第二章 系統介紹與最佳化問題
第二節 車輛服務系統介紹
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圖 2-1、需求地點 𝑥 由路由策略指派至服務設施示意圖
(一) 𝝅𝟏 最鄰近設施路由（Routing-to-the-Nearest-Station）
這路由策略有最簡單的目標，有服務需求的車輛會選擇至距離最近的服務設施地 點（Solomon, 1987）。以下為此路由過程的表示方式：
𝑔𝑘(𝑥) = {1 , 若 𝑘 = arg min
k=1,… ,K‖𝑥 − 𝑆𝑘‖
0 , 其他 , 𝑘 = 1, … , 𝐾 根據服務需求地點 𝑥 ∈ ℛ 路由至服務設施 𝑆𝑘 的長期比例（long-term proportion）路 由機率可表示為：
𝑟𝑘 = 𝐸[𝑔𝑘(𝑋)] = ∫ 𝑔𝑘(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑥𝜖ℛ
其中 ∑𝐾𝑘=1𝑟𝑘= 1 。例如設 𝐴𝑘(𝑡) 是在時間點 t 裡路由至服務設施 𝑆𝑘 的車輛數，
而 𝑥𝑖 是第 i 個服務需求地點，即我們可以寫成：
𝑟𝑘= lim
t→∞
∑𝐴𝑖=1𝑘(𝑡)𝑔𝑘(𝑥𝑖)
𝐴𝑘(𝑡)
當服務系統的觀察時間達到無限大，路由機率可以由 𝑟𝑘 表示。若一個 𝑥 ∈ ℛ 區域 的車輛服務系統採用 𝜋1 策略，而且 arg min
𝑘=1,…,𝐾‖𝑥 − 𝑆𝑘‖ ，則 存在一個路由策略：
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統的移動時間，我們相信 𝜋1 最鄰近設施路由（Routing-to-the-Nearest-Station）會提 供服務設施的最佳地點和配置。若同時考慮等待時間和服務時間，我們將會專注在 𝜋2‧ 國
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𝜇1+ 𝜇2+ ⋯ + 𝜇𝐾，而此最大需求量 𝜇1+ 𝜇2+ ⋯ + 𝜇𝐾 在排隊理論文獻中，又稱為最 大吞吐量(maximum throughput)。然而，在 𝜋2 策略下，設定已知的服務需求量與服 務量，任何滿足穩定條件的 (𝑟1(𝑥), 𝑟2(𝑥), … , 𝑟𝐾(𝑥)) 組合都適用於該服務系統，所以 我們將於第三章探討路由機率 𝑟𝑘(𝑥) , 𝑘 = 1, … , 𝐾 對服務系統的影響。
圖 2-2、車輛服務設施 𝑆𝑘 的排隊系統
車輛服務系統
經過以上介紹，我們更確定影響車輛服務系統運作的因素不單純是移動時間，而 是由服務供應商的服務量與服務地點，以及需要者的路由策略所綜合而成的複雜系統。
在一個區域 ℛ 中的車輛服務系統裡，設定車輛從產生需求至完成服務所花費的時間 為「車輛反應時間」：
車輛反應時間 = 移動時間 + 等待時間 + 服務時間 對於任何在區域的服務需求 𝑥 ，一輛車的反應時間可由以下公式表示：
𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒 = 𝑔𝑘(𝑥) ∙ (‖𝑥 − 𝑆𝑘‖
𝑣 + 𝑤𝑘+ 𝜎𝑘) , 𝑘 = 1, … , 𝐾
其中 ‖𝑔 − 𝑆𝑘‖ 是從需求位置移動至服務設施 k 的距離， 𝑣 是固定的移動速度，而
‖𝑥−𝑆𝑘‖
𝑣 表示平均移動時間， 𝑤𝑘 是服務設施 k 的平均等待時間，𝜎𝑘 是服務時間。接
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忙交通定理 （Borovkov 1965, Kingman 1965, Iglehart and Whitt 1970, Köllerström 1974），‧
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l C h engchi U ni ve rs it y 第三章 最佳化限制與問題
第一節 穩定性問題
在 𝐺𝐼/𝐺/𝜇𝑘 隊列簡介中，我們曾經提及到為了確保車輛服務系統穩定運作，不 符合穩定性條件的服務系統，將會延長車輛在隊列中等待的時間，若情況沒有改善，
則會造成「供不應求」的情形。依照第二章 𝐺𝐼/𝐺/𝜇𝑘 的說明，我們設定每個隊列都 有無限等候的空間，而服務量不足會造成電腦模擬結果發散，所以我們必須要系統穩 定性條件：
𝑟𝑘𝜆 < 𝜇𝑘 , ∀ 𝑘 其中 0 ≤ 𝑟𝑘≤ 1, 𝑘 = 1, … , 𝐾，以及 ∑𝐾𝑘=1𝑟𝑘 = 1 。表示對任何一種路由策略 𝜋，服 務需求量 𝜆 透過路由機率 𝑟𝑘 選擇服務設施後，必須要少於服務量 𝜇𝑘。例如在服務 區 域 ℛ ，已知服務需求總量 𝜆 = 5，設三個服務設施的服務量 (𝜇1, 𝜇2, 𝜇3) = (3, 2, 1) ， 採 用 𝜋2 隨 機 路 由策 略 ， 設 車 輛 服 務系統 的 路 由 機 率 (𝑟1, 𝑟2, 𝑟3) = (0.5, 0.33, 0.17)，對於三個 𝐺𝐼/𝐺/𝜇𝑘 , 𝑘 = 1,2,3 的隊列：
