車輛服務系統設施之最佳地點和配置問題 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學統計學系研究所碩士學位論文. 車輛服務系統設施之最佳地點和配置問題 Optimal Location政 and Allocation of Facilities 治. 大. for 立 Vehicle Service Systems. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. i n U. v. engchi 指導教授：洪英超博士研究生：陸栢希撰. 中華民國一百零七年六月 DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(2) 摘. 要. 在一個有車輛服務需求的區域裡，服務供應商計畫尋找最佳服務設施地點和服務量配置以達成「供需平衡」的目標。為了讓服務供應商能提供充足的服務量，我們在服務需求量已知的情況下，假設需求地點與時間來自固定的隨機分配。接著，透過兩種路由策略說明車輛選擇服務設施地點的行為，對於服務設施地點和配置問題我們不只關心車輛移動至服務設施的移動時間，也探討與車輛選擇相關的等待時間和服務供. 政治大 1993）的假設下，本文提供綜合移動時間、等待時間和服務時間的估計方式，以電腦立. 應商設定的服務時間。最後，在馬可夫路由（Markov routing）和交通繁忙定理（Whitt,. ‧. ‧ 國. 學. 模擬結果分析服務設施地點和配置的最佳化問題。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. i. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(3) 目. 次. 第一章. 研究動機與目的 ....................................................................................... 1. 第二章. 系統介紹與最佳化問題 ........................................................................... 3. 第一節. 符號簡介 ................................................................................................... 3. 第二節. 車輛服務系統介紹 ................................................................................... 4. 第三章. 治政最佳化限制與問題 ................................................................................. 11 大立穩定性問題 ............................................................................................. 11. 第二節. 最佳化問題 ............................................................................................. 12. ‧ 國. ‧. y. sit er. io. 最佳設施位置 ......................................................................................... 16. al. n. 第一節. 電腦模擬與分析 ..................................................................................... 14. Nat. 第四章. 學. 第一節. Ch. engchi. i n U. v. 第二節. 最佳服務量組合與設施位置 ................................................................. 21. 第三節. 最佳路由機率 ......................................................................................... 23. 第四節. 隨機路由 vs. 最鄰近設施路由.............................................................. 33. 第五章. 結論與探討 ............................................................................................. 36. 參考文獻. ................................................................................................................. 38. ii. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(4) 圖目錄圖 2-1、需求地點 𝑥 由路由策略指派至服務設施示意圖...................................... 6 圖 2-2、車輛服務設施 𝑆𝑘 的排隊系統 .................................................................... 8 圖 3-1、Ϝ1 ：截斷型中心平移常態分配 ................................................................ 14 圖 3-2、Ϝ2 ：截斷型常態分配 ................................................................................ 14. 政治大. 圖 3-3、Ϝ3 ：條件型均勻分配 ................................................................................ 15. 立. 圖 3-4、Ϝ4 ：條件型均勻分配（非中心） ............................................................ 15. ‧ 國. 學. 圖 3-5、Ϝ5 ：均勻分配 ............................................................................................ 15. ‧. 圖 4-1、Ϝ1 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖 ................................ 17. io. sit. y. Nat. 圖 4-2、Ϝ2 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖 ................................ 17. er. 圖 4-3、Ϝ3 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖 ................................ 18. al. n. v i n Ch 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖 e n g c h i U ................................ 18. 圖 4-4、Ϝ4. 圖 4-5、Ϝ5 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖 ................................ 19 圖 4-6、尋找 𝜆∗ 的電腦模擬範例圖 ...................................................................... 21 圖 4-7、容量組合平均反應時間箱形圖 .................................................................. 23 圖 4-8、方格式區域分割示意圖 .............................................................................. 24 圖 4-9、最近距離邊界區域分割示意圖 .................................................................. 24 圖 4-10、Ϝ3 服務設施地點及區域分割示意圖 ...................................................... 25 iii. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(5) 圖 4-11、Ϝ1 服務設施地點及區域分割示意圖 ...................................................... 30 圖 4-12、需求地點混合型隨機分配 ........................................................................ 34 圖 4-13、車輛等待時間序列圖 ................................................................................ 34. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. iv. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(6) 表格目錄表 1、符號對照表 ....................................................................................................... 3 表 2、搜尋最佳設施位置配置表 ............................................................................. 16 表 3、搜尋最佳設施位置與服務量配置表 ............................................................. 22 表 4、𝐹3 服務量組合<1> ......................................................................................... 26. 政治大. 表 5、𝐹3 區域性路由機率<1> ................................................................................. 27. 立. 表 6、𝐹3 服務量組合<2> ......................................................................................... 