透過摺紙活動進行尺規作圖補救教學之成效

本研究透過摺紙課程對 3 位國三學生進行尺規作圖補救教學，對照三位學生 的前、後測表現，可以發現學生在教學後能熟練基本尺規作圖，知道作圖步驟所 應用的相關幾何知識，並且在解決應用作圖問題上大有進步。

綜合學生的前、後測與訪談資料，可以得知摺紙在以下五個層面幫助學生學 習尺規作圖：

一、摺紙動作幫助學生學習基本尺規作圖

補救教學課程採用 6 個摺紙動作，其中有 4 個動作分別對應到基本尺規作圖 中的「中垂線作圖」、「角平分線作圖」、「線外一點作垂線」以及「線上一點作垂 線」，在摺紙動作轉換為尺規作圖方法的過程中，學生連結摺痕與等腰三角形的 對稱性質，產生高層次的幾何思考，而非單純記憶作圖步驟。

二、摺紙作圖形成較深刻的學習經驗，能幫助學生理解基本作圖的功用 本課程所採用的 6 個動作均具有操作簡單且摺痕意義清楚的特色，學生每一 次使用摺紙動作摺疊紙張，便是在使用全等與對稱概念理解摺痕的幾何意義，透 過先摺紙作圖再尺規作圖的學習方式，學生對作圖的經驗更為深刻，在面對作圖 問題時，可提取相關的作圖經驗。

三、摺紙能幫助學生分析題目，檢測想法的正確性，找出正確的作圖步驟 本研究的研究對象為 3 名低學習成就學生，其幾何能力不佳，要求這些學生 直接思考草圖後產生正確的尺規作圖步驟是困難的。透過摺紙教學後，摺紙成為 學生思考作圖問題的一項工具，讓學生可以透過動作操作檢測想法的正確性，經 由摺紙作圖找出正確的作圖步驟。

相較於繪製草圖，摺紙有些時候更能幫助低學習成就學生解決作圖問題。因 為繪製草圖時，學生僅是快速地徒手畫出一個圖形，並未有機會思考圖形中點與 直線出現的先後次序，而利用摺紙作圖時，學生必須從一張空白的紙張開始，仔 細思考每一條直線要如何摺出，每完成一個摺紙動作後，均需再以紙張上已經存

有的摺痕為基礎，思索下一條摺痕的位置與需要使用哪一個摺紙動作，如此的作 圖過程能讓幫助學生一步一步找出正確的作圖步驟。

四、摺紙幫助學生聯想到圖形的對稱性質，提供不同的解題思路

當學生想要在紙張上特定位置摺出一條直線時，學生不只是機械式地摺疊紙 張，而是同時連結線對稱概念，而且摺紙動作轉換為尺規作圖方法時，亦是藉由 等腰三角形的對稱性，因此學生在多次使用摺紙動作後，在思考作圖問題時，將 能夠觀察圖形的對稱性，進而產生不同的解題思路。

五、摺紙能提升學生尺規作圖學習興趣，激勵學生思考作圖問題

在透過摺紙學習尺規作圖後，學生覺得此種學習方式十分有趣，表達出對透 過摺紙解決作圖問題的高度興趣。參與補救教學的學生在回到原班級後，主動向 班上其它同學描述上課內容，因此有其它學生對研究者說：「老師，聽說上課的 東西很有趣，為什麼只有他們幾個能去上，我們都不行？」。此外，研究者在教 學過程與訪談中發現，當學生利用摺紙解決一個作圖問題時，能獲得許多的成就 感，而且想要思考的不同作圖問題。

第三節 建議

一、教學上的建議

1.

在數學上，尺規作圖是指「利用直尺（沒有刻度）、圓規繪製幾何圖形」，一 般教師在教學時亦會強調不可以使用直尺的刻度進行測量的動作，然而學生可能

因此認為除了使用刻度之外，任何使用直尺的方法都是正確的，為了避免學生產 生此種錯誤認知，教師在教學時可以明確地告知學生，尺規作圖中僅能重複以下 三個動作：1. 利用直尺畫出通過兩點的直線；2. 利用直尺畫出連結兩點的線段 3. 利用圓規畫出以已知點為圓心，任意長為半徑的圓或弧。

2.

摺疊紙張所應用到的數學概念即是線對稱，透過摺紙學習等腰三角形的對稱 性質是十分直覺的，而且令人印象深刻。在教學上，可讓學生先學習摺紙動作，

再教導摺紙動作轉換成尺規作圖的方法。教導轉換方式時，可將摺紙動作所產生 的摺痕視為等腰三角形的對稱軸，轉換的目標即為畫出「虛擬」的等腰三角形，

如此一來可讓學生在作圖步驟與等腰三角形對稱性之間產生有意義的連結，而非 單純地記憶作圖步驟。

3.

透過摺紙解決作圖問題具有許多的優點，能夠提升學生尺規作圖學習興趣，

幫助學生分析題目，觀察圖形的線對稱性質，檢驗想法的正確性，最重要的是能 幫助學生找出正確的作圖步驟。由於摺紙動作十分簡單易學，相信學生能很快地 熟練摺紙動作，並且理解摺痕的幾何意義，在學生熟練摺紙動作後，接著可以提 供簡單的作圖問題讓學生利用摺紙解題，之後再將摺紙動作一一轉換成尺規作 圖。

二、後續研究的建議

本研究探討透過摺紙活動進行尺規作圖補教教學的成效，在國內屬於一個初 始發展的研究，尚有許多地方可以改進，在此研究者提出一些給後續研究者參考 的建議。

1. 國內缺乏尺規作圖實徵性研究，雖然本研究初步討論國中九年級學生尺規作 圖的學習表現，但是樣本數僅有 150 人，而且取自於大台北地區三所國中，

因此未來可以擴大樣本數，以及從不同地區選取不同的樣本進行研究。

2. 本研究透過摺紙對國三低學習成就學生進行補救教學，研究發現學生在「基 本作圖」與「應用作圖」兩方面均有明顯進步，但摺紙是否也能幫助中、高 學習成就學生學習尺規作圖，仍屬未知的答案。

3. 本研究中，研究者根據摺紙作圖理論，挑選 6 個摺紙動作進行教學，然而除 了此 6 個動作之外，可考慮挑選不同數量與摺法的摺紙動作，例如 Auckly 與 Cleveland(1995)所提出的 4 個最自然的摺紙動作，然而挑選動作時，必須 考量這些動作所形成的作圖能力是否與尺規作圖等價，每個動作是否能一一 轉換成尺規作圖作法。