探討國中三年級學生透過摺紙活動進行尺規作圖補救教學之成效
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(2) 研究者曾經在數學課堂上，要求國中三年級學生利用尺規作圖作出「以已知 線段 AB 為一邊的長方形」，很多學生的作法是直接將直尺擺放在 A 點之上，依 據視覺校準到直尺的邊看起來與 AB 互相垂直，接著用筆畫出直線，重複上述步 驟完成作圖。這些學生表示，雖然他們想畫出「通過 A 點且與 AB 垂直的直線」， 卻不知道如何利用直尺與圓規畫出垂直線。圖 1-1-1 為這些學生的作圖方式。. A. B. 圖 1-1-1 國三學生依據視覺校準畫出與 AB 垂直的直線. 由上述的例子可以看出，雖然該些學生擁有解題所需的幾何知識（知道長方 形的四個內角均為直角），但是卻因不熟練基本尺規作圖而無法完成作圖。 Kramer、Hadas 和 Hershkowitz(1986)指出，學生在思考尺規作圖問題時，必須分 析已知條件、幾何性質與「基本尺規作圖」之間的關係，作圖過程中則必須重複 地使用「基本尺規作圖」 。由此可知， 「基本尺規作圖」形成學生解決作圖問題的 一道門檻，學生若不熟練「基本尺規作圖」，便無法正確無誤地完成作圖；學生 若不知道「基本尺規作圖」能作出何種幾何物件，便無法分析題目，無形之中喪 失思考作圖問題的機會。 在研究者四年的國中教學經驗裡，曾經遇過不少無法熟練基本尺規作圖的學 生，尤其在低學習成就學生中比例甚高。然而這樣子的情形似乎不是特例，研究 者曾經詢問其它數學教師，他們亦表示有類似的經驗，此種情形令研究者開始深 思，是否有可以幫助這些低學習成就的學生學習尺規作圖的方法？. 2.
(3) 研究者嘗試以「尺規作圖」為關鍵字，在「全國博碩士論文資訊網」與「中 文期刊篇目索引影像系統」進行搜尋，結果僅有兩篇論文探討尺規作圖的學習。 此外，研究者翻閱國內外中學幾何教科書，發現不少編者以摺紙當作介紹「基本 尺規作圖」的媒介，例如 Serra(2003)先利用摺紙摺出一個角的平分線，再教導如 何利用直尺與圓規作圖，此種方式引發研究者一個想法，如果摺紙可以當作介紹. 「基本尺規作圖」的媒介，是否可以進一步幫助低學習成就學生學習尺規作圖？ 讓我們回頭看上述的長方形作圖問題，若讓學生嘗試利用摺紙摺出一個長方 形，則學生必須先設法摺出直角，亦即摺出兩條互相垂直的直線。如圖 1-1-2 所 示，假設紙張上已有一條直線，只需一個摺疊動作即可摺出與已知直線垂直的摺 痕，而且這個摺疊的動作是如此地簡單與直覺。當學生能摺出第一個直角，只需 重複類似的動作，可以輕易地摺出一個長方形。這時若能將摺紙步驟一一轉換成 尺規作圖作，則此作圖問題即可順利解決。. 圖 1-1-2 利用摺紙摺出直角. 由此可以看出，摺紙能幫助學生跨過「基本尺規作圖」的門檻，直接思考作 圖問題，而且摺紙有些時候甚至能提供解題者不同的解題思路，例如問題二： 「要 在△ABC 的三個邊上找出 D、E、F 三點，使得四邊形 BDEF 形成一個鳶形」， 使用摺紙解題只需一個動作（將 B 點摺至 AC 上），再應用鳶形的對稱性質，即 可發現所求的圖形。. 3.
(4) A. A. B. B. C. C. 圖 1-1-3 利用摺紙解決問題二的步驟. 關於低學習成就學生透過摺紙學習尺規作圖有兩種不同的看法，有些人認為 摺紙可以幫助學生跨過「基本尺規作圖」所形成的門檻，提供學生思考作圖問題 的機會；相反地，有些人認為摺紙動作並不容易操作，其所形成的圖形不夠精準， 而且紙張上的摺痕無法去除，學生若作圖錯誤將無修改的機會。此兩種看法目前 尚無定論，研究者因此興起探討透過摺紙進行尺規作圖教學成效的想法。依我個 人所知，雖然許多教科書透過摺紙作為「基本尺規作圖」教學媒介，但未曾有學 者利用摺紙進行尺規作圖教學，無法得知成效如何，因此研究者想編寫一個創新 性的課程，進行一個小型的教學實驗，以瞭解此種教學方式的成效與可行性。 因為研究者要設計透過摺紙學習尺規作圖的創新性課程，所以必須充份掌握 學生尺規作圖的困難所在，因此研究者先設計一個尺規作圖的評量工具，希望透 過大量施測，找出學生真正困難的所在，以協助研究者編寫實驗教學課程、教案 與學習單等。. 4.
(5) 第二節. 研究目的. 本研究希望透過大量施測，瞭解學生尺規作圖的學習表現，並編寫透過摺紙 活動進行尺規作圖補救教學的課程，進行教學實驗，以瞭解此種教學方式的成效 與可行性。研究目的有以下二個： （一）. 了解國中三年級學生尺規作圖的學習表現。. （二）. 探討國中三年級低學習成就學生透過摺紙活動作為尺規作圖補救 教學之成效。. 第三節. 研究問題. 依據研究目的，研究者提出下列研究問題： （一）. 國中三年級學生尺規作圖的學習表現如何？ 1.. 國中三年級學生是否理解尺規作圖的工具使用規定？. 2.. 國中三年級學生是否熟練基本尺規作圖與及理解作圖過程中所 應用的幾何性質？. 3.. 國中三年級學生是否能應用基本尺規作圖解決尺規作圖問題？. （二） 國中三年級低學習成就學生透過摺紙活動作為尺規作圖補救教學之成 效如何？ 1.. 接受「摺紙活動」補救教學後，學生基本尺規作圖表現是否有進步？. 2.. 接受「摺紙活動」補救教學後，學生應用基本尺規作圖解決尺規作 圖問題的表現是否有進步？. 3.. 接受「摺紙活動」補救教學後，學生尺規作圖學習興趣是否有提升？. 5.
