第二章 資產負債模型
第二節 資產模型
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第二章、 資產負債模型 第一節 利率模型
本研究以 Cox-Ingersoll-Ross (以下簡稱 CIR) 模型來描述利率的變動，主 要原因為 CIR 模型具有均數復歸特性，且在平方根的過程中可以確保利率不會 出現負值，且 CIR 模型下利率的波動程度會隨著利率下降而減少，符合真實市 場情況。利率變動假設如下：
𝑑𝑟 = 𝛼(𝑚 − 𝑟)𝑑𝑡 + 𝜈√𝑟𝑑𝑍 (1) 𝑚：為利率的長期平均值
𝜈：為利率的變動參數
𝛼：為一正數，用來衡量利率的平均恢復強度 𝑍 ：為一 Wiener 過程
風險中立測度轉換是衍生性商品定價的標準步驟，因此將式(1)經風險中立 測度轉換後變動如下：
𝑑𝑟 = 𝛼 (𝑚 − 𝑟)𝑑𝑡 + 𝜈√𝑟𝑑𝑍 (2) 𝛼 = 𝛼 + 𝜆
𝑚 = 𝛼𝑚 𝛼 + 𝜆
𝑑𝑍 = 𝑑𝑍 +𝜆√𝑟 𝜈 𝑑𝑡
𝜆為利率風險之市場價格，在 Cox, et. al. (1985) 的假設下，為一個常數；𝑍 為 Q 測度下的 Wiener 過程。
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i. 債券價格的變動根據 Heath (1992) 可以描述如下：
( )
( ) = 𝑟(𝑡)[1 − 𝜆𝐵̅(𝑡 𝑇)]𝑑𝑡 − 𝐵̅(𝑡 𝑇)𝜈√𝑟𝑑𝑍 (3)
𝐵̅(𝑡 𝑇) = 2(𝑒 ( )− 1)/[(𝛾 + 𝛼 + 𝜆)(𝑒 ( )− 1) + 2𝛾]
𝛾 = [(𝛼 + 𝜆) + 2𝜈 ] ⁄
𝐵(𝑡 𝑇)：到期日為𝑇，時間點𝑡時之債券價格。本研究於模擬債券價格時設定債券 到期日𝑇 − 𝑡為一定值。
𝜆：用來描述利率風險的市場價格 式(3)經風險中立測度轉換後變動如下:
( )
( ) = 𝑟𝑑𝑡 − 𝐵̅(𝑡 𝑇)𝜈√𝑟𝑑𝑍 (4)
𝑑𝑍 = 𝑑𝑍 +𝜆√𝑟 𝜈 𝑑𝑡 ii. 股價指數則假設如下：
自從隨機過程廣泛應用在金融資產的模擬之後，大多假設股價是遵循擴散 (diffusion) 模式，意指著股價的變化是連續且密接發生的，不會有跳躍或不連續 的情形產生；然而 2008 年金融海嘯與 2011 年歐債危機均造成股票市場大幅度 波動，這樣的假設受到相當的挑戰；因此為表達壽險業資產端易受資本市場變動 加劇的風險，本研究考慮兩種情境：1) 於風險性資產之動態隨機過程加入跳躍 過程以描述市場之系統性風險。 2) 設定風險性資產之波動參數為一隨機過程以 描述市場波動程度易受外部消息所影響而非定值。
情境一 跳躍過程 (Jump)
由於金融資產報酬率具有高峽峰、偏態與厚尾的特性，因此傳統的常態分配 假設下之資產報酬率模型無法描述此一現象。且資產報酬率常因外在環境、政治
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法令或國際情勢影響，因而導致資產價格產生瞬間跳躍之不連續現象，傳統的股 票價格變動服從幾何布朗運動似乎無法解釋此一不連續的跳躍現象，因此 Merton (1976) 提出股票價格有跳躍現象的假設，加入一獨立的 Poisson 跳躍過 程於幾何布朗運動中，導出一跳躍擴散隨機過程 (Jump-Diffusion Stochastic Process) ，而跳躍過程中之跳躍振幅服從常態分配，然而常態分配並不符合股 票報酬率具有高峽峰與漲跌幅不對稱的特性(如圖 2-1)，因此 Kuo (2002) 提出跳 躍振幅服從雙指數分配的假設以修正 Merton 的跳躍擴散模型，其股票價格波動 可描述如下：