28. ‧ 國. 學. 表 7、𝐹3 區域性路由機率<2> ................................................................................. 28. ‧. 表 8、𝐹3 服務量組合<3> ......................................................................................... 29. y. Nat. er. io. sit. 表 9、𝐹3 區域性路由機率<3> ................................................................................. 29 表 10、𝐹1 服務量組合<1> ....................................................................................... 31. al. n. v i n Ch 區域性路由機率<1> ............................................................................... 32 engchi U. 表 11、𝐹1. 表 12、𝐹1 服務量組合<2> ....................................................................................... 32 表 13、𝐹1 區域性路由機率<2> ............................................................................... 32 表 14、需求地點隨機分配設計配置表 ................................................................... 33. v. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(7) 第一章研究動機與目的汽車是最普及的陸上交通工具，廣泛應用於個人代步、服務業與運輸業等。根據臺灣交通部統計資料，臺灣每百人汽車數從 1988 年 10.5 輛上升至 2017 年 33.7 輛，由於所有車輛都要定期補充能源，常見的車輛能源包括汽油、柴油與電力，都需要加油站、充電站等設施補充燃料，面對持續上升且龐大的汽車需求量，車輛服務系統設施規劃非常重要。完善規劃車輛服務設施的地點與配置，可以節省供應商的管理成本、滿足駕駛需求和維持服務系統正常運作。一般服務供應商規劃車輛服務設施都會考慮. 政治大中的服務量，例如充電站內的充電器數量會影響配置結果。除此以外，駕駛對設施地立車輛的移動時間，這跟需求發生地點移動至服務設施位置的距離有關，同時服務設施. ‧ 國. 學. 點的選擇是複雜的過程，而在合理的情境下，駕駛都會選擇移動與等待總和時間最短的設施，這反映駕駛在接受服務以前願意等待的時間。因此，服務設施地點、設施服. ‧. 務量與駕駛選擇過程之間的交互作用，包括相關的需求發生地點配置都是重要的研究。. sit. y. Nat. 因為會影響駕駛選擇服務設施地點的因素非常多，本文引用車輛服務系統兩種有效路. er. io. 由策略，隨機路由（Random Routing）（Bertsimas & Simchi-Levi, 1996; Gendreau, Laporte. al. v i n Ch 假設駕駛選擇屬於固定的行為模式，也配合車輛服務系統的實際情形說明路由策略的 engchi U n. & Séguin, 1999）和最鄰近設施路由（Routing-to-the-Nearest-Station）（Solomon, 1987），. 差異。在複雜的車輛服務系統中，不論是車輛移動時間、等候時間或是服務時間，若要以電腦模擬計算，我們都必須要簡單的假設。預期在一個有車輛服務需求的區域裡，車輛服務需求地點和到達服務設施的間隔時間都來自隨機分配，設定一個需求總量，讓服務供應商可以配置服務設施地點和足夠的服務量，達成「供需平衡」的目標。接著，若需求發生地點、時間和選擇都屬於隨機分配，則符合馬可夫路由（Markov routing）的假設，而每一個服務設施可以表示為 𝐺𝐼/𝐺/𝜇𝑘 隊列（queue）。另外，當需求總量和總服務量相近時，車輛服務系統會發生的擁擠情形，造成服務系統無法正常運作， 1. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(8) 在總服務量必須大於需求總量的「穩定性」下，本文引用繁忙交通定理（Heavy-traffic limit theorems）（Whitt, 1993），簡化估計車輛服務系統的車輛等待時間，並以電腦模擬估計移動時間、等待服務時間和服務時間組成的平均反應時間（Expected-response time）。對於服務供應商所關心的服務設施規劃，我們將搜尋使平均反應時間最少的地點和配置，並歸類成以下四種最佳化問題：最佳服務設施位置、最佳服務量組合與設施位置、最佳路由機率和隨機路由 vs. 最鄰近設施路由。在下一個章節，我們將詳細介紹車輛服務系統裡所有的元素，包括服務系統區域、服務需求、設施地點和配置、路由策略和平均反應時間估計式。接著，第三章的穩定. 治政大問題。第四章是電腦模擬的分析結果，透過估計隨機分配需求地點的平均反應時間，立性與最佳化問題，我們會說明繁忙交通定理的限制式以及簡介車輛服務系統的最佳化. 評論不同設施地點和配置之間的關係。最後，第五章，我們綜合所有章節的討論，檢. ‧ 國. 學. 視平均反應時間估計式的效能和限制，並提出相關的建議與實務應用。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 2. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(9) 第二章系統介紹與最佳化問題第一節. 符號簡介. 符號. 定義. i. 區域或區塊分割數量 𝑖 ∈ (1, 2, … , 𝑀, 𝑀 + 1, … , 𝑁). k. 車輛服務系統設施數量 𝑘 = 1, 2, … , 𝐾. ℛ. 車輛服務區域. 𝜆. 服務需求總量. Ϝ. 區域服務需求地點-隨機分配. 𝑓(ℛ). 區域服務需求地點-密度函數. Г. 第 k 車輛服務設施的到達間隔時間. 𝜇𝑘. ‧ 國. 學. 𝜏𝑘. 政治大車輛到達間隔時間-隨機分配立. 𝜎𝑘. 第 k 車輛服務設施的車輛服務時間. 𝐶𝜎2𝑘. 第 k 車輛服務設施車輛服務時間的變異係數平方. 𝑔𝑖. 第 i 分割區塊 𝑔𝑖 ∈ ℛ , 𝑖 ∈ (1, 2, … , 𝑁). 𝑔̅𝑖. 第 i 分割區塊中心點. 𝜋. 路由策略. 𝑟𝑘. 第 k 車輛服務系統設施的路由機率. 𝑤𝑘. 平均車輛等待時間. 𝐺𝑖. 第 i 分割區域 𝐺𝑖 ∈ ℛ , 𝑖 ∈ (1, 2, … , 𝑀). 第 k 車輛服務系統設施的平均服務量. sit. io. al. n. 𝑟𝑘 ∙𝜆 𝜇𝑘. y. Nat. 𝜌𝑘. 第 k 車輛服務設施地點. ‧. 𝑆𝑘. 車輛移動速度. er. 𝑣. Ch. engchi. i n U. v. 車輛服務設施強度 𝜌𝑘 ∈ (0,1). 𝐶𝜏2𝑘. 第 k 車輛服務設施到達間隔時間的變異係數平方. 𝑞𝑖. 第 i 區塊需求分配比例表 1、符號對照表. 3. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(10) 第二節車輛服務系統介紹服務系統區域、服務需求、設施地點和配置定義若要以電腦模擬解決車輛服務系統的地點和配置問題，我們需要把服務系統的現實情況按照不同面向做量化轉換，並利用適當的假設輔助估計。首先，我們定義服務供應商的服務覆蓋範圍，為一個固定的區域 ℛ ⊂ ℝ2 ，而車輛服務需求會隨機散佈在這個有界的幾何空間中。對於有服務需求（service request）的車輛總量、出現地點與頻繁，設 𝜆 為服務需求總量，服務需求地點服從隨機分配 Ϝ 與相應的密度函數 𝑓(ℛ)，以及車輛到達間隔時間 𝜏𝑘 則服從隨機分配 Г ，皆具有獨立且分配相同的假. 政治大. 設。其中需求總量（arrival rate）可以表示為：. 立. ‧ 國. 1 𝐸(Г). 學. 𝜆=. 在服務需求產生時，車輛駕駛將會選擇一個服務設施，並立即移動至該設施地點。. ‧. 接著，因為一般道路上有車速限制，我們假設每輛車移動至設施地點的速度（traveling. Nat. sit. y. speed） 𝑣 為常數，排除影響車輛速度的因素，以簡化計算的困難程度。然後，服務. n. al. er. io. 供應商要在區域 ℛ 內建置 K 個車輛服務設施（ station ），而服務設施地點. i n U. v. 𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝐾 是固定或由廠商配置。基於車輛能源裝置都有固定的容量，服務供應商. Ch. engchi. 可以依照各種需求調配服務比率（service rate），設所有服務設施 𝑆𝑘 , 𝑘 = 1, … , 𝐾 都有（service unit）服務量 𝜇𝑘 個單位，而每個服務量單位都對應一個服務比率等於 1 的服務器（charger），其中服務量表示為：服務比率 =. 已經服務的車輛數服務時間. 對於車輛服務的流程，服務設施 𝑆𝑘 能同時提供 𝜇𝑘 個並行（parallel）服務器進行服務，表示服務設施裡的所有服務器會在相同時間點裡，以服務比率 1 的速度提供服務。當需要服務的車輛個數大於服務量 𝜇𝑘，所有等待服務的車輛會排在隊伍中，以先到先服務（First-Come First-Served, FCFS）的規定接受服務，而且車輛完成服務 4. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(11) 會立即離開系統。為了測量服務系統穩定性，我們假設每個服務設施有無限的等待容量。此外，我們需要設每個服務器的服務時間（service time） σ𝑘 服從一個機率分配，這服務時間不必是獨立變數，而期望值表示為： 1 ≡ 1 , 𝑘 = 1, … , 𝐾 𝐸(𝜎𝑘 ) 在一般情況下，服務供應商能控制服務器的服務量，所以每輛車被服務的時間都可以是已知且固定。最後，我們假設服務時間的變異係數已知，表示為： 𝐶𝜎𝑘 =. √𝑉𝑎𝑟(𝜎𝑘 ) 𝐸(𝜎𝑘 ). 政治大. 由於 𝐸(𝜎𝑘 ) ≡ 1 , 𝑘 = 1, … , 𝐾，服務時間的變異係數 𝐶𝜎𝑘 = √𝑉𝑎𝑟(𝜎𝑘 )。最後，由於駕. 立. 駛選擇服務設施的過程非常複雜，我們會以路由策略 𝜋 （routing policy），作為車輛. ‧ 國. 學. 指派到區域 ℛ 的其中一個服務設施地點的準則，在介紹路由策略前，設每個服務設施 𝑆𝑘 的路由函數（routing function）：. ‧. 1 , 若車輛路由至服務設施地點 𝑆𝑘. , 𝑘 = 1, … , 𝐾. 0 , 其他. sit. y. Nat. 𝑔𝑘 (𝑥) = {. n. al. er. io. 路由策略簡介. Ch. i n U. v. 路由策略是服務需求車輛選擇服務設施的準則，反映現實中駕駛對服務設施的選. engchi. 擇習慣，每當區域中出現需求 𝑥 ∈ ℛ ，車輛便會依照路由策略被指派至一個服務設施，如圖 2-1 所示。然而，路由策略除了駕駛習慣外，也要注意需求量與服務量對車輛服務系統穩定性的影響，例如某一種路由策略，把所有車輛指派至同一個服務設施，而因為服務量不足導致服務系統不能正常運作。