𝑟1𝜆 < 𝜇1 ⇒ 2.5 < 3 𝑟2𝜆 < 𝜇2 ⇒ 1.65 < 2 𝑟3𝜆 < 𝜇3 ⇒ 0.85 < 1 皆符合穩定性系統條件。
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合未知。固定 𝜋2 隨機路由策略的服務設施路由機率 (𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝐾)，在 M 個分割區 域 𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺𝑀 上配置 K 個服務設施地點 (𝑆1, 𝑆2, … , 𝑆𝐾) 與每個設施的服務量 (𝜇1, 𝜇2, … , 𝜇𝐾)。應用電腦模擬與簡易繁忙交通估計式，在所有服務設施地點與服務量 的可能組合中，尋找一組 (𝑆1, 𝑆2, … , 𝑆𝐾) 與 (𝜇1, 𝜇2, … , 𝜇𝐾) 使得 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) 最小的最佳設施配置。最後我們會探討來自不同隨機分配 Ϝ 的需求發生地點與服務 設施地點 (𝑆1, 𝑆2, … , 𝑆𝐾) 及服務量 (𝜇1, 𝜇2, … , 𝜇𝐾) 的關係。
最佳路由機率
在現實中服務設施地點 𝑆𝑘 與服務量 𝜇𝑘 都是車輛服務供應商抉擇，而每個服務 設施的路由機率 𝑟𝑘(𝑔̅𝑖) , ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑁 ，則會隨著駕駛對設施地點的選擇改變。為了 探討駕駛選擇對服務系統的影響，我們假設在服務區域 ℛ 中，建置固定的服務設施 地點 (𝑆1, 𝑆2, … , 𝑆𝐾)，而需求輸總量 𝜆 和每個設施的服務量 (𝜇1, 𝜇2, … , 𝜇𝐾) 已知。第 一，介紹區域分割方法，按照一般車輛在尋找服務設施的情形，把服務區域 ℛ 分割 為 M 個區域 𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺𝑀。第二，搜尋一組 (𝑟1(𝑥), 𝑟2(𝑥), … , 𝑟𝐾(𝑥)) ∀ 𝑥 ∈ 𝑅𝑖 使得 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) 最小的區域性路由機率，並比較區域性路由機率與路由機率。
隨機路由 vs. 最鄰近設施路由
對於路由策略 𝜋1 最鄰近設施路由（Routing-to-the-Nearest-Station）和 𝜋2 隨機 路由（Random Routing），如路由策略簡介所敘述，由於 𝜋1 最鄰近設施路由不符合 馬可夫路由（Markov routing），不適用於簡易繁忙交通估計式，需要改以電腦模擬計 算等候時間。在繁忙交通的車輛服務系統 𝜌𝑘 ⟶ 1 , ∀ 𝑘 = 1, … , 𝐾 中， 𝜋1 不能達到 最大吞吐量的特性，會讓系統無法正常運作。為了解決系統穩定性問題，我們將設計 一種需求地點的隨機分配 Ϝ ，確保 𝑟𝑘𝜆 < 𝜇𝑘 , ∀ 𝑘 = 1, … , 𝐾 穩定性條件成立。接著，
由電腦模擬估計 𝜋1 最鄰近設施路由的平均反應時間與 𝜋2 隨機路由的簡易繁忙交 通估計式進行比較。
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l C h engchi U ni ve rs it y 第四章 電腦模擬與分析
由於排隊模型通常非常複雜，未必可以提供運算結果，電腦模擬讓我們在簡單的 假設下，探索複雜系統的經驗。對於「設施位置」、「服務量組合與設施位置」和「隨 機路由vs. 最鄰近設施路由」的最佳化問題，我們設定服務區域 ℛ 邊界為 [0,3]，服 務供應商預計規劃三個服務設施與固定服務量 (𝜇1+ 𝜇2+ 𝜇3) = 6。依照區域 ℛ 分 割的個數 M ，服務設施地點 (S1, S2, S3) 放置於分割區域 (𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺𝑀) 的中心點。
另外，固定車輛移動速度 𝑣 = 1 。根據繁忙交通定理（Heavy-traffic limit theorems）
和穩定性條件：
𝜆∗< 𝜇1+ 𝜇2+ 𝜇3 = 6
我們假設服務需求車輛到達服務設施的間隔時間來自 τk~𝐼. 𝐼. 𝐷. 𝐸𝑥𝑝(𝜆∗) ，令服務系 統強度 𝜌𝑘 = 0.95 ∀ 𝑘 ，即需求總量 𝜆∗ = 5.7 符合穩定性條例和繁忙交通定理 (Heavy-traffic limit theorems)。為了探討不同需求地點隨機分配 Ϝ 的影響，我們在服 務區域 ℛ 裡，設計五種需求地點的隨機分配 (Ϝ1, Ϝ2, Ϝ3, Ϝ4, Ϝ5)，由以下散佈圖呈現：