(6) 第四節. 名詞界定. 一、低學習成就學生： 本研究中，研究者開發研究工具「尺規作圖試題」，在受試學生中，得分為 全體學生後四分之一的學生稱為低學習成就學生。. 二、基本尺規作圖： 關於基本尺規作圖包含哪些作圖，各學者與教科書編者的看法不同，國內九 年一貫課程綱要（教育部，民 92）中，能力指標「8-s-07 能熟練基本尺規作圖」 的說明如下： . 以尺規作圖做線段平分、角平分線、垂直線、中垂線、平行線。. . 垂直線：包含作一直角、過線上一點作垂線、過線外一點作垂線。. . 中垂線：在一線段上取中點，再由該中點上做該線段的垂直線。. . 平行線：過線外一點作垂線，再於垂線上一點作另一條垂線。. 研究者以能力指標 8-s-07 為依據，將「線段中垂線作圖」 、 「角平分線作圖」、 「線外一點作垂線」 、 「線上一點作垂線」與「線外一點作平行線」等五個作圖當 作基本尺規作圖。. 三、摺紙作圖 本研究中所指的摺紙作圖是指「利用 6 個特定的摺紙動作摺疊紙張、產生摺 痕的作圖方式」，6 個摺紙動作說明請參見第三章第三節。. 6.
(7) 第五節. 研究限制. 一、本研究第一部分研究對象為台北地區三所國中三年級學生共 150 名，本研究 第二部分研究對象為三名國中三年級低學習成就學生，並非隨機抽樣，研究 成果只能推論到對象背景相同的學生，不宜過度推論。 二、因為教學時數的限制，以及補救教學對象為低學習成就學生，研究者設計的 尺規作圖課程中所包含作圖問題，解題所需的幾何知識以九年一貫課程綱要 「幾何」主題為主。. 7.
(8) 第貳章 文獻探討 第一節. 尺規作圖. 一、國內尺規作圖相關研究 國內在尺規作圖方面缺乏實徵性研究，無法得知國中學生尺規作圖表現與學 習困難，亦缺乏對低學習成就學生進行補救教學的相關研究。研究者以「尺規作 圖」為關鍵字，在「全國博碩士論文資訊網」與「中文期刊篇目索引影像系統」 進行搜尋，結果僅有兩篇論文探討尺規作圖的學習，其中劉繕榜（民 88）探討 國中數學資優生尺規作圖表現，葉福進（民 94）討論學生利用三種不同工具進 行作圖時的表現。 劉繕榜（民 88）在學校正式教導幾何教材之前，提前對 21 位國中數學資優 生教導尺規作圖，觀察該群資優學生的作圖表現，以及作圖能力和幾何證明之間 的關聯性，其研究發現，資優學生的作圖錯誤原因可能來自基本概念錯誤或圖形 的錯誤引導，此外，學生的作圖表現與作圖後的證明達到統計上的顯著相關 葉福進（民 94）讓 10 位九年級學生利用三種不同類型的工具進行作圖，第 一種類型為使用具有刻度的直尺、三角板、量角器與圓規等工具作圖，第二種類 型為歐氏尺規作圖，第三種類型為利用 GSP 作圖，其研究發現，部分學生在歐 氏尺規作圖時，並無法以符合工具規定的方式作圖，反而是以視覺輔助作圖，或 是利用直尺的兩平行對邊作平行線。. 二、關於學習尺規作圖 在數學上，尺規作圖是指「利用直尺（沒有刻度） 、圓規繪製幾何圖形」 ，這 裡的圓規指的是現代的圓規，具有複製線段以及比較線段大小的功用。 8.
(9) Eves(1968)認為希臘人在二千多年所創造出來的尺規作圖，至今仍是最經典 的單人遊戲之一，然而歐里幾德所使用的圓規（以下簡稱歐氏圓規）與現代圓規 並不相同，此兩者的差異在於現代圓規具有「複製長度」的功能，也就是說現代 圓規在使用時，可先將針尖與筆尖分別放在 A、B 點上，當圓規離開紙面後，我 們仍認定針尖與筆尖的距離與 AB 相等，但歐氏圓規並非如此，它只要一離開紙 面，圓規的針尖與筆尖無法保持固定距離。Eve(1968)指出，雖然歐氏圓規無法 直接「複製長度」，但其作圖能力與現代圓規並無兩樣。 雖然尺規作圖長久以來為教科書內容之一，但是現行的教科書並未明確指出 一個完整的尺規作圖應該包含哪些部分，只強調不要求學生寫作出作法，而 Smart(1988)認為，在尺規作圖的學習中，任何作圖問題應該包含四個相異的步 驟：1.分析(analysis)，在此步驟中，解題者假設作圖已經完成，接著藉由分析該 圖形獲得圖形中未知元素與已知條件之間的關係；2.作圖(construction)，利用無 刻度直尺與圓規完成作圖，並且標記出適當的符號；3.證明(Proof)，解題者必須 證明作圖結果符合題目所要求的圖形；4.討論(Discussion)，在此步驟中討論與解 釋所有可能的解答與情形。Kramer、Hadas 與 Hershkowitz(1986)進一步指出，在 分析步驟中，學生必須找出已知條件、幾何性質與「基本尺規作圖」三者之間的 連結，並且在作圖步驟中重複地使用「基本尺規作圖」。因此，當學生無法克服 尺規作圖中工具所產生的技術性困難，無法熟練「基本尺規作圖」的話，將無法 解決作圖問題。 由於尺規作圖使用工具本身的特性，學生們在了解尺規作圖意義後，必須緊 接著學習一連串的「基本尺規作圖」後，才能開始嘗試作圖，Perks 與 Prestage (2006a, 2006b, 2006c)認為常見的「基本尺規作圖」，例如中垂線作圖、角平分線 作圖與從線外一點作垂線等作圖，彼此之間似乎沒有任何相關性，欲完成這些作 圖，靠的僅是記憶作圖步驟。他認學習這些作圖必須應用到菱形或鳶形的對稱性 質，而這兩個四邊形又可被視為是由兩個等腰三角形所組成，也因此學生可以僅 9.