考慮一個近似「供需平衡」的情形，車輛服務系統的總服務量 𝜇1 + 𝜇2 + ⋯ + 𝜇𝐾 大於需求總量 𝜆，但兩者非常相近，在路由策略指派至 K 個服務設施後，每個服務設施 𝑆𝑘 的服務量 𝜇𝑘 仍然大於指派後需求量時，則稱為最大吞吐量（maximum-throughput）。由此可見，選擇適當的路由策略非常重要，而因應不同駕駛行為模式，我們將會介紹兩種常見的路由策略。. 5. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(12) 政治大. 圖 2-1、需求地點 𝑥 由路由策略指派至服務設施示意圖. 立. ‧ 國. 學. (一) 𝝅𝟏 最鄰近設施路由（Routing-to-the-Nearest-Station）. ‧. 這路由策略有最簡單的目標，有服務需求的車輛會選擇至距離最近的服務設施地. al. y , 𝑘 = 1, … , 𝐾. v i n Ch 路由至服務設施 proportion）路 i U e n g c𝑆𝑘h的長期比例（long-term. n. 根據服務需求地點 𝑥 ∈ ℛ. sit. io. 1 , 若 𝑘 = arg min ‖𝑥 − 𝑆𝑘 ‖ k=1,… ,K 𝑔𝑘 (𝑥) = { 0 , 其他. er. Nat. 點（Solomon, 1987）。以下為此路由過程的表示方式：. 由機率可表示為： 𝑟𝑘 = 𝐸[𝑔𝑘 (𝑋)] = ∫ 𝑔𝑘 (𝑥) ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑥𝜖ℛ. 其中 ∑𝐾 𝑘=1 𝑟𝑘 = 1 。例如設 𝐴𝑘 (𝑡) 是在時間點 t 裡路由至服務設施 𝑆𝑘 的車輛數，而 𝑥𝑖 是第 i 個服務需求地點，即我們可以寫成： 𝑘 (𝑡) ∑𝐴𝑖=1 𝑔𝑘 (𝑥𝑖 ) 𝑟𝑘 = lim t→∞ 𝐴𝑘 (𝑡). 當服務系統的觀察時間達到無限大，路由機率可以由 𝑟𝑘 表示。若一個 𝑥 ∈ ℛ 區域的車輛服務系統採用 𝜋1 策略，而且 arg min ‖𝑥 − 𝑆𝑘 ‖ ，則 𝑘=1,…,𝐾. 存在一個路由策略：. 6. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(13) 𝑔𝑘 (𝑥) = {. 1 , 若 𝑥 屬於某個區域 𝑅𝑘 0 , 其他. 此時 𝑟𝑘 為一個與機率無關的常數。因此 𝜋1 策略不是一個隨機過程，也不符合馬可夫路由（Markov routing）。實務上，例如全球定位系統（GPS）的路線規劃，車輛經常選擇或被導航至距離最近的服務設施，而這類系統不會事先考慮服務設施當下的擁擠狀況，所以 𝜋1 策略不能達到最大系統吞吐量。. (二) 𝝅𝟐 隨機路由（Random Routing）. 政治大制中，把車輛隨機分配至指定的服務設施。假設服務需求總量 𝜆 已知，對於所有需立. 這路由策略有系統穩定和最大吞吐量的特性，車輛會在每個服務設施的服務量限. ‧ 國. , 𝑘 = 1, … , 𝐾. ‧. 1 , 與路由機率 𝑟𝑘 (𝑥) 𝑔𝑘 (𝑥) = { 0 , 與路由機率 1 − 𝑟𝑘 (𝑥). 學. 求地點 𝑥 ∈ ℛ，此路由過程由以下方式表示：. sit. y. Nat. 其中 ∑𝐾 𝑘=1 𝑟𝑘 = 1 , ∀ 𝑘 。表示 𝜋2 策略是一個隨機過程，符合馬可夫路由（Markov. er. io. routing）。基於本文關心的不是車輛服務系統的吞吐量，如果是專注分析車輛服務系. al. v i n Ch 供服務設施的最佳地點和配置。若同時考慮等待時間和服務時間，我們將會專注在 engchi U n. 統的移動時間，我們相信 𝜋1 最鄰近設施路由（Routing-to-the-Nearest-Station）會提 𝜋2. 隨機路由（Random Routing）上介紹車輛服務系統。假設在 𝜋2 策略和車輛到達間隔時間服從獨立且分配相同假設的隨機分配 Г 條件下，每個服務設施都可以表示為 𝐺𝐼/𝐺/𝜇𝑘 ，其中 𝐺𝐼 是車輛到達間隔時間的分配 Г ， 𝐺 是服務時間的分配，而 𝜇𝑘 是服務設施裡的並行服務器數量，如圖 2-2 所示。由於路由策略有可能造成車輛服務系統「供不應求」的狀況，為了維持車輛服務系統穩定運作，我們必須要以下限制條件： 𝑟𝑘 𝜆 < 𝜇𝑘 , ∀ 𝑘 = 1, … , 𝐾 其中 ∑𝐾 𝑘=1 𝑟𝑘 = 1 。經由此系統穩定性條件，我們得到服務需求量最大上界為 𝜆 < 7. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(14) 𝜇1 + 𝜇2 + ⋯ + 𝜇𝐾，而此最大需求量 𝜇1 + 𝜇2 + ⋯ + 𝜇𝐾 在排隊理論文獻中，又稱為最大吞吐量(maximum throughput)。然而，在 𝜋2 策略下，設定已知的服務需求量與服務量，任何滿足穩定條件的 (𝑟1 (𝑥), 𝑟2 (𝑥), … , 𝑟𝐾 (𝑥)) 組合都適用於該服務系統，所以我們將於第三章探討路由機率 𝑟𝑘 (𝑥) , 𝑘 = 1, … , 𝐾 對服務系統的影響。. 學圖 2-2、車輛服務設施 𝑆𝑘 的排隊系統. ‧. ‧ 國. 立. 政治大. sit. y. Nat. io. er. 車輛服務系統. al. v i n Ch 是由服務供應商的服務量與服務地點，以及需要者的路由策略所綜合而成的複雜系統。 engchi U n. 經過以上介紹，我們更確定影響車輛服務系統運作的因素不單純是移動時間，而. 在一個區域 ℛ 中的車輛服務系統裡，設定車輛從產生需求至完成服務所花費的時間為「車輛反應時間」：車輛反應時間 = 移動時間 + 等待時間 + 服務時間對於任何在區域的服務需求 𝑥 ，一輛車的反應時間可由以下公式表示： 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒 = 𝑔𝑘 (𝑥) ∙ (. ‖𝑥 − 𝑆𝑘 ‖ + 𝑤𝑘 + 𝜎𝑘 ) 𝑣. , 𝑘 = 1, … , 𝐾. 其中 ‖𝑔 − 𝑆𝑘 ‖ 是從需求位置移動至服務設施 k 的距離， 𝑣 是固定的移動速度，而 ‖𝑥−𝑆𝑘 ‖ 𝑣. 表示平均移動時間， 𝑤𝑘 是服務設施 k 的平均等待時間，𝜎𝑘 是服務時間。接 8. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(15) 著，我們關心如何解決實務上的困難，利用平均車輛反應時間： 𝐾. 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) = ∫. [∑ 𝑘=1. 𝑥𝜖ℛ. 𝑟𝑘 (𝑥) ∙ (. ‖𝑥 − 𝑆𝑘 ‖ + 𝐸(𝑤𝑘 ) + 1)] 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑣. 其中服務需求地點分配 Ϝ 的密度函數 ∫𝑥𝜖ℛ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1 ， 𝑟𝑘 (𝑥) 是路由機率，常數項 1 是固定的服務時間。針對公式的用途，若任何服務設施地點與路由機率的配置，使得 min 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) 為最小平均車輛反應時間，即是車輛服務系統的最佳配置。基於需求地點 𝑥 ∈ ℛ 是一個連續型變數，我們以均勻格子點分割整個服務區域 ℛ ，使用離散化方式近似連續區域，假設服務區域 ℛ 可以分割為 N 個區塊 𝑔1 , 𝑔2 , … , 𝑔𝑁 ，而 ℛ = ⋃𝑁 𝑖=1{𝑔𝑖 } 。我們得到平均車輛反應時間：. 政治‖̅ −大 𝑆 ‖ ∑ 𝑟 (̅ ) ∙ ( + 𝐸(𝑤 ) + 1). 𝑁. 立. 𝐾. 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) ≈ ∑. 𝑖=1. 𝑘=1. 𝑘 𝑔𝑖. 𝑔𝑖. 𝑘. 𝑘. 𝑣. ∙ 𝑞𝑖. ‧ 國. 學. 其中 𝑞𝑖 = ∫𝑥𝜖𝑔 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 是區塊 𝑔𝑖 的需求分配，‖𝑔𝑖 − 𝑆𝑘 ‖ ≈ ‖𝑔̅𝑖 − 𝑆𝑘 ‖ 定義從區塊 𝑖. ‧. 移動至服務設施 𝑆𝑘 的距離，而 𝑔̅𝑖 是區塊 𝑔𝑖 的中心點。以中心點 𝑔̅𝑖 取代 𝑔𝑖 的設定，唯有需求地點服從均勻分配或足夠的區塊數量 N ，才能保障估計的準確度。. y. Nat. io. sit. 因為平均等待時間 𝑤𝑘 同會時受到需求量、服務量與路由策略影響，是服務系統中最. n. al. er. 非常複雜的元素，我們引用交通繁忙（heavy-traffic）假設，如以下方程式所示：. i C𝑟𝑘h𝜆 ≲ 𝜇𝑘 , 𝑘 = 1, …U , 𝐾n engchi. v. 表示經由每個路由機率指派的需求量 𝑟𝑘 𝜆 皆少於或等價於服務量 𝜇𝑘。又可以寫成： 𝜆 ≲ 𝜇1 + 𝜇2 + ⋯ + 𝜇𝐾 表示需求總量 𝜆 與服務總量 𝜇1 + 𝜇2 + ⋯ + 𝜇𝐾 相近，且達到「供需平衡」的情形，這稱為交通繁忙（heavy-traffic）。一般服務供應商設定服務總量時，都會以提供需求者足夠的服務設施為目標，無論是設施建置、管理或維護等支出，限制在合理價格範圍內完成。「供需平衡」似乎是同時滿足需求者與保障服務供應商獲利的一種方式，表示交通繁忙是合理的假設。基於每一個服務設施 𝑆𝑘 都有 𝐺𝐼/𝐺/𝜇𝑘 隊列，根據繁忙交通定理（Borovkov 1965, Kingman 1965, Iglehart and Whitt 1970, Köllerström 1974）， 9. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(16) 平均等待時間 𝑤𝑘 適用簡易繁忙交通估計式(Simple heavy-traffic approximation)，由下列方程式表示： 𝐸(𝑤𝑘 ) ≈ 其中 𝜌𝑘 = √𝑉𝑎𝑟(𝜎 ). 𝑟𝑘 𝜆 𝜇𝑘. 𝐶𝜏2 + 𝐶𝜎2𝑘 1 𝜌𝑘 ( 𝑘 ) 𝜇𝑘 1 − 𝜌𝑘 2 √𝑉𝑎𝑟(𝜏 ). 2. , 0 < 𝜌𝑘 < 1 是服務系統強度（intensity），𝐶𝜏2𝑘 = [𝑀𝑒𝑎𝑛(𝜏𝑘 )] 和 𝐶𝜎2𝑘 = 𝑘. 2. [𝑀𝑒𝑎𝑛(𝜎𝑘 )] 分別為服務設施 𝑆𝑘 的到達間隔時間變異係數平方與服務時間變異係數 𝑘. 平方。根據服務時間的說明 𝐶𝜎2𝑘 是服務供應商控制的固定參數，而到達間隔時間 𝐶𝜏2𝑘 會受到路由策略 𝜋2 與服務設施地點 𝑆𝑘 的影響，實際上的 𝐶𝜏2𝑘 不容易取得。為了. 政治大下，負責分析最佳化問題的平均車輛反應時間為：立 𝑁. ‖𝑔̅𝑖 − 𝑆𝑘 ‖ 1 𝜌𝑘 𝐶𝜏2 + 𝐶𝜎2𝑘 𝑟𝑘 (𝑔̅𝑖 ) ∙ ( + ( 𝑘 ) + 1) ∙ 𝑞𝑖 𝑣 𝜇𝑘 1 − 𝜌𝑘 2 𝑘=1 𝐾. 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) ≈ ∑. ∑ 𝑖=1. 學. ‧ 國. 順利進行後續的分析，我們將採用電腦模擬估計 𝐶𝜏2𝑘 。此時，在繁忙交通定理支持. ‧. 此受限於 𝑟𝑘 𝜆 <≈ 𝜇𝑘 , ∀ 𝑘 = 1, … , 𝐾 以及 ∑𝐾 𝑘=1 𝑟𝑘 = 1 的穩定性條件。當服務設施裡的並行服務量 𝜇𝑘 ⟶ ∞ 與服務系統強度 𝜌𝑘 ≪ 1 , ∀ 𝑘 時，使用簡易繁忙交通估. y. Nat. n. er. io. al. sit. 計式的表現會很差（Whitt, 1993）。. Ch. engchi. i n U. v. 10. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(17) 第三章最佳化限制與問題第一節穩定性問題在 𝐺𝐼/𝐺/𝜇𝑘 隊列簡介中，我們曾經提及到為了確保車輛服務系統穩定運作，不符合穩定性條件的服務系統，將會延長車輛在隊列中等待的時間，若情況沒有改善，則會造成「供不應求」的情形。依照第二章 𝐺𝐼/𝐺/𝜇𝑘 的說明，我們設定每個隊列都有無限等候的空間，而服務量不足會造成電腦模擬結果發散，所以我們必須要系統穩定性條件：. 