𝑑𝑆(𝑡) = [𝑟(𝑡) + 𝜋𝑆]𝑆(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑆(𝑡)𝑑𝑊𝑆 + 𝑆(𝑡)𝑑 (∑𝑁𝑖= 𝑆 𝑡(𝑒𝑌𝑖 − 1)) (5)
𝜋𝑆：為投資股票所需風險溢酬之參數
𝑁𝑆 ：為一個參數為𝜇的 Poisson 過程(與其他隨機變數獨立)
𝑌𝑖：為一個獨立且機率分配相同的隨機變數，用來描述當股票跳躍過程發生時，
股票的跳躍幅度百分比。設定其機率分配函數服從雙指數分配以描述股票市 場跳躍過程之漲跌幅情境不盡相同。
𝑓𝑌(𝑦) = 𝑝𝜂 𝑒 𝜂1𝑦𝐼{𝑦≥0}+ 𝑞𝜂 𝑒𝜂2𝑦𝐼{𝑦<0} 𝑝 𝑞 > 0 𝑝 + 𝑞 = 1 𝜂 ：跳躍漲幅之參數
𝜂 ：跳躍跌幅之參數
其中𝑍𝑆 為一個與𝑍 相關之 Wiener 過程，兩者相關係數為𝜌𝑆 ，其關係式如下:
(𝑑𝑍 與𝑑𝑍 獨立)
𝑑𝑍𝑆 = (𝑑𝑍 − √1 − 𝜌𝑆 𝑑𝑍 )/𝜌𝑆
式(5)經風險中立測度轉換後變動如下:
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𝑑𝑆(𝑡) = [𝑟(𝑡) − 𝜆𝐸(𝑒𝑌𝑖− 1)]𝑆(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑆(𝑡)𝑑𝑍𝑆 + 𝑆(𝑡)𝑑 (∑𝑁𝑖= 𝑆.𝑡(𝑒𝑌𝑖 − 1)) (6)
𝐸𝑄[𝑑 (∑𝑁𝑖= 𝑆.𝑡(𝑒𝑌𝑖 − 1))] = 𝜆𝐸(𝑒𝑌𝑖− 1)
𝑑𝑍𝑆 = 𝑑𝑍𝑆 + 𝜋𝑆𝑑𝑡/𝜎𝑆
圖 2-1 台灣加權指數報酬率分布圖
註：本研究整理-台灣加權指數 2000/1-2012/4 日資料報酬率分布圖與其常態分配 配適曲線，由圖知歷史資料顯示報酬率具有高峽峰與厚尾的特性，且漲跌幅不完 全對稱。故適合配適雙指數分配之不對稱跳躍過程於股價模型。
情境二 隨機波動過程 (Stochastic Volatility)
另一描述壽險業資產端易受資本市場變動加劇影響的情境為隨機波動過程，
即設定風險性資產之波動參數為一隨機過程而非定值。根據 Heston (1993)，股 票價格波動可描述如下：
𝑑𝑆(𝑡) = [𝑟(𝑡) + 𝜋𝑆]𝑆(𝑡)𝑑𝑡 + √𝜎𝑆(𝑡)𝑆(𝑡)𝑑𝑍𝑆 (7) d𝜎𝑆(𝑡) = 𝜅[𝑢 − 𝜎𝑆(𝑡)]𝑑𝑡 + 𝜈𝜎𝑆√𝜎𝑆(𝑡)𝑑𝑍𝜎
𝑑𝑍𝑆 = (𝑑𝑍𝜎 − √1 − 𝜌𝑆𝜎 𝑑𝑍 )/𝜌𝑆𝜎 (𝑑𝑍 與𝑑𝑍𝜎 獨立)
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𝜋𝑆：投資股票所需風險溢酬之參數
𝜎𝑆(𝑡)：股票價格的變異數，為一個隨機波動程度(Stochastic Volatility) 𝜅：用來衡量股票波動程度的平均恢復強度
u：股票長期的平均波動程度 𝜈𝜎𝑆：𝜎𝑆的變動程度參數
式(7)經風險中立測度轉換後變動如下:
𝑑𝑆(𝑡) = 𝑟(𝑡)𝑆(𝑡)𝑑𝑡 + √𝜎𝑆(𝑡)𝑆(𝑡)𝑑𝑍𝑆 (8) iii. 資產配置
最後，假設壽險公司將資產配置於債券、股票(風險性資產)、現金之比例為 𝜃 、𝜃 、1 − 𝜃 − 𝜃 ，因此壽險公司之資產變動如下：
𝐴( ) 𝐴( ) =
𝜃 ( ) ( ) + 𝜃 𝑆( )𝑆( ) + (1 − 𝜃 − 𝜃 )𝑟(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑁𝐶𝐼𝐹(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑁𝐶𝐼𝐹(𝑡)𝜎𝑁 𝑑𝑍𝑁 (9)
NCIF(t)：預計淨現金流入佔資產比例 𝜎𝑁 ：NCIF 之變動參數