(10) 學習等腰三角形的對稱性質，利用等腰三角形性質學習「基本尺規作圖」。 Lim(1997)指出，學生學習基本尺規作圖時，常常僅是機械式地記憶固定的 作圖步驟，而未能理解該作圖步驟所完成的圖形具有何種幾何性質特徵， Lim(1997)提出基本尺規作圖的三階段學習方式，第一階段為透過摺紙學習等腰 三角形的對稱性質，第二階段為透過等腰三角形學習菱形或鳶形的對角線性質， 第三階段為根據菱形或鳶形的對角線性質，建立基本尺規作圖的作圖程序，經由 此三階段的學習，將能提升學生對基本尺規作圖的理解，產生較高層次的思考。. 三、利用不同工具進行幾何作圖 有許多的學者認為，讓學生嘗試利用不同的工具解決作圖問題，能幫助學生 發展較高層次的思考，提升問題解決能力。Pandisico(2002)認為，讓學生使用多 種工具解決同一道作圖問題，將比使用單一種工具解決多道問題更能培育學生的 數學思考能力。他提供三類型作圖工具，讓學生利用這三類型工具嘗試發出指定 邊長的正三角形，其中第一種工具為半透明的美樂鏡(Mira)，它可以映照出線對 稱圖形；第二種為 3×5 英寸的卡片，可用來繪製直角與複製線段（可在卡片上作 記號）；第三種為具有一對平行邊的直尺，可用來繪製固定距離的平行線。 Wood(1993)認為，一些有限制情境的作圖問題能夠激發學生創造性思考與改 進問題解決的技巧，例如已知圓弧上一點 P，但是該弧的圓心位於不規則障礙物 中，無法求得圓心位置，在此情境下，嘗試畫出通過 P 點且與圓弧相切的直線。 Gibb(1982)認為，提供學生使用具有兩平行邊的直尺進行作圖的機會，將能 促使學生發揮創造力，提升學生寫出論證的能力。Gibb(1982)設計十個作圖任 務，讓學生利用具有兩平行邊的直尺進行作圖，這十個作圖分別是「角平分線作 圖」 、 「線段中垂線作圖」 、 「線上一點作垂線」 、 「線外一點作垂線」 、 「複製線段」、 「複製角」、「直線與單位圓的交點」、「直線與圓的交點」以及「兩圓交點」，但 Gibb(1982)亦指出，這十個作圖中，有些作圖需要應用到高中以上的幾何定理與 10.
(11) 性質，並不適合成為一般學生的學習題材。 Schoenfeld(1989)自 1979 到 1984 年之間，進行一系列高中與大學學生的訪 談，他讓學生嘗試解決下列尺規作圖問題：「已知兩條相交的直線，與直線上一 點 P，求作同時與兩直線相切的圓，且該圓與其中一條直線相切於 P 點。」結果 發現，有超過九成的學生經由重複試驗與嘗試錯誤的方式，重複地作圖，判斷作 圖是否正確的標則是，作圖結果從視覺經驗上看起來是否與題目所要求的圖形相 像。. 第二節. 摺紙在數學學習中的應用. 在教育改革潮流中，摺紙日漸受到重視數學教育家的重視，學生被鼓勵利用 日常生活物品（例如：紙張）探索幾何關係與詞彙(NCTM, 1989)，以及透過摺紙 了解線對稱及其它相關的數學概念(NCTM, 2000)。 在中小學數學課堂上，近年來摺紙被發現有助於許多數學概念的學習， Maida(2005)利用摺紙活動幫助 6 歲孩童發展對稱概念，Yuzawa, Bart, Kinne, Sukemune, & Kataoka(1999)研究發現，教導 4~6 歲的小孩將大張紙張摺疊成較小 的形狀，將有助其發展比較圖形大小的能力與策略，甚至只教導傳統紙鶴與紙船 的摺法，亦有類似的功效。 Empson 與 Turner(2006)發現，要求孩童重複對摺紙張，並在紙張未打開之 前，猜測紙張被等分成幾個區塊的活動，有助於孩童發展乘法思考；Sinicrope 與 Mick(1992)利用摺紙活動表徵分數乘法的算式。Pagni(2007)設計摺紙活動，讓 學生摺疊正方形紙張產生多種多邊形，討論多邊形與正方形紙張的面積比例。 Higginson 與 Colgan(2001) 設計結合數學與摺紙的課堂活動，指導八年級學 生利用同樣形狀的紙張摺出不同外形的紙盒，計算矩形紙張的面積與長方柱的體 積，從活動中學習幾何詞彙，探討摺紙過程與成品之間的關係，經由代數思維探 11.
(12) 討柱體體積公式。摺紙擁有令人印象深刻的潛能，能夠將寬廣的數學概念帶進生 活之中，當學習者能夠摺出一個成品，幾乎所有人都能獲得成就感。謝豐瑞（民 83）利用摺紙創造幾何圖形與驗證幾何性質。 McClintock(1997)認為，學生可以從解決一個好問題的過程中獲得深層的數 學理解，他教導學生利用三角形紙張摺成三角錐，討論三角形紙張的周長與三角 錐體積的關係，在動手操作中尋找答案，並由原問題產生更多好的問題 Cipoletti 與 Wilson(2004)認為，一般摺紙書籍中的摺紙說明並不利於數學上 的溝通，教師若想將摺紙活動帶入課堂之中，則需要重新改寫摺紙說明，盡可能 地利用幾何的詞彙取代日常生活用法，利用幾何名詞命名摺紙的完成品，例如將 「對摺平分(fold in half)」重新改寫為「沿著水平對稱軸對摺 (fold along the horizontal line of symmetry)」。 Pagni 與 Espinoza(2001)設計結合幾何、代數與極限概念的摺紙活動，讓學生 重複摺疊紙條，利用代數式表示角度，並討論多次摺疊後角度的近似值。 Scher(1996)認為，利用摺紙、動態幾何與證明等三階段方式教導圓錐曲線， 會比直接介紹其代數方程式更能幫助學生產生有意義的學習。Scher(1996)進一步 指出，任何的電腦幾何模型程式均無法取代動手操作過程中所獲得的喜悅感，而 且電腦操作的細節容易遺忘，摺紙動作令人印象深刻，而且學生如果擁有豐富的 實作經驗，將有助於幾何電腦模型發揮更大的學習功效。 Johnson(1957)在其著作《Paper folding for the mathematics class》中，採用二 個基本假設與四個摺紙動作，從如何在一張紙上摺出一條直線開始，藉由摺紙探 討中學幾何中常見的幾何性質，以及各類正多面體的平面展開圖，提供中學教師 將摺紙融入課堂的範例。 除了可以利用平面展開圖製作正多面體之外，Franco(1999)提出「單位摺紙 (unit origami)」想法，利用多張相同大小的色紙，按照相同的摺紙步驟摺出多個 12.