圖 3-2、Ϝ2： 截斷型常態分配 圖 3-1、Ϝ1： 截斷型中心平移常態分配
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圖 3-5、Ϝ5： 均勻分配
圖 3-3、Ϝ3： 條件型均勻分配 圖 3-4、Ϝ4： 條件型均勻分配（非中心）
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圖4-1、Ϝ1 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖
圖4-2、Ϝ2 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖
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圖4-3、Ϝ3 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖
圖4-4、Ϝ4 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖
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會依照強度（intensity）𝜌𝑘 單調遞增（monotonically increasing）。接著，若存在 𝜆∗ > 0 ，即得 𝜆∗ < 𝜆 < (𝜇1+ 𝜇2+ ⋯ + 𝜇𝐾) ，則平均反應時間公式（17）的最小解
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成立，表示 𝜆∗ 存在，電腦模擬結果如圖 4-6 所示。
圖 4-6、尋找 𝜆∗ 的電腦模擬範例圖
由電腦模擬結果顯示在 𝜆 ≈ 5.9994 時，根據定理 1， |𝐸𝐿(𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒) − 𝐸𝐿∗(𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒)| > 𝐷 成立，且 𝜆∗ 存在。當服務系統強度將會 𝜌𝑘 ⟶ 1 ∀ 𝑘，表 示車輛服務系統非常擁擠，平均移動時間對公式（17）的影響力會以指數速度下降。
第二節 最佳服務量組合與設施位置
對服務供應商而言，在車輛服務系統建立服務量組合與設施位置都是複雜的問題。
在合理的假設下，本節提供同時搜尋最佳服務量組合與設施位置的範例，並探討需求 地點分配 Ϝ 對平均反應時間的影響。
搜尋最佳服務量組合與設施位置
在服務區域 ℛ 中分割九個區域 𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺9，假設需求輸入率 𝜆 = 5.7 與服務 量 總 和 ∑3𝑠=1𝜇3 = 6 ， 但 服 務 量 (𝜇1, 𝜇2, 𝜇3) 未 知 ， 設 服 務 量 組 合 為 𝐶𝑗 = (𝜇1, 𝜇2, 𝜇3) , 𝑗 = 1,2,3 ，其中包括：𝐶1 = (3, 2, 1) , 𝐶2 = (2, 2, 2) , 𝐶3 = (4, 1, 1)。
固定 𝜋2 隨機路由策略的服務系統路由機率 (𝑃1 = 0.5, 𝑃2 = 0.33, 𝑃3 = 0.17)。同時調 配三個服務設施地點 (𝑆1, 𝑆2, 𝑆3) 與服務量 (𝜇1, 𝜇2, 𝜇3) 的組合。經過電腦模擬與簡易 繁忙交通估計式，在所有服務設施地點及服務量的可能組合中，尋找一組 (𝑆1, 𝑆2, 𝑆3) 與 (𝜇1, 𝜇2, 𝜇3) 使得 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) 最小的最佳設施配置。並探討來自不同隨機
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分配 Ϝ 的需求發生地點與服務設施地點 (𝑆1, 𝑆2, 𝑆3) 及服務量 (𝜇1, 𝜇2, 𝜇3) 的關係。
搜尋 服務設施 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑
固定 服務量-C1 3 2 1
固定 服務量-C2 2 2 2
固定 服務量-C3 4 1 1
固定 路由機率 0.5 0.33 0.17
表 3、搜尋最佳設施位置與服務量配置表
