賽局運作例子

以下用一個例子來說明我們的賽局如何運作：

此賽局 ，感測器可不斷根據其它感測器的選擇決定是否改變策略。直到

圖 3.3 獨立時刻感測器排程賽局的運作例子(a)

如圖 3.3，有五個感測器 , , , ,A B C D E 和三個目標物 。我們假設每個感測器的

電量可供開啟一回合， 感測器為關閉狀

態。首先開啟第一個賽局 ，假設感測器依照下列順序進行決策，以下依序說明感測 器進行決策的結果。

 因 開啟可以覆蓋 ， 計算開啟與關閉的效用函數分別為

1, ,2 3

r r r

只需讓目標物滿足 1-Coverage需求，預設所有

1

D r₃ D



 和 0，所以 會a

選擇開啟。

 若 開啟可以覆蓋 ，但 會超過 1-Coverage 需求，故可得到 開啟與關閉的效 D

C

r r₂, ₃ r₃

C

用函數分別為



 和 0，所以a

C

會選擇開啟。

 若 B 開啟可以覆蓋r r₁, ₂，但 會超過 1-Coverage 需求，故可得到r₂ B 開啟與關閉的效 用函數分別為



 和 0，所以 B 會選擇開啟。 a

 若 A 開啟可以覆蓋r ，但₁ r 已滿足 1-Coverage，故可得到 A 開啟與關閉的效用函數₁

，所以

分別為

 a

和 0 A 會選擇關閉。

 E 與 A 的情況類似， E 覆蓋的目標物都已滿足 1-Coverage，所以 E 會選擇關閉。

A-off

B-on

C-on

D-on

r1

r2

E-off

r3

圖 3.4 獨立時刻感測器排程賽局的運作例子(b)

圖 3.4為進行至此的感測器決策狀態，到這裡為止賽局 尚未結束，因為還未達到₁ 納許平衡，所以我們重複進行賽局 。感測器決策如下： ₁

 因為 發現即使關閉， 覆蓋的目標物也會滿足 1-Coverage，所以 改變決策選擇 關閉。



C C C

A 和 E 不改變決策選擇關閉，因為即使開啟也不會得到較高的效用函數。

 B 和 D 不改變決策選擇開啟。

A-off 1-Coverage，所以感測器工作排程到此結束。

在上述例子中，可滿足目標物 1-Coverage 的感測器互斥集合有{ , }A C 、{ , }B D 、 與

{ }E { , }B C

現，{ ,

四組集合。這四組集合中，只需開啟一組即可滿足 1-Coverage }

00000

00101 1/3 1/3 1

01110 00110

1/4 鏈。在這之中有（00001）、（01010）、（10100）、（01100）四個absorbing state，分別代表

、{ ,B D 、{ ,A C}、{ ,B C 四種感測器集合開啟的狀態，而這四個狀態就是納許平衡。} 我們關注的是（01100）這個較差的狀態的機率，從初使狀態（00000）到（01100）總 共有五條路俓，計算如下：

 （00000）→（00100）→（01100）：1 1 1 5 3 15。

 （00000）→（01000）→（01100）：1 1 1 5 3 15。

 （00000）→（00010）→（00110）→（01110）→（01100）：1 1 1 1 1 5   4 3 2 120。

 （00000）→（10000）→（11000）→（11100）→（01100）：1 1 1 1 1 5   4 4 2 160。

 （00000）→（10000）→（11000）→（01000）→（01100）：1 1 1 1 1 5   4 4 3 240。 得到（00000）到（01100）的機率為 1 1 1 1 1

0.1521

1515120160240 ，我們可以利用 馬可夫鏈的一步轉換機率矩陣(One-step Transition Probability Matrix)來驗證是否正確。

圖 3.7 一步轉換機率矩陣

如圖 3.7，我們將馬可夫鏈由小至大編號後找出一步轉換機率矩陣 ， P 中第一列 第一行為（00000）移動一步到（00000）的機率、第一列第二行為（00000）移動一步 到（00001）的機率，以此類推算出整個 P 。系統一開始的狀態分佈機率表示為

P

 

p 0

， 從初始狀態移動

x

步在各狀態的機率為

^{p x}  

^{。我們可以利用}

   

p x    P^{x T}p 0 (3.3)

來計算

^{p x}  

^。我們把

^{p 0}  

^{定義為[1 0 0  0]T}，使用 MATLAB 進行計算發現

 

p x

在 後就會收斂致（00001）、（01010）、（10100）、（01100）這四個狀態，機率 分別為 0.5、0.175、0.1729、0.1521。其中（01100）狀態和我們所計算的機率是一樣的，

表示我們的結果正確，選到{ ,

x  5

B C 這個較差的狀態機率並不高。 }

依照我們的定義，若結束一個賽局後，被選中的感測器集合開啟到電源耗完，那麼

k-Coverage。

賽局理論中，並不是每種賽局都有納許平衡存在。這裡我們將證明幾件事，第一是我們

在文檔中 分散式無線感測器工作排程-使用賽局理論 (頁 29-34)