(13) 單位組件，再將所有組件組合在一起形成正多面體。Franco(1999)建議讓學生實 作完成每一個單位組件，並將其組合成各種正多面體，藉由觀察單位組件正多面 體模型，探討單位組件與正多面體之間的幾何關係。 隨著摺紙受到日漸重視，許多供教師研讀的數學教材均提供摺紙活動融入教 學的應用，Carter 與 Ferrucci(2003)調查美國 10 本供職前教師在教材教法課程使 用的教科書，發現書中共有 265 個摺紙（含剪紙與撕紙）活動，討論的主題以角、 三角形的性質與三維空間圖形最多，分數、平行線與畢氏定理最少。然而 Carter 與 Ferrucci(2003)發現各書籍之間並無統一的表達方式，甚至有些書本的表達方 式令人困惑難解。. 第三節. 摺紙作圖的數學理論. 摺紙作圖是指利用紙張的摺痕產生幾何圖形的作圖方式，當選擇適當的摺紙 動作，摺紙將可以「解決」所有尺規作圖問題，甚至「解決」古老的倍立方體問 題與任意三等分角(Hull, 1996)。 在繼續探討相關文獻之前，有必要先針對「解決尺規作圖問題」進行說明。 在摺紙作圖中，摺疊紙張所產生的摺痕視為一條直線，兩條不平行摺痕（直線） 交會處形成一個點，依據此種假設，摺紙作圖中的元素僅有直線與點，並無法摺 出圓弧或曲線。Yates(1949)指出，所有歐氏幾何作圖問題本質上均為尋找「所有 交點的相對位置」，當一個圓的圓心與圓上任一點位置確定，即可假想此圓已被 作圖完成。因此，在摺紙作圖中，若能利用摺痕確定一個作圖問題中所有交點的 相對位置，此作圖問題即被認定已被成功解決。 早在 19 世紀末，Row(1941)已開始討論如何利用摺紙進行作圖，Yates(1949) 建立摺紙作圖的基本假設，證明摺紙作圖可解決所有尺規作圖問題。著名的 Huzita-Hatori Axioms(HHA)於 20 世紀末提出，自此摺紙作圖跨越歐氏幾何作圖 13.
(14) 的作圖範圍限制，順利解決了「倍立方體」與「任意三等分角」問題。本節以下 分成五個小節，分別介紹摺紙作圖中，不同學者採用的基本假設與摺紙動作，以 及摺紙動作所具備的作圖能力。. 一、摺紙作圖的源起：Sundara Row Bogomolny(2009)指出，Sundara Row 是最早提出將摺紙視為幾何作圖工具想 法的人。Row(1893/1941)出版以印度文書寫的《Geometric exercises in paper folding》，在該書中，Row(1893/1941)從一張普通的紙張開始，討論矩形與正方 形的摺法，接著以正方形紙張為摺紙專用紙張，討論如何在正方形紙張上摺出各 種幾何圖形。除了各種三角形與正多邊形的摺法之外，Row(1893/1941)亦討論摺 紙與數列、圓周率、圓錐曲線等主題的關係，並宣稱摺紙可以任意三等分角，但 無法解決倍立方體問題。Martin(1997)檢驗其作法後發現，其三等分角的結果僅 為近似值。 雖然 Row(1893/1941)在書中提供大量的摺紙實例，說明可藉由摺紙作出《幾 何原本》前四冊所討論的正多邊形，但 Row 並未明確地提出摺紙作圖的基本假 設，也未定義摺紙作圖中可使用的動作。因為缺乏明確的基本假設與摺紙動作， Row 並未討論摺紙作圖與尺規作圖兩者之作圖能力的差別。. 二、摺紙作圖的系統化討論 Bogomolny(2009)與 Martin(1997, p.145)指出，Robert C. Yates 是第一個使用 嚴謹的數學證論方式討論摺紙作圖的人。Yates(1949)明確地定義摺紙作圖中可以 使用的 3 個動作（請見表 2-3-1） ，並且證明所有尺規作圖所能解決的作圖問題， 均可利用摺紙作出，然而 Yates(1949)並未討論如何利用尺規作圖作出摺紙動作所 產生的摺痕。. 14.
(15) 表 2-3-1 Yates(1949)所提出的 3 個摺紙動作 動作一：可將紙張上兩個已知點疊合，並且將紙張摺疊時所產生的摺痕（M） 視為一條直線。 A. A A (B) B. B. M. 動作二：可摺疊紙張，使得摺痕通過兩個相異已知點； M A. A. A. B. B. B. 動作三：可將紙上一點疊合到一條已知直線上，使得摺痕通過另一個已知 點。（此動作意指可讓摺痕通過第一個已知點） L B. L. M B. B. L. A A. A. Yates(1949)認為，所有尺規作圖本質上均在找尋所有交點的相對位置，而依 據工具使用規定，所有尺規作圖的交點僅可能經由以下三種情形產生：1. 兩條 直線、2. 一條直線與一圓、以及 3. 相交的兩個圓。因此，若能利用摺紙找出上 述三種情形的交點，即可證明所有尺規作圖所能完成的圖形，均可利用摺紙摺出。 很明顯地，Yates(1949)所提出的第二個摺紙動作即等同於利用直線畫出通過 兩已知點的直線，因此上述的情形 1 即可利用摺紙完成；情形 2 討論的是一條直 線與一圓的交點，如圖 2-3-1，己知直線 L 與以 OA 為半徑的圓 O，可利用動作 3 15.
(16) 將 A 點摺至 L 上，此時即可知道 X 點與 Y 點的位置。. Y. X. A. O. 圖 2-3-1 利用摺紙動作 3 作出一線與一圓的交點（引自 Yates, 1949, P. 63）. 情形 3 討論的是如何利用摺紙找出兩圓的交點，在以下的討論中，以符號 A(B)表示「以 A 點為圓心，而且通過 B 點的『虛擬』圓」 。在不失一般性的情況 下，假設有兩已知虛擬圓 O(A)與 O’(A’)，而且此兩圓的連心線長小於兩半徑和， Yates(1949)的摺法簡述如下： 步驟 1.. 摺出通過 O’與 A’兩點的直線 L1；. 步驟 2.. 利用動作三找出直線 L1 與 O’(A’)的交點，設此兩交點為 A’與 B；. 步驟 3.. 摺出通過 A 點且與直線 O’A’平行的直線 L2；. 步驟 4.. 利用動作三找出直線 L2 與 O(A)的交點，設此兩交點為 C 與 D；. 步驟 5.. 摺出通過 A’與 C 的直線 L3；. 步驟 6.. 摺出通過 O 與 O’的直線 L4，設 L3 與 L4 兩直線交於 E 點；. 步驟 7.. 摺出通過 D 與 E 的直線 L5；. 步驟 8.. 摺出通過 B 點且與 L3 垂直的直線 L6；. 步驟 9.. 摺出通過 C 點且與 L5 垂直的直線 L7，設 L6 與 L7 兩直線交於 F 點；. 步驟 10. 摺出通過 F 點且與 L4 垂直的直線 L8； 步驟 11. 利用動作三找出直線 L8 與 O(A)的交點，設此兩交點為 G 與 H。 G 與 H 即為 O(A)與 O’(A’)的交點。. 16.
