質傳理論模型

就空氣洗滌過濾在低進口污染濃度的情況下，會導致捕集效率折減的問題，

目前只有直觀的統計迴歸經驗公式，迄無探求該原因解釋的數理模型。故本章主 旨在提出一個質傳理論模型的框架，用以推理低濃度污染物捕集效率折減的特性，

以助於理解今日空氣洗滌與過濾設備的效率問題，如圖 21 所示。

圖 21. 質傳理論模型的框架構建

空氣洗滌過濾乃基於以濃度梯度作為驅力的污染物擴散質傳，藉由介質材料 的吸收或粘附，降低原有空氣中的化學污染物濃度。以此，介質材料界面的污染 物濃度降低，會引致鄰近區域的污染物濃度梯度變化，從而因擴散不斷地驅動污 染物的運動，上述現象為空氣洗滌或過濾去除氣載化學污染物的基本原理。本研 究在進行理論模型建立之前，先就推導條件，做三點假設：

首先，假設洗滌溶液是不飽和溶液，且已進入洗滌溶液內的化學污染物不會 再次釋出返回空氣之中；

其次，假設氣液界面處，該化學污染物，在液相連續吸收期間，液相內的濃 度其值接近為零；

最後，濃度梯度的變化會引發動態擴散行為。

援用 2.5 節探討之 Fick 第二定律，將空氣洗滌過程，以有限元素的方法，切分成 微小的單元模組，每個獨立單元的組成區段中，區段內污染物的捕集效率與濃度 梯度呈比例關係。空氣洗滌單元於連續區段中污染物的動態擴散，如圖 22 所示。

圖 22. 因濃度梯度所致之動態擴散(Kuo, C. W., Chuang, T. S., & Chang, L. M., 2017)

依據 Fick 第二定律:

r =質傳模數(diffusivity, diffusion coefficient), C =污染物濃度(concentration),

t =時間(time),

x =X 軸位置(position).

在一維擴散中，污染物濃度對時間的一階導數與濃度梯度的差成正比。因此，

恆定空氣流速下通過氣體洗滌設備，所捕獲的污染物總量，將與擴散率和濃度梯 度的乘積成比例。本研究將空氣洗滌設備以有限元素法，拆解成水洗區段單元模 組，並令空氣洗滌設施的污染物進口濃度為 1，質傳模數為 r，來簡化描述此理論 模型的方程式。由各獨立區段的組合連貫，所形成連續的污染物捕集序列，如表 1 所示。基於上述的假設與操作，可由連續獨立區段的組合積分，來計算該空氣洗 滌系統中，污染物理論的最終出口濃度，計算邏輯如下所示：a(n)數列表連續獨立 區段中，第 n 個獨立區段的進口濃度(亦即為第 n-1 區段的出口濃度)，如圖 23 所 示。

圖 23. MAU 內空氣洗滌連續有限區段各階段的水洗過程 (Kuo et al., 2017)

表 1. 以質傳模數 r 所簡化描述的污染物捕集連續序列方程式

a₀＝1 a1＝1－r

a2＝(1－r)－r×(1－r)²

a₃＝(1－r)－[r×(1－r)²]－r×[(1－r)－r×(1－r)²]²

假設以 a₀＝1， r = 0.5，代入上述數列，做為計算例示說明如下：

a₀＝1

a1＝1－r = 1－0.5 = 0.5

a₂＝(1－r)－r×(1－r)²＝(1－0.5)－0.5×(1－0.5)² ＝ 0.375 a3＝(1－r)－[r×(1－r)²]－r×[(1－r)－r×(1－r)²]²

＝(1－0.5)－[0.5×(1－0.5)²]－0.5×[(1－0.5)－0.5×(1－0.5)²]² ＝ 0.304688

空氣洗滌的連續區段單元，經以質傳模數表各獨立區段進口濃度的數列，則 該數列呈現下述的規則性：

an+1 ＝ a_n－r×(a_n)² (3-2) 然由於代數方程式(3-2)，其自變數與應變數不成正比，為非線性的複雜方程式，

無法直接求解，故通常只能利用勘根法，始有機會求解此特定代數方程式。然而，

上述等式的項式可重新排列如下：

a_n+1－a_n ＝－r×(a_n)² (3-3) 經此轉換後，代數方程式（3-3），可變成是具有邊界條件，給定初始值的微分方 程式(ODE, Ordinary Differential Equation)，便可利用尤拉法，來推導其近似解。

方程式(3-3)，可視為一微分方程式，如下所示

(3-4)

依循可分離變數微分方程式之解法

(3-5)

非線性方程式(3-4)可類化於方程式(3-5)

利用 , 與初始邊界條件 y0＝a0 來求解

方程式兩邊同時積分，產生一常數差值，並代入初始邊界條件 y0＝y(0)＝a0

經由這樣的變形與微分方程式的積分操作運算，即可獲得第 n 個獨立區段處的污 染物出口濃度 y(n) ，亦即可就空氣洗滌設備於不同進口濃度條件下，進行污染物 去除效率的快速預測。

(3-6) 在容許計算誤差的條件下，上述方程式，可以用來求算在不同進口濃度污染物的 條件下，空氣洗滌設備的理論出口濃度。而相應的質傳模數 r (diffusivity, diffusion coefficient)，則是由該系統已知的進口濃度/出口濃度對(pair)來計算導出。空氣洗 滌之預測效率，可由下列速算方程式(3-7)來獲得，而簡化後的方程式，不再需以 勘根法，藉電腦運算如試算表程式(Excel)等方式來進行反覆演算，可直接以簡易 的計算，得出空氣洗滌設備於不同進口濃度下效率預測方程式的解。

(3-7) 上式中

e =總合 n 個洗滌區段程序的污染物總捕集效率，

y₀ =空氣洗滌設備的進口污染濃度，

r =由已知的進口/出口對，計算所得到的質傳模數，

n =任意指定的洗滌區段數目。

此簡化的效率預測方程式(3-7)，可用來取代前述表 1 的迭代法，直接求算不同進 口濃度下，空氣洗滌除污設備的理論去除效率。