所影響，所以可以大幅減少特性阻抗 Z2 與基板厚度 H 之間的關係，也因此減少了板材介質對電路的影 響，同時了解到當所加入的接地細帶越多時 (即 WL的值越大)，
則特性阻抗值 Z2隨基板厚度 H 的變化量越小 (比較 WL = 59、
113、167 mil )，同樣的特性結果當介電常數 ε = 6.8 及 10.2 時均
41
有顯現出來。
(3)、以之後所要設計的濾波器其低阻抗微帶線的寬度 WL = 113mil 為 例，觀察對於不同的介電常數ε 及不同的基板厚度 H，其二次諧 振頻率發生的位置，因為由上述表格可以發現，阻抗比值 R 與 介質厚度H 和介電常數 ε 幾乎無關，所以第二次諧振頻率發生的 位置幾乎相同 (約在6.9GHz 左右)，諧振腔電路及諧振頻率模擬 結果如圖5.4-1-(1)及 5.4-1-(2)所示。
(1) (2)
圖5.4-1 (1)模擬諧振腔其諧振頻率的電路圖 (2)對於不同介質 ε 及 不同厚度 H 的基板其二次諧振頻率發生位置模擬圖
42
(4)、同傳統的微帶線結構，在相同的基板厚度 H 下，當寬度 WL越 寬時，則低阻抗值 Z2更為下降，所以當要求更小的低阻抗值 Z2
時，可以加入更多的平行接地細帶來達成；因為我們使步階阻抗
諧振腔中高阻抗部份Z1的線寬WH固定，所以儘管對於不同的基 板厚度 H 及介電常數 ε，其高阻抗值 Z1均甚大；由表格中也可 以發現，使用加入接地細帶的方式，可以將諧振腔中低阻抗值 Z2快速下降，然而因為高阻抗部份 Z1我們使其盡可能的大，所 以從表格5.1-4、5.2-4、5.3-4 中顯示，當阻抗比值 R 分子的部份 越小，而分母的部份越大時，整個阻抗比值R 幾乎跟基板厚度 H 和介電常數 ε 無關，這是因為經由加入接地細帶的方式，可以使 得低阻抗值 Z2隨著基板厚度 H 的變化幅度大為下降，在高阻抗 部份Z1的寬度WH固定之情況下，透過此種方式，可以使得高阻 抗值Z1隨基板厚度 H 變化的幅度與低阻抗值 Z2約略相近，因而 造成阻抗比值 R 幾乎跟基板厚度 H 無關，同時當阻抗比值 R 越 小時，此種關係越顯著，而且濾波器也會擁有較寬的截止帶；圖 5.4-2 為將有加入接地細帶後 (圖 5.0-3) 的阻抗比值 R 對於不同 的寬度 WL、介電常數 ε 及基板厚度 H 所做之圖。
(5)、以表格 5.1-4，介電常數 ε = 3.5、WL = 113mil 為例，對於五個不 同厚度 H 的基板 (20、25、40、50、60 mil)，在其它條件均相 同的狀況下，其阻抗比值幾乎都在 0.143，所以在一般製程上，
可以使用較薄或較便宜的基板，來降低成本、減少表面波的發 生，但是電路整體的結構大小幾乎不受影響；相反的，從表格 5.1-4，可以看出傳統的微帶線結構其阻抗比值 R 與基板厚度 H