(17) L1 A. C. A’ G O'. O. E. L5 L4 L3. H B. D. F L6 L7 L8 圖 2-3-2. Yates(1949)利用摺紙找出兩圓的交點. 雖然 Yates(1949)證明其所使用的 3 個動作可以解決所有尺規作圖問題，但若 細看情形 2 的論證，即可發現該證明不夠嚴謹之處。在 Yates 的摺紙作圖理論中， 僅有定義摺痕為直線與 3 個摺紙動作，並未詳細說明「點」如何產生，而上述情 形 2 的論證中，僅是利用動作 3 將 A 點摺至 L 上，當攤開紙張時，僅會產生通 過 O 點的摺痕，並無法明確找出 X 點與 Y 點的位置。 Johnson(1957)與 Olson(1975)進一步發展 Yates 的摺紙理論，定義出 4 個摺紙 動作與 2 個假設（請見表 2-3-2） ，但仍未討論如何利用尺規作圖作出摺紙動作所 產生的摺痕。. 17.
(18) 表 2-3-2 Johnson(1957)與 Olson(1975)的摺紙理論假設. 1.. 紙張摺疊後所產生的摺痕為一條直線。. 2.. 可摺疊紙張，使得摺痕通過一個或二個已知點。 M A. A. A. B. B. B. 可將同一紙張上的兩相異已知點重合。. 3.. A. A A (B) B. B. L. 可將紙上一點疊合到一條已知直線上，使得摺痕通過另一個已知點。. 4.. L. L. B. L. M B. B A. A. 5.. A. 可將同一紙張上的兩相異直線疊合。 L1. L1 L2. 6.. M. L1(L2). 當兩線段或兩角可以經摺紙而疊合時，此兩線段或兩角視為相等。. 18. L2.
(19) 三、Huzita’s Axioms 與 Huzita-Hatori Axioms Huzita(1991, 引自 Lang, 1996)提出 6 種產生單一摺痕（直線）的摺紙動作， 現今被稱為 Huzita’s Axioms(以下簡稱 HA)。若一張紙張上已有若干個已知點與 已知直線，可利用 HA 產生新的直線（摺痕），新的直線與原已知直線交會處可 產生新的點，重複使用 HA 將可解決所有尺規作圖問題(Lang, 2003)。HA 的說明 請見表 2-3-3。 Alperin(2000)重新檢視 HA，討論不同數量摺紙動作所具備的作圖能力，從 代數角度來看，當給定 0 與 1 兩個可建構的點（constructible point） ，HA 的前五 個動作能找出所有二次有理係數方程式的根，其作圖能力等價於歐氏尺規作圖； HA 的前六個動作能找出三次有理係數方程式的根，因此可解決「倍立方體」與 「任意三等分角」問題。 除了 HA 的 6 個動作之外，Hatori(2003, 引自 Lang，2003)提出第 7 個單一 摺痕（直線）的摺紙動作，動作說明請見表 2-4。Lang(2003)指出，Huzita 的 6 個動作與 Hatori 的動作 7 現今被稱為 Huzita-Hatori Axioms(以下簡稱 HHA)，相 較於 HA，雖然 HHA 多了一個動作，但作圖能力仍與 HA 相等。. 19.
(20) 表 2-3-3 Huzita’s Axioms Lf. P2. 動作 1：已知 P1 與 P2 兩點， P1. 可摺出通過此兩點的直線 Lf。. Lf. 動作 2：已知 P1 與 P2 兩點， 可摺疊紙張使得 P1 與 P2 重合。. P2 P1. L1. 動作 3：已知 L1 與 L2 兩直線， Lf. 可摺疊紙張使得 L1 與 L2 重合。. L2 Lf. 動作 4：已知一點 P1 與一直線 L1，. P1. 可摺出通過 P1 且與 L1 垂直的直線 Lf。 L1 動作 5：已知 P1 與 P2 兩點與一直線 L1，. L1. 可將 P1 摺至直線 L1 上，此時 摺痕 Lf 通過 P2。. Lf. P2 P1. L2. 動作 6：已知 P1 與 P2，L1 與 L2 兩直線， 可同時將 P1 摺至直線 L1 上、. L1. P2 摺至直線 L2 上。. Lf P1. 20. P2.
(21) 表 2-3-4 Hatori 的第七個摺紙動作 Lf. 動作 7：已知 P1 與 L1 與 L2 兩直線，可將 P1 摺至. L1. P1 直線 L1 上，此時摺痕 Lf 垂直 L2。 L2. 四、Auckly 與 Cleveland(1995)認為最自然的 4 種摺紙動作 雖然 HHA 的作圖能力於於尺規作圖，但其所採用的 7 個摺紙動作中，有些 動作卻顯得不夠直覺，並非一般人摺紙時會使用的動作，例如動作 6 必須同時將 兩個點分別摺至二條直線上。Auckly 與 Cleveland(1995)從矩形紙張出發，認為 一般摺紙中，最自然的摺法僅有下列四種，動作一至三請見圖 2-3-3，動作四請 見圖 2-3-4： 動作 1：摺出通過兩個 A、C 兩點的直線 L1 ； 動作 2：將 A、C 兩點重合產生直線 L2 ； 動作 3：將直線 BC 與 L2 重合產生直線 L3 ； 動作 4：此動作可分解成兩個步驟，先以直線 L4 為摺痕將紙張摺疊，接著在 紙張未攤開的情況下，摺出與直線 L5 重合的直線 L6 。. L2. A. B. L1. C D. L3 圖 2-3-3 Auckly 與 Cleveland(1995)的前三個動作. 21.