政治大 ≤ 1, 𝑘 = 1, … , 𝐾，以及 ∑ 𝑟 = 1 。表示對任何一種路由策略 𝜋，服立 𝑟𝑘 𝜆 < 𝜇𝑘 , ∀ 𝑘. 其中 0 ≤ 𝑟𝑘. 𝐾 𝑘=1 𝑘. ‧ 國. 學. 務需求量 𝜆 透過路由機率 𝑟𝑘 選擇服務設施後，必須要少於服務量 𝜇𝑘。例如在服務區域 ℛ ，已知服務需求總量 𝜆 = 5，設三個服務設施的服務量 (𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 ) =. n. al. 𝑟1 𝜆 < 𝜇1 ⇒ 2.5 < 3. er. io. sit. Nat. (0.5, 0.33, 0.17)，對於三個 𝐺𝐼/𝐺/𝜇𝑘 , 𝑘 = 1,2,3 的隊列：. y. ‧. (3, 2, 1) ，採用 𝜋2 隨機路由策略，設車輛服務系統的路由機率 (𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 ) =. C𝑟2h𝜆 < 𝜇2 ⇒ 1.65 < U2 n i engchi. v. 𝑟3 𝜆 < 𝜇3 ⇒ 0.85 < 1 皆符合穩定性系統條件。. 11. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(18) 第二節最佳化問題符合 𝐺𝐼/𝐺/𝜇𝑘 隊列的車輛服務系統，在隨機路由（Random Routing）、繁忙交通定理（Heavy-traffic limit theorems）和穩定性條件下，適用簡易繁忙交通估計式。對於任何服務設施的地點和配置問題，能讓車輛服務系統平均反應時間最小化： minimize. 𝑆1 ,…,𝑆𝐾 𝑔1 (𝑥),𝑔2 (𝑥),…,𝑔𝐾 (𝑥). 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒). 受限於 𝑟𝑘 𝜆 <≈ 𝜇𝑘 ∀ 𝑘. {. 其中 ∑𝐾 𝑘=1 𝑟𝑘 = 1。根據我們所關心的不同角色及應用，最佳化問題分為以下四種：. 立最佳設施位置. 政治大. ‧ 國. 學. 在服務區域 ℛ 中，對於服務供應商的設施位置規劃問題，我們假設需求總量 𝜆 和每個設施的服務量 (𝜇1 , 𝜇2 , … , 𝜇𝐾 ) 已知，固定 𝜋2 隨機路由策略的服務設施路由機. ‧. 率 (𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝐾 )。由於 N 個區塊 𝑔1 , 𝑔2 , … , 𝑔𝑁 有非常多設施地點組合，為了尋找最. Nat. sit. y. 佳設施位置，設定在 M 個面積較大的分割區域 𝐺1 , 𝐺2 , … , 𝐺𝑀 上配置 K 個服務設施. n. al. er. io. 地點 (𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝐾 ) ，其中 𝑁 > 𝑀 ≥ 𝐾。第一，應用電腦模擬與簡易繁忙交通估計式，. i n U. v. 在所有服務設施地點的可能組合 𝐶𝐾𝑀 × 𝐾! 中，尋找一組 (𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝐾 ) 使得. Ch. engchi. 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) 最小的最佳服務設施位置。同時我們會探討來自不同隨機分配 Ϝ 的需求發生地點與服務設施地點 (𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝐾 ) 的關係。第二，基於簡易繁忙交通估計式對服務系統強度（intensity）的敏感情形，我們在維持 𝜆∗ < 𝜇1 + 𝜇2 + ⋯ + 𝜇𝐾 穩定性條件下，固定總服務量並調整 𝜆 ，使需求總量近似總服務量 𝜆∗ ≈ 𝜇1 + 𝜇2 + ⋯ + 𝜇𝐾 ，最後由電腦模擬結果討論簡易繁忙交通估計式的變化。. 最佳服務量組合與設施位置在服務區域 ℛ 中，對於服務供應商的服務量組合與設施位置規劃問題，我們假設需求總量 𝜆 與總服務量 ∑3𝑘=1 𝜇𝑘 已知，但每個設施中的服務量 (𝜇1 , 𝜇2 , … , 𝜇𝐾 ) 組 12. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(19) 合未知。固定 𝜋2 隨機路由策略的服務設施路由機率 (𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝐾 )，在 M 個分割區域 𝐺1 , 𝐺2 , … , 𝐺𝑀 上配置 K 個服務設施地點 (𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝐾 ) 與每個設施的服務量 (𝜇1 , 𝜇2 , … , 𝜇𝐾 )。應用電腦模擬與簡易繁忙交通估計式，在所有服務設施地點與服務量的可能組合中，尋找一組 (𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝐾 ) 與 (𝜇1 , 𝜇2 , … , 𝜇𝐾 ) 使得 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) 最小的最佳設施配置。最後我們會探討來自不同隨機分配 Ϝ 的需求發生地點與服務設施地點 (𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝐾 ) 及服務量 (𝜇1 , 𝜇2 , … , 𝜇𝐾 ) 的關係。. 最佳路由機率. 政治大設施的路由機率 𝑟 ( ̅ ) , ∀立 𝑖 = 1, … , 𝑁 ，則會隨著駕駛對設施地點的選擇改變。為了. 在現實中服務設施地點 𝑆𝑘 與服務量 𝜇𝑘 都是車輛服務供應商抉擇，而每個服務 𝑘 𝑔𝑖. ‧ 國. 學. 探討駕駛選擇對服務系統的影響，我們假設在服務區域 ℛ 中，建置固定的服務設施地點 (𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝐾 )，而需求輸總量 𝜆 和每個設施的服務量 (𝜇1 , 𝜇2 , … , 𝜇𝐾 ) 已知。第. ‧. 一，介紹區域分割方法，按照一般車輛在尋找服務設施的情形，把服務區域 ℛ 分割. sit. y. Nat. 為 M 個區域 𝐺1 , 𝐺2 , … , 𝐺𝑀 。第二，搜尋一組 (𝑟1 (𝑥), 𝑟2 (𝑥), … , 𝑟𝐾 (𝑥)) ∀ 𝑥 ∈ 𝑅𝑖 使得. n. al. er. io. 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) 最小的區域性路由機率，並比較區域性路由機率與路由機率。. C. hengchi 隨機路由 vs. 最鄰近設施路由. i n U. v. 對於路由策略 𝜋1 最鄰近設施路由（Routing-to-the-Nearest-Station）和 𝜋2 隨機路由（Random Routing），如路由策略簡介所敘述，由於 𝜋1 最鄰近設施路由不符合馬可夫路由（Markov routing），不適用於簡易繁忙交通估計式，需要改以電腦模擬計算等候時間。在繁忙交通的車輛服務系統 𝜌𝑘 ⟶ 1 , ∀ 𝑘 = 1, … , 𝐾 中， 𝜋1 不能達到最大吞吐量的特性，會讓系統無法正常運作。為了解決系統穩定性問題，我們將設計一種需求地點的隨機分配 Ϝ ，確保 𝑟𝑘 𝜆 < 𝜇𝑘 , ∀ 𝑘 = 1, … , 𝐾 穩定性條件成立。接著，由電腦模擬估計 𝜋1 最鄰近設施路由的平均反應時間與 𝜋2 隨機路由的簡易繁忙交通估計式進行比較。 13. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(20) 第四章電腦模擬與分析由於排隊模型通常非常複雜，未必可以提供運算結果，電腦模擬讓我們在簡單的假設下，探索複雜系統的經驗。對於「設施位置」、「服務量組合與設施位置」和「隨機路由 vs. 最鄰近設施路由」的最佳化問題，我們設定服務區域 ℛ 邊界為 [0,3]，服務供應商預計規劃三個服務設施與固定服務量 (𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 ) = 6。依照區域 ℛ 分割的個數 M ，服務設施地點 (S1 , S2 , S3 ) 放置於分割區域 (𝐺1 , 𝐺2 , … , 𝐺𝑀 ) 的中心點。另外，固定車輛移動速度 𝑣 = 1 。根據繁忙交通定理（Heavy-traffic limit theorems）和穩定性條件：. 立. 政治大. 𝜆∗ < 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 = 6. 我們假設服務需求車輛到達服務設施的間隔時間來自 τk ~𝐼. 𝐼. 𝐷. 𝐸𝑥𝑝(𝜆∗ ) ，令服務系. ‧ 國. 學. 統強度 𝜌𝑘 = 0.95 ∀ 𝑘 ，即需求總量 𝜆∗ = 5.7 符合穩定性條例和繁忙交通定理. ‧. (Heavy-traffic limit theorems)。為了探討不同需求地點隨機分配 Ϝ 的影響，我們在服務區域 ℛ 裡，設計五種需求地點的隨機分配 (Ϝ1 , Ϝ2 , Ϝ3 , Ϝ4 , Ϝ5 )，由以下散佈圖呈現：. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 3-2、Ϝ2 ：截斷型常態分配. 圖 3-1、Ϝ1 ：截斷型中心平移常態分配. 14. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(21) 立. 圖 3-3、Ϝ3 ：條件型均勻分配. 政治大. 圖 3-4、Ϝ4 ：條件型均勻分配（非中心）. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 3-5、Ϝ5 ：均勻分配. 15. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(22) 第一節最佳設施位置搜尋最佳設施位置在服務區域 ℛ 中切割九個面積相同的方格分割區域 𝐺1 , 𝐺2 , … , 𝐺9 ，並放置三個服務設施，其服務量為 (𝜇1 = 3, 𝜇2 = 2, 𝜇3 = 1)，在 𝜋2 隨機路由策略下，服務系統路由機率 (𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 ) = (∑3. 𝜇1. 𝑘=1 𝜇𝑘. = 0.5, ∑3. 𝜇2. 𝑘=1 𝜇𝑘. = 0.33, ∑3. 𝜇3. 𝑘=1 𝜇𝑘. = 0.17)。應用簡易繁忙交. 通估計式，在所有服務設施地點共 𝐶39 × 3! = 504 種可能組合中，尋找一組 (𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 ) 使得 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) 最小的服務設施地點。. 搜尋服務設施. 立. 固定路由機率. 𝟏. 𝑺𝟑. 𝟐. 3. 2. 0.5. 0.33. 1. 學. ‧ 國. 固定服務量. 政 𝑺治大 𝑺. 0.17. 表 2、搜尋最佳設施位置配置表. ‧. y. Nat. 經過 100,000 個隨機需求地點的電腦模擬，最佳服務設施地點 (𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 ) 與各. er. io. sit. 組設施地點的平均反應時間，如以下圖 4-1 至圖 4-5 所示。