由 圖 4-7 說 明 電 腦 模 擬 結 果 ， 從 左 至 右 為 需 求 地 點 的 隨 機 分 配 的 順 序 (Ϝ1, Ϝ2, Ϝ3, Ϝ4, Ϝ5)，每個需求地點隨機分配 Ϝ 都有三種服務量組合 (𝐶1, 𝐶2, 𝐶3) ，而 箱形圖由504 種不同設施地點組合的平均反應時間繪製而成。每個箱形圖的最小值對 應最佳設施位置，而每個需求分配 Ϝ 的最小值對應最佳服務量的配置，我們先對需 求地點隨機分配 Ϝ 中，不同服務量配置進行討論。如圖 4-7 所示 Ϝ1 是中心平移分 配，需求量集中在區域右上方，對於三種服務量 (𝐶1, 𝐶2, 𝐶3) 的最佳組合，最小平均 反應時間來自 𝐶3，表示若服務量堆疊在服務設施 𝑆1 上，似乎可以得到較小的平均 反應時間，這也說明在服務設施地點 𝑆2, 𝑆3 對平均反應時間的影響較小，同時服務設 施地點 𝑆2, 𝑆3 會依照電腦模擬車輛到達間隔時間 𝜏𝑘 產生變化，因此服務設施地點 𝑆2, 𝑆3 未必是唯一解。其他需求地點分配 Ϝ2, Ϝ3, Ϝ4, Ϝ5 都有相同情形，以 𝐶3 為最佳 服務量配置，而且三種服務量組合最小值的差異都比 Ϝ1 更明顯，其中 Ϝ2, Ϝ3 是兩 種中心對稱的分配（圖3-2, 3-3）差異最明顯， Ϝ4, Ϝ5 是均勻分配（圖 3-4, 3-5）差異 略少於 Ϝ2, Ϝ3。另外，在所有服務設施地點組合中，需求地點隨機分配 Ϝ1, Ϝ2, Ϝ3, Ϝ4, Ϝ5 的平均反應時間分散程度有所差異。對 Ϝ4, Ϝ5 均勻分配的需求地點，無論是何種服 務設施地點組合，最大和最小平均反應時間差異都明顯少於 Ϝ1 ，由此可見需求地點 的集中與偏態程度，都是最佳服務設施地點與服務量組合的主要因素。
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圖4-7、容量組合平均反應時間箱形圖
第三節 最佳路由機率
有別於服務設施地點與服務量，路由策略主要反映服務需求者的行為，而本節著 重於分析服務需求者對車輛服務系統的影響，包含路由機率 (𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝐾) , ∀ 𝑖 和區 域性路由機率，其中區域性路由機率 (𝑟1(𝑥), 𝑟2(𝑥), … , 𝑟𝐾(𝑥)) ∀ 𝑥 ∈ 𝐺𝑖 是對每一個區 域 𝐺𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑀 都採用不同的路由機率，我們認為相較於所有區域都設定相同的 路由機率，具有區域性的路由機率更符合實際情形，而當車輛屬於某個區域 𝐺𝑖 時，
路由機率有可能與需求地點至服務設施的距離相關。例如在區域 𝐺1 中心點上有服務 設施 𝑆1 ，透過區域性路由機率增加區域 𝐺1 指派至服務設備 𝑆1 的需求量，有可能 會減少從 𝐺1 動至其他服務設施區域的平均移動時間。然而，在複雜的車輛服務系統 中，無法直接證明相關性，我們將介紹另一種區域分割方式，並以電腦模範進行分析。
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區域切割簡介
在最佳服務設施地點問題裡，我們以方格式分割為九個區域 𝐺1, 𝐺2, … , 𝐺9 ，並 將服務設施設置於區域的中心點，如圖4-8 所示。這種分割方式能讓服務設施地點均 勻分佈在區域 ℛ 中，也能限制搜尋最佳服務設施地點的組合數，提升電腦模擬效率。
在第一節與第二節中 ， 我們假 設所有區域都有 相同的路由機率 (𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝐾) = (𝑟1(𝑥), 𝑟2(𝑥), … , 𝑟𝐾(𝑥)) ∀ 𝑥 ∈ 𝐺𝑖 , ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑀 ，而在搜尋最佳區域性路由機率問 題時，每一個區域都允許有不同的路由機率，我們將介紹一個比方格式分割更有意義 的方法。車輛在尋找服務設施時，通常會優先注意附近的服務設施地點，並經過各種 因素考量後作出選擇。因此，我們認為車輛在選擇服務設施時，容易受到距離較近的
在第一節與第二節中 ， 我們假 設所有區域都有 相同的路由機率 (𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝐾) = (𝑟1(𝑥), 𝑟2(𝑥), … , 𝑟𝐾(𝑥)) ∀ 𝑥 ∈ 𝐺𝑖 , ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑀 ，而在搜尋最佳區域性路由機率問 題時，每一個區域都允許有不同的路由機率，我們將介紹一個比方格式分割更有意義 的方法。車輛在尋找服務設施時，通常會優先注意附近的服務設施地點，並經過各種 因素考量後作出選擇。因此，我們認為車輛在選擇服務設施時，容易受到距離較近的