(22) L4. L5 L5. L4. L6 L4. L5. 圖 2-3-4 Auckly 與 Cleveland(1995)的第四個動作 Auckly 與 Cleveland(1995)以此 4 種摺法為出發點，由矩形紙張推廣到整個 歐氏平面，證明「所有的摺紙作圖均能利用無刻度的直尺與圓規完成，但反之則 不成立」，舉例來說，僅使用此四種摺紙並無法解決下列尺規作圖問題： 已知：線段 a 與線段 b 求作：直角△ABC，使得∠A=90°， BC a ， AC b. 五、結論 綜合上述四個小節，總共可以歸納出 8 種不同的摺紙動作，其中包含 HHA 的 7 個動作與 Auckly 與 Cleveland(1995)的第 4 個動作，若挑選合適的摺紙動作， 其所形成的作圖能力將能等同於尺規作圖。 雖然從理論上來說，摺紙動作所產生的摺痕能夠決定尺規作圖問題中所有點 的相對位置，然而實際摺紙時，有些摺紙動作卻不容易操作，例如在一般紙張上 操作 HHA 的第 5 個動作（已知紙上有 P1 與 P2 兩點與一直線 L1，將 P1 摺至直線 L1 上，使得摺痕 Lf 通過 P2。）時，視線會受到紙張不透明背面的阻擋，使得摺 痕不容易通過指定的點。 研究者發展補救教學課程時，除了根據摺紙作圖理論之外，亦考量學生實際 操作時所可能面臨的困難，最後發展出 6 個摺紙動作，其中包含一個「拿筆取點」 的動作。研究者將在第三章第三節介紹此 6 個動作，證明其所形成的作圖能力與 尺規作圖相等，並且說明每一個動作轉換成尺規作圖的作法。 22.
(23) 第參章 研究方法 本研究目的有二，第一為了解國中三年級學生尺規作圖的學習表現，第二為 探究低學習成就學生透過摺紙活動作為尺規作圖補救教學的成效，依據第一個目 的，研究者發展研究工具「尺規作圖試題」，挑選台北地區三所國中，共計 5 個 班 150 人進行施測。因為國內缺乏尺規作圖相關實證性研究，因此「尺規作圖試 題」修訂期間，研究者除了不定期與指導教授和研究團隊討論外，亦曾 6 次至台 北縣、市立圖書館自修室，隨機挑選國中三年級學生進行非正式施測與訪談，以 收集學生的尺規作圖表現資料。 本研究第二個研究目的，也是最主要的研究目的是探討國中三年級學生透過 摺紙活動進行尺規作圖補救教學之成效，研究者依據文獻中摺紙作圖的數學理 論，發展 6 個合適的摺紙動作，作為低學習成就學生學習尺規作圖的過渡性工 具，並且利用等腰三角形的對稱性質將摺紙動作轉換成尺規作圖作法。初版課程 於 98 年 2 月進行試教，對象為一名三年級低學習成就學生。正式教學時間為 98 年 4 月 27 日至 4 月 30 日，每天 1.5 小時，共計 6 小時，教學對象為 3 位國三低 學習成就學生。 本章以下部分將分成四個小節，依序介紹研究設計、研究對象、研究資源與 工具、研究步驟與過程。. 第一節. 研究設計. 研究者發展研究工具「尺規作圖試題」，待國三學生學習完所有國中幾何教 材後，進行大規模施測，利用量化分析以了解學生尺規作圖的學習表現，以作為 補教教學課程修訂參考。該試題分成三部分，分別為「a. 基本尺規作圖」 、 「b. 尺 規作圖概念」與「c. 應用尺規作圖」 ，其中「a. 基本尺規作圖」與「c. 應用尺規 23.
(24) 作圖」為作圖題，學生必須利用直尺與圓規完成作圖，保留作圖痕跡，但不需寫 出作法。 預試對象為台北地區三所公立國中，共計 5 個班 150 人。考量學生必需學習 過相關的幾何知識才能解答應用尺規作圖問題，因此施測時間訂為國三下學期 （98 年 4 月） ，此時學生已學習過所有國中幾何教材。施測時為了避免不同部分 試題影響學生作答表現，依照「a. 基本尺規作圖」、「b. 尺規作圖概念」、「c. 應 用尺規作圖」等順序施測，三部分測驗時間分別為 20、25 與 25 分鐘。 因為「尺規作圖測驗」總測驗時間長達 70 分鐘，超過一般國中一節課的時 間（45 分鐘） ，加上施測對象分佈在三所國中，無法統一測驗時間，因此研究者 配合施測班級導師與數學教師規劃，利用 1.5 節數學課或一個早自習再加一節數 學課時間，施測三部分試題。施測時研究者提供所有學生直尺與圓規，避免學生 因為忘了攜帶尺規而無法作圖。 在發展「尺規作圖試題」的同時，研究者設計透過摺紙活動進行尺規作圖補 救教學之課程，初版課程於 98 年 2 月完成後，研究者利用 98 年 2 月 20 日、2 月 23 日至 26 日晚上進行試教，每次上課時間約 80 分鐘，總計約 6.5 小時。教 學對象為北市某國中三年級一位男學生，其導師表示，該生學業表現不佳，班級 排名約在後百分之十。 在「尺規作圖試題」與補救教學課程皆發展完成後，研究者以「尺規作圖試 題」當作前測試題，挑選北市某國中三年級一個班級進行施測，並將該測驗成績 總分後四分之一的學生視為尺規作圖低學習成就學生。在與該班導師（任教數學 科）討論後，研究者從低學習成就學生中挑選 2 男 1 女，利用 98 年 4 月 27 日至 30 日等 4 天晚上 7:30~9:00 進行補救教學，接著於 98 年 5 月 1 日進行後測，後 測試題為尺規作圖試題的「a. 基本尺規作圖」與「c. 應用尺規作圖」，98 年 5 月 4 日進行訪談與填寫教學效果問卷。. 24.
(25) 研究者在試教、正式教學與訪談過程均全程錄影，研究者並邀請一位碩士班 學生協助教學觀察且課程記錄，該名碩士生本身為北市某國中數學教師，擁有 4 年的教學經驗。. 第二節. 研究對象. 本小節分二部分說明，第一部分為尺規作圖試題預試對象，第二部分為補救 教學對象。. 一、尺規作圖試題預試對象 研究者採用立意取樣，協商能夠配合施測時間（國三下學期）的學校及班級， 研究者原本預計施測 6 個國中，共計 12 個班級，但因施測日期接近基測，且施 驗時間共計 70 分鐘，最後僅有 3 個國中 5 個班級能配合施測，其中甲校的班級 B 有一位學生因故未施測第三部分，不列入計算，其餘施測人數請見表 3-2-1。 表 3-2-1 尺規作圖試題預試對象 學校 甲校 乙校 丙校 總計. 班級. 男. 女. 人數. A. 8. 22. 30. B. 19. 17. 36. C. 15. 13. 28. D. 12. 15. 27. E. 15. 14. 29. 5. 69. 81. 150. 甲校位於台北縣某捷運站附近，全校班級總數約 60 班，該年度三年級有 22 班，其中班級 A 為美術班，班上女學生人數遠多於男學生。乙校位於台北市市 政府附近，全校班級總數約 45 班，該年度三年級有 15 班。丙校位處台北縣郊區， 25.