從模擬結果可見，不同需求地點的隨機分配 Ϝ1 , Ϝ2 , Ϝ3 , Ϝ4 , Ϝ5 都存在 𝑚𝑖𝑛 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) 的最佳服務設施. al. n. v i n Ch 截斷型中心平移常態分配，需求量集中於服務區域的右上方，最 engchi U. 地點組合。例如 Ϝ1. 佳服務地點如圖 4-1 所示，其中服務量最高的 {𝑆1 , 𝜇1 = 3} 服務設施，剩下兩個設施都按照需求集中情形放置於區域右上方。觀察 Ϝ1 所有設施地點組合的平均反應時間箱形圖，最大與最小的平均反應時間差距，表示最佳設施地點組合與最差設施地點組合間平均反應時間的差異。其他需求地點隨機分配包括 Ϝ2 , Ϝ3 , Ϝ5 的最佳設施地點， 𝑆1 都放置在需求量最高的地點，不過 Ϝ4 需求地點的最佳設施地點， 𝑆1 則被放置在完全沒有服務需求的地點，如圖 4-4 所示。這反映車輛服務系統的平均反應時間，能綜合平均移動距離、平均等待時間與服務時間，並表現在最佳設施地點的結果中。. 16. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(23) 立. 政治大. 圖 4-1、Ϝ1 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 4-2、Ϝ2 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖. 17. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(24) 立. 政治大. 圖 4-3、Ϝ3 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 4-4、Ϝ4 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖. 18. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(25) 立. 政治大. 圖 4-5、Ϝ5 最佳車輛服務設施地點及平均反應時間箱形圖. ‧ 國. 學 ‧. 等候時間與設施位置. sit. y. Nat. 在系統介紹與最佳化問題討論中，我們提及當車輛服務系統符合馬可夫路由. al. er. io. （Markov routing）和穩定性條件，以繁忙交通定理解決最佳化問題，可得平均反應時. n. 間公式（17），設 𝐿∗ = (𝑆1 ∗ , 𝑆2 ∗ , … , 𝑆𝐾 ∗ ) 是最佳服務設施地點組合。. Ch. engchi. 定理 1. 設 𝜋2 隨機路由策略下，區域中有 N. iv n U 個服務需求相關的分割區塊. 𝑔=. {𝑔1 , 𝑔2 , … , 𝑔𝑁 } 與 M 個服務設施地點配置相關分割區域，即： 𝐿∗ = arg min𝐺 𝐸𝐿 (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒) 𝐿𝜖2 |𝐿|=𝐾. 𝑁. 𝑘. 𝐶𝜏2𝑘 + 𝐶𝜎2𝑘 1 𝜌𝑘 ≈ 𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑖𝑛𝐺 ∑ ∑ {𝑟𝑘 (𝑔̅𝑖 ) ∙ [ ( )] ∙ 𝑞𝑖 } 𝜇𝑘 1 − 𝜌𝑘 2 𝐿𝜖2 |𝐿|=𝐾 𝑖=1 𝑠=1. 對於任何服務設施 𝐿𝜖2𝐺 與 |𝐿| = 𝐾 ，我們假定每個服務設施 |𝐸𝐿 (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒) − 𝐸𝐿∗ (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒)| 會依照強度（intensity）𝜌𝑘 單調遞增（monotonically increasing）。接著，若存在 𝜆∗ > 0 ，即得 𝜆∗ < 𝜆 < (𝜇1 + 𝜇2 + ⋯ + 𝜇𝐾 ) ，則平均反應時間公式（17）的最小解 19. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(26) 相等於： 𝑁. 𝑘. 𝐶𝜏2𝑘 + 𝐶𝜎2𝑘 1 𝜌𝑘 𝐸(𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒) ≈ ∑ ∑ {𝑟𝑘 (𝑔̅𝑖 ) ∙ [ ( )] ∙ 𝑞𝑖 } 𝜇𝑘 1 − 𝜌𝑘 2 𝑖=1 𝑠=1. 證明設服務設施地點組合下的最小平均移動時間： 𝑁. 𝑘. ‖𝑔̅ − 𝑆𝑘 ‖ 𝐿 = arg min𝐺 𝐸𝐿 (𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑚𝑒) = 𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑖𝑛𝐺 ∑ ∑ {𝑟𝑘 (𝑔̅𝑖 ) ∙ [ 𝑖 ] ∙ 𝑞𝑖 } 𝐿𝜖2 𝑣 𝐿𝜖2 ′. |𝐿|=𝐾 𝑖=1 𝑠=1. |𝐿|=𝐾. 政治大. 另設：. |𝐸𝐿 (𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑚𝑒) − 𝐸𝐿′ (𝑟𝑎𝑣𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑚𝑒)| + 1 𝐷 = 𝑚𝑎𝑥 𝐺. 立. 𝐿𝜖2 |𝐿|=𝐾. ‧ 國. 𝑟𝑘 𝜆 𝜇𝑘. 不會影響 “ 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑚𝑒. ，（ ii ）我們預期每個服務設施. 學. 基於（ i ） 𝜌𝑘 =. |𝐸𝐿 (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒) − 𝐸𝐿∗ (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒)| 隨著 𝜌𝑘 遞增，以及（iii）𝐷 屬於確定性. ‧. （ deterministic ），因此，明確存在 0 < 𝜌𝑘 ∗ < 1 使得 |𝐸𝐿 (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒) −. y. Nat. 𝜇𝑘 𝑟𝑘. ∙ 𝑚𝑎𝑥{𝜌𝑘 ∗ } 即這. er. io. 證明完成。. sit. 𝐸𝐿∗ (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒)| > 𝐷 ，其中 𝜌𝑘 ∗ < 𝜌𝑘 < 1 。選擇一個 𝜆∗ =. al. n. v 2 i n 基於簡易繁忙交通估計式中的到達間隔時間變異係數 𝐶𝜏 ，衡量需求地點分配 Ch engchi U Ϝ 經過路由機率 𝑟 指派後的複雜變化，需要依靠電腦模擬計算。因此，我們將使用 𝑘. 𝑘. 電腦模擬範例搜找 𝜆∗ 。設需求地點分配 Ϝ~Ϝ1 截斷型有偏常態分配，在服務區域 ℛ 分割九個面積相同的方格區域 𝐺1 , 𝐺2 , … , 𝐺9 ，並放置三個服務設施，其服務量為 (𝜇1 = 3, 𝜇2 = 2, 𝜇3 = 1)，在 𝜋2 隨機路由策略下，服務系統路由機率 (𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 ) = 𝜇1. (∑3. 𝑠=1 𝜇𝑠. 𝜇2. = 0.5, ∑3. 𝜇3. 𝑠=1 𝜇𝑠. = 0.33, ∑3. 𝑠=1 𝜇𝑠. = 0.17)。然而尋求 𝐷 和 𝐸(𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒) ，相. 當於搜尋最佳設施地點組合 𝐿∗. 。我們將調整 𝜆 ，同時記錄 𝐷 與. |𝐸𝐿 (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒) − 𝐸𝐿∗ (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒)| 使得： |𝐸𝐿 (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒) − 𝐸𝐿∗ (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒)| > 𝐷 20. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(27) 成立，表示 𝜆∗ 存在，電腦模擬結果如圖 4-6 所示。. 圖 4-6、尋找 𝜆∗ 的電腦模擬範例圖. 政治大. 由電腦模擬結果顯示在 𝜆 ≈ 5.9994 時，根據定理 1， |𝐸𝐿 (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒) −. 立. 𝐸𝐿∗ (𝑤𝑎𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑚𝑒)| > 𝐷 成立，且 𝜆∗ 存在。當服務系統強度將會 𝜌𝑘 ⟶ 1 ∀ 𝑘，表. ‧ 國. 學. 示車輛服務系統非常擁擠，平均移動時間對公式（17）的影響力會以指數速度下降。. ‧. 第二節最佳服務量組合與設施位置. y. Nat. er. io. sit. 對服務供應商而言，在車輛服務系統建立服務量組合與設施位置都是複雜的問題。在合理的假設下，本節提供同時搜尋最佳服務量組合與設施位置的範例，並探討需求. n. al. Ch. 地點分配 Ϝ 對平均反應時間的影響。. engchi. i n U. v. 搜尋最佳服務量組合與設施位置在服務區域 ℛ 中分割九個區域 𝐺1 , 𝐺2 , … , 𝐺9 ，假設需求輸入率 𝜆 = 5.7 與服務量總和 ∑3𝑠=1 𝜇3 = 6 ，但服務量 (𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 ) 未知，設服務量組合為 𝐶𝑗 = (𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 ) , 𝑗 = 1,2,3 ，其中包括：𝐶1 = (3, 2, 1) , 𝐶2 = (2, 2, 2) , 𝐶3 = (4, 1, 1)。固定 𝜋2 隨機路由策略的服務系統路由機率 (𝑃1 = 0.5, 𝑃2 = 0.33, 𝑃3 = 0.17)。同時調配三個服務設施地點 (𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 ) 與服務量 (𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 ) 的組合。經過電腦模擬與簡易繁忙交通估計式，在所有服務設施地點及服務量的可能組合中，尋找一組 (𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 ) 與 (𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 ) 使得 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) 最小的最佳設施配置。並探討來自不同隨機 21. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(28) 分配 Ϝ 的需求發生地點與服務設施地點 (𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 ) 及服務量 (𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 ) 的關係。. 搜尋服務設施. 𝑺𝟏. 𝑺𝟐. 𝑺𝟑. 固定服務量-C1. 3. 2. 1. 固定服務量-C2. 2. 2. 2. 固定服務量-C3. 4. 1. 1. 固定路由機率. 