(26) 為一所綜合高中附屬國中部，全校班級總數約 27 班，該年度三年級有 9 班。若 以國中基本學力測驗表現判斷，其中甲校整體表現在台北地區約為中上程度，乙 校約為中等程度，丙校約為中下程度。. 二、補救教學對象 本研究補救教學對象為國三低學習成就學生，研究者挑選北市某國中一個班 級，經班級導師（任教數學科）同意，全班施測尺規作圖測驗。研究者依據學生 測驗成績，將總分在後四分之一的學生視為低學習成就學生。研究者在試教時發 現，因為教學對象為低學習成就學生，其上課反應與解題速度皆較一般學生慢， 考量時間因素，以及為了能詳細記錄學生在補救教學中的成長，深入探討摺紙對 學生學習尺規作圖的成效，因此只從低學習成就學生中挑選 3 名學生。研究者先 與該班導師進行討論，了解學生數學學習態度與學業表現情形，經家長同意後， 最後決定 2 男 1 女進行補救教學。表 3-2-2 為該班級尺規作圖試題描述性統計， 表 3-2-3 為參與補救教學 3 位學生的前測成績。 表 3-2-2 正式施測班級的尺規作圖試題描述性統計 平均分數（標準差） 班. 人數. 級. (男，女). F. 37 (19，18). 基本尺規作圖. 尺規作圖概念. 應用尺規作圖. 總計. （總分 5 分）. （總分 16 分）. （總分 9.5 分）. （總分 30.5 分）. 3.8378 (1.3645). 10.7027 (3.2987). 5.1419 (3.2508). 19.6824 (6.9711). 表 3-2-3 參與補救教學 3 位學生的前測成績 學 生. 測驗分數 性別. 基本尺規作圖. 尺規作圖概念. 應用尺規作圖. 總計. （總分 5 分）. （總分 16 分）. （總分 9.5 分）. （總分 30.5 分）. S1. 男. 2. 6. 1. 9. S2. 男. 2. 10. 0.5. 12.5. S3. 女. 3. 10. 1.5. 14.5. 26.
(27) 該班導師指出，此 3 位學生平時學業成績不佳，班級排名均在後百分之十 五，對數學學習產生排斥，數學課堂上常無法跟上教師教學進度，平日數學作業 對他們而言有一定的難度，可以以此 3 位學生代表一般低學習成就學生。表 3-2-4 為此三位學生的基本資料。. 表 3-2-4 參與補救教學學生的基本資料 學生. S1. S2. S3. 性別. 男. 男. 女. 不喜歡. 不喜歡. 不喜歡. 你喜歡數學嗎？ 在學校裡，我認為自己在數學科的表現. 非常 不同意. 通常很好。. 不同意 不同意. 最近一次學校複習考數學得分（總分 80）. 20~34 分. 20~34 分. 35~49 分. 3-5 小時. 沒有. 3-5 小時. 不到 2. 不到 2. 2~3.5. 小時. 小時. 小時. 1~2.5. 不到 1. 1~2.5. 小時. 小時. 小時. 在本學期中，你每星期通常花多少時間 在數學科補習或家教上？ 在本學期中，你每週一到週五共花多少 時間在研讀數學或做數學作業上（不包括數 學科補習或家教）？ 在本學期中，你通常每週六和日共花多少時 間在研讀數學或做數學作業上（不包括數學 科補習或家教）？. 27.
(28) 第三節. 研究工具. 一、尺規作圖試題試題 （一）設計理念 九年一貫課程綱要（教育部，民 92）指出，國中學生應能「認識尺規作圖 （能力指標 8-s-04） 」與「熟練基本尺規作圖（能力指標 8-s-07）」 ，研究者以此兩 個能力指標為依據，設計「尺規作圖試題」 （請見附錄 1~3） ，該測驗分成「a. 基 本尺規作圖」、「b. 尺規作圖概念」與「c. 應用作圖問題」三部分，其中「a. 基 本尺規作圖」與「c. 應用作圖問題」為作圖題，學生只需完成作圖，不用寫出 作法。表 3-3-1 為此測驗的單項細目表。. 表 3-3-1 尺規作圖試題單項細目表 數學概念. 題號. 能瞭解線對稱圖形的意義. 認識 尺規 作圖. b2、b3. 1.能瞭解尺規作圖的工具使用規定. b1_1、b1_2、b1_3、 b1_4、b1_5. 2.能根據作圖步驟判斷尺規作圖的正確性. b10_1、b10_2、b10_3 b4、b5、b6、b7、b8、. 1. 能知道基本尺規作圖步驟 熟練 基本 尺規 作圖. b9. 2. 能完成基本尺規作圖. a1、a2、a3、a4、a5. 3. 能利用基本尺規作圖解決應用作圖問題. c1、c2、c3、c4、c5. 28.
(29) 「a. 基本尺規作圖」試題類型為作圖問題，學生必需使用直尺與圓規完成 題目要求的圖形。雖然許多學者均認為學生必須熟練基本尺規作圖，但基本尺規 作圖包含哪些作圖卻沒有定論，國內九年一貫課程綱要（教育部，民 92）中， 能力指標「8-s-07 能熟練基本尺規作圖」的說明如下： . 以尺規作圖做線段平分、角平分線、垂直線、中垂線、平行線。. . 垂直線：包含作一直角、過線上一點作垂線、過線外一點作垂線。. . 中垂線：在一線段上取中點，再由該中點上做該線段的垂直線。. . 平行線：過線外一點作垂線，再於垂線上一點作另一條垂線。. 研究者以能力指標 8-s-07 為依據，將「線段中垂線作圖」 、 「角平分線作圖」、 「線外一點作垂線」 、 「線上一點作垂線」與「線外一點作平分線」等五個作圖當 作基本尺規作圖，查閱現行各版本教科書後，發現此五個作圖均為課本內容。 根據數學專家的建議，研究者於每一個基本尺規作圖後面增加下列問題，讓 學生勾選最符合其該題作圖表現的敘述： 關於此作圖問題，我覺得… □. 雖然老師教過，但我忘記怎麼畫了。. □. 雖然我能完成這個作圖，但我不清楚為什麼要這樣畫。. □. 我能完成這個作圖，而且我知道這個作圖應用到哪些幾何性質。. 「b. 尺規作圖概念」試題設計有三個目的，第一個目的是瞭解學生尺規作 圖的理解情形，第二個目的是瞭解學生是否知道基本尺規作圖步驟，第三個目的 是想調查學生判斷尺規作圖正確性的準則。 （二）修訂過程 研究者依據能力指標「8-s-04 認識尺規作圖」 、 「8-s-07 熟練基本尺規作圖」 ， 自編一份尺規作圖試題。自 97 年 10 月至 98 年 4 月之間，研究者曾 6 次到台北 29.