0.5. 0.33. 0.17. 表 3、搜尋最佳設施位置與服務量配置表. 政治大 (Ϝ , Ϝ , Ϝ , Ϝ , Ϝ )，每個需求地點隨機分配 Ϝ 都有三種服務量組合 (𝐶 , 𝐶 , 𝐶 ) ，而立由圖 4-7 說明電腦模擬結果，從左至右為需求地點的隨機分配的順序. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 箱形圖由 504 種不同設施地點組合的平均反應時間繪製而成。每個箱形圖的最小值對. ‧ 國. 學. 應最佳設施位置，而每個需求分配 Ϝ 的最小值對應最佳服務量的配置，我們先對需. ‧. 求地點隨機分配 Ϝ 中，不同服務量配置進行討論。如圖 4-7 所示 Ϝ1 是中心平移分. y. Nat. 配，需求量集中在區域右上方，對於三種服務量 (𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 ) 的最佳組合，最小平均. er. io. sit. 反應時間來自 𝐶3 ，表示若服務量堆疊在服務設施 𝑆1 上，似乎可以得到較小的平均反應時間，這也說明在服務設施地點 𝑆2 , 𝑆3 對平均反應時間的影響較小，同時服務設. al. n. v i n Ch 會依照電腦模擬車輛到達間隔時間 𝜏 產生變化，因此服務設施地點 e n g c h i U𝑘. 施地點 𝑆2 , 𝑆3. 𝑆2 , 𝑆3 未必是唯一解。其他需求地點分配 Ϝ2 , Ϝ3 , Ϝ4 , Ϝ5 都有相同情形，以 𝐶3 為最佳服務量配置，而且三種服務量組合最小值的差異都比 Ϝ1 更明顯，其中 Ϝ2 , Ϝ3 是兩種中心對稱的分配（圖 3-2, 3-3）差異最明顯， Ϝ4 , Ϝ5 是均勻分配（圖 3-4, 3-5）差異略少於 Ϝ2 , Ϝ3。另外，在所有服務設施地點組合中，需求地點隨機分配 Ϝ1 , Ϝ2 , Ϝ3 , Ϝ4 , Ϝ5 的平均反應時間分散程度有所差異。對 Ϝ4 , Ϝ5 均勻分配的需求地點，無論是何種服務設施地點組合，最大和最小平均反應時間差異都明顯少於 Ϝ1 ，由此可見需求地點的集中與偏態程度，都是最佳服務設施地點與服務量組合的主要因素。. 22. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(29) 學圖 4-7、容量組合平均反應時間箱形圖. ‧. ‧ 國. 立. 政治大. y. Nat. er. io. sit. 第三節最佳路由機率. al. v i n Ch (𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝐾 ) , ∀ 𝑖 重於分析服務需求者對車輛服務系統的影響，包含路由機率 engchi U n. 有別於服務設施地點與服務量，路由策略主要反映服務需求者的行為，而本節著和區. 域性路由機率，其中區域性路由機率 (𝑟1 (𝑥), 𝑟2 (𝑥), … , 𝑟𝐾 (𝑥)) ∀ 𝑥 ∈ 𝐺𝑖 是對每一個區域 𝐺𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑀 都採用不同的路由機率，我們認為相較於所有區域都設定相同的路由機率，具有區域性的路由機率更符合實際情形，而當車輛屬於某個區域 𝐺𝑖 時，路由機率有可能與需求地點至服務設施的距離相關。例如在區域 𝐺1 中心點上有服務設施 𝑆1 ，透過區域性路由機率增加區域 𝐺1 指派至服務設備 𝑆1 的需求量，有可能會減少從 𝐺1 動至其他服務設施區域的平均移動時間。然而，在複雜的車輛服務系統中，無法直接證明相關性，我們將介紹另一種區域分割方式，並以電腦模範進行分析。. 23. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(30) 區域切割簡介在最佳服務設施地點問題裡，我們以方格式分割為九個區域 𝐺1 , 𝐺2 , … , 𝐺9 ，並將服務設施設置於區域的中心點，如圖 4-8 所示。這種分割方式能讓服務設施地點均勻分佈在區域 ℛ 中，也能限制搜尋最佳服務設施地點的組合數，提升電腦模擬效率。在第一節與第二節中，我們假設所有區域都有相同的路由機率 (𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝐾 ) = (𝑟1 (𝑥), 𝑟2 (𝑥), … , 𝑟𝐾 (𝑥)) ∀ 𝑥 ∈ 𝐺𝑖 , ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑀 ，而在搜尋最佳區域性路由機率問題時，每一個區域都允許有不同的路由機率，我們將介紹一個比方格式分割更有意義. 政治大因素考量後作出選擇。因此，我們認為車輛在選擇服務設施時，容易受到距離較近的立. 的方法。車輛在尋找服務設施時，通常會優先注意附近的服務設施地點，並經過各種. ‧ 國. 學. 服務設施影響，按照這種特性分割服務設施之間距離的邊界，又稱「最近距離邊界區域分割」，如圖 4-9 所示。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 4-9、最近距離邊界區域分割示意圖. 圖 4-8、方格式區域分割示意圖. 24. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(31) 搜尋最佳路由機率與最佳區域性路由機率假設服務供應商固定設施地點 (𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑆4 ) 和服務量 (𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇3 , 𝜇4 ) ，總服務量等於 ∑4𝑘=1 𝜇𝑘 = 20。設服務系統強度 𝜌 = (0.99, 0.9, 0.8)，以測量簡易繁忙交通估計式的表現。本節將分別對兩種需求分配，Ϝ3 條件型均勻分配和 Ϝ1 截斷型中心平移常態分配，使用最近距離邊界區域分割，把服務區域 ℛ 以最近距離邊界區域分割為四個區域 𝐺1 , 𝐺2 , 𝐺3 , 𝐺4 。另外，為加強平均移動時間的效果，設車輛移動速度 𝑣 = 0.33 。在 𝜋2. 隨機路由策略與穩定性條件下，搜尋一組. (𝑟1 (𝑥), 𝑟2 (𝑥), 𝑟3 (𝑥), 𝑟4 (𝑥)) ∀ 𝑥 ∈ 𝐺𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3, 4 使得 𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒) 最小的區域性路由機率。. 立. 政治大. ‧ 國. 學. (一) Ϝ𝟑 條件型均勻分配. 對於 Ϝ3 需求分配，我們在需求集中位置設定四個服務設施 (𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑆4 ) ，經. ‧. 過最近距離邊界區域分割，我們得到需求量相同的四個分割區域，如圖 4-10 所示。. sit. y. Nat. 接著，配置三種不同的服務量組合（參考表格 4, 6, 8），並搜尋相應的最佳區域性路. n. al. er. io. 由機率，最後由 100 次電服模擬的平均反應時間呈現於下以表格。. Ch. engchi. i n U. v. 圖 4-10、Ϝ3 服務設施地點及區域分割示意圖 25. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(32) 觀察表格 5,7,9 不論是何種服務量組合，最小平均反應時間都來自第一組區域性 (𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 , 𝑟4 ) = (𝑟1 (𝑥), 𝑟2 (𝑥), 𝑟3 (𝑥), 𝑟4 (𝑥)) ∀ 𝑥 ∈. 路由機率，相較於路由機率. 𝐺𝑖 , ∀ 𝑖 = 1,2,3,4 ，最佳區域性路由機率的平均反應時間有明顯更小，這是我們可以預期的結果。第一，根據最近距離邊界區域分割法，每個區域裡的需求與服務設施有最短的距離，把相同區域中的所有需求指派至最近的服務設施，將會使得平均移動時間最小。第二，在 𝜋2 隨機路由策略和穩定性條件下，讓服務系統同時達到最大吞吐量和維持正常運作。以服務量組合<1>為例，第一組區域性路由機率會把所有需求指. 治政大等的配置，區域性路由機率必須把部分需求分配至鄰近區域的服務設施，這也是在穩立派至最近的服務設施，確保平均移動時間最小。然而，由於服務量組合<2,3>不是均. 定性條件中表現最佳的平均移動時間。此外，從（Whitt, 1993）對簡易繁忙交通估計. ‧ 國. 學. 式的評價，我們設定的服務系統強度 𝜌 皆大於 0.8，而不同服務系統強度皆有一致的. ‧. 最佳區域性路由機率。最後，我們觀察較高的服務系統強度（例如：𝜌 = 0.99），因為繁忙交通會限制路由機率的搜尋範圍，在估計擁擠的區域性路由機率時，容易使得等. y. Nat. er. io. sit. 待時間迅速遞增，導致平均反應時間呈現發散狀態，本文所使用的簡易繁忙交通估計式改善了擁擠服務系統產生的收斂速度問題。. n. al. 服務設施. Ch. engchi. 𝑆1 5. 服務量. i n U. 𝑆2 5. v. 𝑆3 5. 𝑆4 5. 表 4、Ϝ3 服務量組合<1>. 區域性路由機率 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 𝑟1 (𝑥). 𝑟𝟐 (𝑥). 𝑟𝟑 (𝑥). 𝑟𝟒 (𝑥). 1 0 0. 0 1 0. 0 0 1. 0 0 0. 0. 0. 0. 1. 𝑚𝑒𝑎𝑛[𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒)]. 𝜌 = 0.99. 𝜌 = 0.90. 𝜌 = 0.80. 22.76. 4.74. 3.74. 26. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(33) 𝑟1 (𝑥). 𝑟𝟐 (𝑥). 𝑟𝟑 (𝑥). 𝑟𝟒 (𝑥). 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.95 0.02 0.01 0.02. 0.02 0.95 0.02 0.01. 0.01 0.02 0.95 0.02. 0.02 0.01 0.02. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.95 0.02 0.01 0.01. 0.02 0.95 0.02 0.02. 0.015 0.02 0.95 0.02. 0.015 0.01 0.02. 𝐺1. 0.95. 0.02. 0.01. 0.02. 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.02 0.02 0.02. 0.95 0.01 0.01. 0.01 0.95 0.02. 0.02 0.02. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.9 0.04 0.02 0.04. 0.04 0.9 0.04 0.02. 0.04 0.9 0.04. 0.02 0.04 0.9. 𝐺1 𝐺2. 0.9 0.04. 0.04 0.9. 0.035 0.02. 0.025 0.04. 𝐺3 𝐺4. 0.04 0.025. 0.02 0.035. 0.9 0.04. 0.04 0.9. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.8 0.07 0.06 0.07. 0.07 0.8 0.07 0.06. 0.06 0.07 0.8 0.07. 0.07 0.06 0.07. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.25 0.25 0.25 0.25. 0.25 0.25 0.25 0.25. 0.25 0.25 0.25 0.25. 0.25 0.25 0.25 0.25. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.253 0.251 0.245 0.251. 0.251 0.253 0.251 0.245. 𝜌 = 0.90. 𝜌 = 0.80. 22.87. 4.85. 3.84. 521.57. 4.87. 3.857. 1025.15. 4.88. 3.86. 23. 4.97. 3.96. 0.95. 0.95. 政 0.95治大 0.02 0.04. n. e n g0.8c h i. ‧. io. Ch. 學. 29.64. 5. 3.99. 5.21. 4.21. 6.542. 5.54. 6.533. 5.53. y. Nat. al. 𝜌 = 0.99. sit. 立. ‧ 國. 機率. 𝑚𝑒𝑎𝑛[𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒)]. er. 區域性路由. i n U. 23.24. v. 24.56. 0.245 0.251 0.251 0.245 24.58 0.253 0.251 0.251 0.253 表 5、Ϝ3 區域性路由機率<1>. 27. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(34) 服務設施. 𝑆1 8. 服務量. 𝑆2 2. 𝑆3 8. 𝑆4 2. 表 6、Ϝ3 服務量組合<2>. 區域性路由機率. 𝑟1 (𝑥). 𝑟𝟐 (𝑥). 𝑟𝟑 (𝑥). 𝑟𝟒 (𝑥). 𝐺1 𝐺2. 1 0.3. 0 0.4. 0 0. 0 0.3. 𝐺3 𝐺4. 0.3. 0. 0.4. 0.3. 0. 0. 0. 1. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.95 0.3025 0.045 0.3025. 0.005 0.395 0 0. 0.045 0.3025 0.95 0.3025. 0.005 0.395. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.95 0.3025 0.0425 0.3025. 0.0075 0.395 0 0. 0.0425 0.3025 0.95 0.3025. 0 0 0.0075 0.395. 99.63. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.4 0.4 0.4 0.4. 0.1 0.1 0.1 0.1. 0.1 0.1 0.1 0.1. 0.4 0.4 0.4 0.4. 24.51. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.405 0.4 0.395 0.4. n. 𝜌 = 0.80. 22.63. 5.05. 4.08. 0 政治大 0 22.78. 5.16. 4.18. 5.23. 4.19. 6.46. 5.46. 6.52. 5.48. Ch. engchi. y. sit. er. io. 𝜌 = 0.90. ‧. Nat. al. 𝜌 = 0.99. 學. ‧ 國. 立. 𝑚𝑒𝑎𝑛[𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒)]. i n U. v. 0.1 0.095 0.4 0.105 0.1 0.395 39.63 0.1 0.105 0.4 0.095 0.1 0.405 表 7、Ϝ3 區域性路由機率<2>. 28. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(35) 服務設施. 𝑆1 10. 服務量. 𝑆2 5. 𝑆3 3. 𝑆4 2. 表 8、Ϝ3 服務量組合<3>. 𝑟1 (𝑥). 𝑟𝟐 (𝑥). 𝑟𝟑 (𝑥). 𝑟𝟒 (𝑥). 𝐺1 𝐺2 𝐺3. 1 0.2 0.4. 0 0.7 0.1. 0 0.1 0.5. 0 0 0. 𝐺4. 0.4. 0.2. 0. 0.4. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.95 0.22 0.42 0.41. 0.03 0.65 0.11 0.21. 0.02 0.11 0.45 0.02. 0 0.02 0.02 0.36. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.97 0.22 0.42 0.41. 𝐺1. 0.5. 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.5 0.5 0.5. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 𝑚𝑒𝑎𝑛[𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒)] 𝜌 = 0.90. 𝜌 = 0.80. 22.77. 5.20. 4.23. 政治大23.01. 5.33. 4.36. 0.02 0.65 0.11 0.21. 0.01 0.11 0.45 0.02. 0 0.02 0.02 0.36. 5.26. 4.32. 0.25. 0.15. 0.1. 0.25 0.25 0.25. 0.15 0.15 0.15. 0.1 0.1 0.1. 6.29. 5.290. 0.5005 0.5 0.5 0.505. 0.25 0.2505 0.25 0.249. 0.1495 0.15 0.1505 0.15. 0.1 0.0995 0.0995 0.1005. 23.77. 6.28. 5.286. 𝐺1 𝐺2 𝐺3. 1 0.3 0.3. 0 0.6 0.2. 0 0.1 0.4. 0 0 0.1. 22.92. 5.34. 4.36. 𝐺4. 0.4. 0.2. 0.1. 0.3. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 1 0.4 0.3 0.3. 0 0.5 0.3 0.2. 5.55. 4.58. engchi. y. sit. io. Ch. 24.3. er. Nat. al. 536.77. ‧. ‧ 國. 立. 學. 𝜌 = 0.99. n. 區域性路由機率. i n U. v. 0 0 0.1 0 23.08 0.3 0.1 0.2 0.3 表 9、Ϝ3 區域性路由機率<3>. 29. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(36) (二) Ϝ𝟏 截斷型中心平移常態分配基於 Ϝ3 是中心對稱需求分配，我們也對 Ϝ1 需求分配搜尋最佳區域性機率，並嘗試比較兩者差異。我們調整服務設施 (𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑆4 )，在最近距離邊界區域分割後，確保每個區域都有與 Ϝ3 相同的需求量，如圖 4-11 所示。接著，配置三種不同的服務量組合（參考表格 10,12），並搜尋相應的最佳區域性路由機率，最後由 100 次電服模擬的平均反應時間呈現於下以表格。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. 圖 4-11、Ϝ1 服務設施地點及區域分割示意圖. n. al. Ch. engchi. i n U. v. 觀察表格 11,13，相當於 Ϝ3 不論是何種服務量組合，最小平均反應時間都來自第一組區域性路由機率，而且最佳區域性路由機率的平均反應時間都明顯少於路由機率 (𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 , 𝑟4 ) = (𝑟1 (𝑥), 𝑟2 (𝑥), 𝑟3 (𝑥), 𝑟4 (𝑥)) ∀ 𝑥 ∈ 𝐺𝑖 , ∀ 𝑖 = 1,2,3,4 。另外，由於路由機率假設所有區域的路由機率相等，忽略了不同區域和服務設施配置的因素，區域性路由機率更符合實務上的應用。由最佳路由機率的結果顯示，代表需求者行為的路由機率在複雜的車輛服務系統裡，扮演著重要的角色。. 30. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(37) 服務設施. 𝑆1 5. 服務量. 𝑆2 5. 𝑆3 5. 𝑆4 5. 表 10、Ϝ1 服務量組合<1> 區域性路由機率. 𝑟1 (𝑥). 𝑟𝟐 (𝑥). 𝑟𝟑 (𝑥). 𝑟𝟒 (𝑥). 𝑚𝑒𝑎𝑛[𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒)] 𝜌 = 0.99. 𝜌 = 0.90. 𝜌 = 0.80. 21.97. 4.28. 3.30. 22.06. 4.37. 3.390. 522.09. 4.393. 3.399. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 1 0 0. 0 1 0. 0 0 1. 0 0 0. 0. 0. 0. 1. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.95 0.02 0.01 0.02. 0.02 0.95 0.02 0.01. 0.01 0.02 0.95 0.02. 0.02 0.01 0.02. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.95 0.02 0.01 0.01. 0.02 0.95 0.02 0.02. 0.02 0.95 0.02. 0.01 0.02 0.95. 𝐺1 𝐺2. 0.95 0.02. 0.02 0.95. 0.01 0.01. 0.02 0.02. 𝐺3 𝐺4. 0.02 0.02. 0.01 0.01. 0.95 0.02. 0.02 0.95. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.9 0.04 0.02 0.04. 0.04 0.9 0.04 0.02. 0.02 0.04 0.9 0.04. 0.04 0.02 0.04 0.9. i n U. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.9 0.04 0.04 0.025. 0.04 0.9 0.02 0.035. 0.035 0.02 0.9 0.04. 0.025 0.04 0.04 0.9. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.8 0.07 0.06 0.07. 0.07 0.8 0.07 0.06. 0.06 0.07 0.8 0.07. 0.07 0.06 0.07. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.25 0.25 0.25 0.25. 0.25 0.25 0.25 0.25. 0.25 0.25 0.25 0.25. 0.25 0.25 0.25 0.25. n. engchi. 4.385. 3.390. 4.47. 3.486. 28.38. 4.48. 3.499. 22.37. 4.67. 3.690. 23.52. 5.769. 4.791. sit. y. 985.36. er. io. Ch. ‧. Nat. al. 學. ‧ 國. 立. 政 0.95治大 0.015 0.015. 22.13. v. 0.8. 31. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(38) 區域性路由機率 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 𝑟1 (𝑥). 𝑟𝟐 (𝑥). 0.253 0.251 0.245 0.251. 0.251 0.253 0.251 0.245 表. 服務設施. 𝑟𝟑 (𝑥). 𝑚𝑒𝑎𝑛[𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒)] 𝜌 = 0.99. 𝜌 = 0.90. 𝜌 = 0.80. 5.764. 4.783. 0.245 0.251 0.251 0.245 23.44 0.253 0.251 0.251 0.253 11、Ϝ1 區域性路由機率<1>. 𝑆1 8. 服務量. 𝑟𝟒 (𝑥). 𝑆2 2. 𝑆3 8. 𝑆4 2. 表 12、Ϝ1 服務量組合<2>. 𝑟𝟒 (𝑥). 0 0 0.4. 0 0.3 0.3. 0. 0. 0. 1. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.95 0.3025 0.045 0.3025. 0.005 0.395 0 0. 0.045 0.3025 0.95 0.3025. 0 0 0.005 0.395. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.95 0.3025 0.0425 0.3025. 0.0075 0.395 0 0. 0.95 0.3025. 0.0075 0.395. 𝐺1 𝐺2. 0.4 0.4. 0.1 0.1. 0.1 0.1. 0.4 0.4. 𝐺3 𝐺4. 0.4 0.4. 0.1 0.1. 0.1 0.1. 0.4 0.4. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 0.405 0.4 0.395 0.4. io. n. al. C0.0425 h e n g 0c h i 0.3025 0. 𝜌 = 0.80. 4.75. 3.77. 4.82. 3.84. 99.89. 4.89. 3.86. 23.44. 5.79. 4.81. 5.84. 4.82. 22.30. ‧. 0 0.4 0. 𝜌 = 0.90. 學. 1 0.3 0.3. Nat. 𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4. 𝜌 = 0.99. y. 𝑟𝟑 (𝑥). 22.37. sit. 𝑟𝟐 (𝑥). er. 立. 𝑟1 (𝑥). ‧ 國. 區域性路由機率. 政治大 𝑚𝑒𝑎𝑛[𝐸(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒)]. i n U. v. 0.1 0.095 0.4 0.105 0.1 0.395 38.439 0.1 0.105 0.4 0.095 0.1 0.405 表 13、Ϝ1 區域性路由機率<2> 32. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(39) 第四節隨機路由 vs. 最鄰近設施路由如路由策略簡介中提及採用不同路由策略時，要考慮該策略是否符合實際車輛路由情形。現實中，由於車輛經常缺乏服務設施資訊，例如：設施目前等候時間與服務器數量，甚至於正在前往車輛數等。讓車輛無法衡量該到達的服務設施，隨而使用服務設施地點，並選擇距離最近的設施，所以 𝜋1 最鄰近設施路由的確是最標準的策略。基於 𝜋1 策略不能達到最大吞吐量的特性，我們將設計一個需求地點隨機分配，應用電腦模擬估算平均反應時間。. 需求地點隨機分配設計政. 治. 立. 大. 在 𝜋1 最鄰近設施路由下，若要維持服務系統的穩定性，我們需要控制服務設計. ‧ 國. 學. 地點、服務量與需求地點分配。假設服務區域 ℛ ，存在車輛需求總量 𝜆∗ = 5.7，使用最近距離邊界區域分割為三個區域 𝐺1 , 𝐺2 , 𝐺3 ，並於中心點設置三個服務量為. ‧. (𝜇1 = 3, 𝜇2 = 2, 𝜇3 = 1) 的服務設施，如表格 8 所示。. n. 固定服務量. al. Ch. 𝐺1. e n g3 c h i U. 0.33. er. io. 固定服務設施. sit. y. Nat. 0.5. 固定路由機率（常數）. 𝐺 v2 i n 2. 0.17 𝐺3 1. 表 14、需求地點隨機分配設計配置表然後，在穩定性條件 𝑟𝑘 𝜆 < 𝜇𝑘 , 𝑘 = 1,2,3 的條件下，確保每個區域 𝐺𝑖 , 𝑖 = 1,2,3 的需求量符合 (𝑟1 = 0.5, 𝑟2 = 0.33, 𝑟3 = 0.17) 的比例，以下為混合型需求地點隨機分配設計的散佈圖：. 33. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(40) 圖 4-12、需求地點混合型隨機分配. 政治大此需求地點混合型隨機分配由立 (𝑟 = 0.5, 𝑟 = 0.33, 𝑟 = 0.17) 路由比例所組成，其中 1. 2. 3. ‧ 國. 我們便可以估算 𝜋1 最鄰近設施路由的平均反應時間。. 學. 區域 𝐺1 , 𝐺2 , 𝐺3 分別佔有需求總量約 (0.5, 0.33, 0.17) 倍。應用以上服務區域假設，. ‧. 平均反應時間模擬計算. y. Nat. sit. 因為 𝑟𝑘 , ∀ 𝑘 是一個與機率無關的常數。 𝜋1 策略不是一個隨機過程，也不符. n. al. er. io. 合馬可夫路由（Markov routing）。根據繁忙交通（heavy-traffic）定理中的條件，平均. i n U. v. 等待時間 𝑤𝑘 不適用簡易繁忙交通估計式。因此，我們將使用電腦模擬估算平均等待. Ch. 時間，模擬結果如圖 4-13 所示。. engchi. 圖 4-13、車輛等待時間序列圖 34. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(41) 依照每輛車進入時間為順序，繪製車輛等待時間的時間序列圖，有別於簡易繁忙交通估計式，電腦模擬需要排除早期進入服務系統的 20% 車輛，以確保平均等待時間沒有預熱效果的影響。另一方面，我們在 𝜋2 隨機路由策略下，設定路由機率 (𝑟1 = 0.5, 𝑟2 = 0.33, 𝑟3 = 0.17) 後，採用相同的服務設施與服務量等配置，應用簡易繁忙交通估計式計算平均反應時間。根據估算結果，𝜋1 最鄰近設施路由的平均反應時間為 9.82，𝜋2 隨機路由的平均反應時間為 11.9，顯示在相同的配置下， 𝜋1 策略的平均反應時間表現較佳。. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 路由策略應用比較. 經過特定的需求地點分配的範例， 𝜋1 最鄰近設施路由雖然有表現較好的平均反. ‧. 應時間，也在繁忙交通需求總量 𝜆∗ = 5.7 ，維持系統穩定運作。但是這個結果對需. sit. y. Nat. 求地點的變化相當敏感，例如假設區域 𝐺1 , 𝐺2 , 𝐺3 分別佔有需求總量約. er. io. (0.48, 0.34, 0.18) 倍時，則平均反應時間遞升 92.13，表示 𝜋1 策略只適用於特定的. al. v i n Ch 量比例，作為選擇不同設施地點的路由機率，雖然會延長平均移動時間，可是無論需 engchi U n. 需求分配與服務設施地點配置。相較之下 𝜋2 隨機路由策略依據每個服務設施的服務. 求地點分配與配置為何，只要符合穩定性條件，都可以估計平均反應時間。現實中，若要分析車輛挑選不同服務設施的因素，這是非常困難的任務，而我們解決最佳化問題時，應該選擇合理的假設。. 35. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(42) 第五章. 結論與探討. 本文以滿足車輛服務需求為目標，從需求端與服務供應商的關係，探討一個區域中車輛服務系統的運作方式。由於需求端與服務供應商對良好車輛服務系統的期待有所不同，例如需求端期待服務設施愈多愈方便，服務供應商期待服務設施或服務量愈少愈容易管理，而我們關心的是如何取得當中的平衡。這不只是需求量與服務量的「供需平衡」，包括服務設施地點、服務量配置和車輛選擇的習慣，都是影響車輛服務系統評價的因素。然而，我們引用合適假設和繁忙交通定理，結合車輛服務系統的平均移動時間、平均等待時間與平均服務時間，並提供解決各種最佳地點和配置的方法。. 政治大隔時間服從隨機分配，並固定每個服務設施的服務量與路由機率，估計不同服務設施立在最佳服務設施位置問題裡，我們假設需求量已知，需求地點分配與車輛到達間. ‧ 國. 學. 點的平均反應時間，並找出最佳服務設施地點。依照分析結果，服務設施地點與需求地點分配相關，對於集中程度高的需求地點分配，服務量較大的設施會建置於高需求. ‧. 量的區域，集中程度較低的分配，則建置於整個區域的中心點，以減少整體的平均移. sit. y. Nat. 動時間與平均等待時間。我們也加入不同的服務量組合配置，結果顯示需求地點偏態. io. er. 程度會降低服務量組合所影響平均反應時間，即便如此，我們仍然能得到至少一組最. al. v i n Ch 機率問題裡，我們固定每個服務設施的地點與服務量，模擬路由機率改變對服務系統 engchi U n. 佳服務設施地點和最佳服務量組合，解決服務供應商所面對的配置問題。在最佳路由. 的影響，其中加入區域性路由機率，研究鄰近服務設施的區域對路由機率的影響，而分析結果顯示，區域性路由機率可以顯著降低平均反應時間，提升車輛服務系統運作效能，並得到最佳區域性路由機率。由此可見，駕駛選擇是服務系統裡重要的影響因素，若服務供應商可以控制車輛選擇服務設施地點，例如提供服務設施地點的推薦系統，讓車輛掌握服務設施資訊，改變區域性路由機率，將能維持車輛服務系統的平衡。使用理論解決實務問題時，難以避免挑選選擇的假設與方法，而我們必須衡量理論和實務的吻合程度，例如我們以路由策略反映複雜的車輛行為。對於本文討論的理論方法，為了更加接合實務應用，我們提出三個改善與擴充的方向。第一，服務供應 36. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

(43) 商決定服務量時，需要事先獲得需求總量的訊息，由於需求總量會因應車輛數產生變化，任何車輛出售、車輛廢棄、使用頻率、有使用或未使用等的駕駛行為都會影響需求量，這是另一種與車輛服務系統穩定性相關的最佳化問題。因為服務供應商通常會在穩定性條件下，尋找最佳設施地點和配置，考慮每年車輛銷售量差異、車輛駕駛年齡分佈與固定的使用習慣，現實的車輛服務需求總量變化速度緩慢，適合固定且已知的假設。第二，本文簡化了車輛服務系統，使車輛移動速度為固定常數，基於車輛速度存在非常多影響因素，而一個隨機分配車輛移動速度會讓平均反應時間的計算更困難。第三，需求地點與需求量有可能跟隨時間產生變化，例如某城市裡的季節，上班. 治政大素，實際上，服務供應商尋找最佳的服務設施地點和配置時，潛在的周邊環境因素、立. 與下班時間等。在服務設施地點和配置的問題裡，平均反應時間只是其中一個關鍵因. 相關法規和建置成本都應該納入考量，而本文針對平均反應時間，提出一個有效解決. ‧ 國. 學. 設施地點和配置問題的量化分析方法。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 37. DOI:10.6814/THE.NCCU.STAT.009.2018.B03.

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