(30) 縣、市立圖書館自修室，隨機挑選國三學生進行非正式的預試與訪談，前後共挑 選男、女學生各 11 名，其中有 9 名高學習成就學生，6 名中學習成就學生，7 名 低學習成就學生。研究者在徵求學生同意之後，先讓學生書寫題目，之後進行個 別訪談。個別訪談時，研究者要求學生逐題解釋題意，並說明其作答的理由。 在試題修訂接近完成之際，研究者商請一位數學系教授協助建立此試題的專 家效度，關於專家的建議與試題的修訂如下： 1. 試題 a1 旨在測驗學生是否了解尺規作圖的工具使用規定，原本試題選項 包含「能否利用直尺畫出直線」、「能否利用圓規畫圓」、「能否利用圓規 畫弧」及「若手邊沒有直尺，可以拿三角板畫直線」 ，經專家建議後，研 究者將部分選項融入題幹之中，刪除不適宜選項。 2. 專家認為試題 a4~a9 中不宜給定線段的邊長，研究者依專家建議修訂試 題後，再次到圖書館進行預試。在個別訪談學生時，多數學生表示，原 試題的呈現方式與學校教師類似，而修訂後的題目不易閱讀，甚至有自 認為數學不好的學生表示，修訂後的題目令人產生抗斥感，考試時看到 就不想寫，因此研究者決定試題 a4~a9 維持原狀。 3. 專家建議試題 a10_2 中的作法可比照試題 a10_1 設計，研究者修改題目 後發現題目文字變多，而且圖形複雜程度提升，再次到圖書館進行預試 時學生亦表示修改後的題目較為困難，需要花費很多時間閱讀題目與圖 形，不易理解題意，因此研究者決定試題 a10_2 不予修改。 4. 試題 b1~b5 為 5 題基本尺規作圖，研究者依據專家建議增加下列敘述： 關於此作圖問題，我覺得… □. 雖然老師教過，但我忘記怎麼畫了。. □. 雖然我能完成這個作圖，但我不清楚為什麼要這樣畫。. □. 我能完成這個作圖，而且我知道這個作圖應用到哪些幾何性質。. 30.
(31) （三）計分方式 「尺規作圖試題」包含三個部分，共有 26 個小題，其中試題 c1、c2、c3 每 題 1.5 分，試題 c4、c5 每題 2.5 分，其餘 19 個小題 1 題 1 分，總計 30.5 分。 「a. 基本尺規作圖」部分有 5 個作圖問題，每題 1 分，作圖完全正確才給 分。 「b. 尺規作圖概念」有 16 個小題，每題 1 分，其中試題 a10_1、a10_2 與 a10_3 包含選擇題與說明，選擇題答對者得 0.5 分，說明部分的計分方式請見附錄二。 「c. 應用作圖問題」有 5 個問題，每題採分段給分，在此僅列出試題 c1 的 評分方式，其餘試題評分準則請見附錄二。 試題 c1 滿分為 1.5 分，學生必須畫出 AB 中垂線，並且正確地標示 P 點位置 才算作圖完全正確；若僅畫出 AB 中垂線，而 P 點位置標示錯誤或未標示者得 1 分；其餘情形（包含未作答、作圖痕跡無法判別、作圖錯誤）均得 0 分。表 3-3-3 為試題 c1 的作答類型與範例。. 31.
(32) 表 3-3-3 試題 c1 評分方式 作答類型. 作圖完全正確. 給分. 作答範例(學生編號). 1.5. (C31). 作圖大致正確 ，但 P 點位置 1 標示錯誤或未 標示。 (E18). 其它. 0. (A5). （四）試題難度與鑑別度 本試題包含應用尺規作圖，該部分的計分方式採分段給分，但在計算試題難 度與鑑別度時，僅當作圖完全正確時才視為「1」分，其餘情形均視為「0」分。 鑑別度計算方式採點二系列(point biserial)係數來進行。表 3-3-4 為各題的難度與 鑑別度。 一般來說，試題的鑑別度未達 0.2 者表示需要修改或刪除，鑑別度在 0.2 至 0.3 之間為可以接受，鑑別度達 0.3 以上屬於良好試題。本試 26 個小題中，鑑別. 32.
(33) 度在 0.2~0.3 之間有 2 題；在 0.3~0.5 之間有 7 題；在 0.5 以上有 17 題。 試題難度方面，有 6 題難度在 0.25 以下；有 8 題難度在 0.25~0.50 之間；有 10 題難度在 0.50~0.75 之間。 表 3-3-4 「尺規作圖試題」的難度與鑑別度 試題編號. 難度. 鑑別度. a1. 0.76. 0.651. a2. 0.70. 0.703. a3. 0.59. 0.736. a4. 0.55. 0.766. a5. 0.28. 0.629. b1_1. 0.87. 0.342. b1_2. 0.40. 0.374. b1_3. 0.35. 0.483. b1_4. 0.40. 0.488. b1_5. 0.36. 0.294. b2. 0.62. 0.581. b3. 0.87. 0.523. b4. 0.29. 0.646. b5. 0.74. 0.491. b6. 0.21. 0.563. b7. 0.67. 0.748. b8. 0.50. 0.689. b9. 0.71. 0.695. b10_1. 0.09. 0.272. b10_2. 0.18. 0.393. b10_3. 0.21. 0.566. c1. 0.27. 0.563. c2. 0.36. 0.682. c3. 0.63. 0.700. c4. 0.16. 0.505. c5. 0.18. 0.475. 33.
(34) （五）試題效度 1.. 內容效度 本試題修訂期間，研究者不定期與指導教授和研究團隊進行討論，在試題修. 訂接近定案之際，研究者請一位數學系教授幫忙審查，該專家所提供的建議與研 究者修訂內容詳見「（二）修訂過程」。本試題因此具有內容效度。. 2.. 構念效度 研究者利用 SAS 9.1.3 版進行統計分析，以因素分析建立「尺規作圖試題」. 的構念效度(construct validity)，抽取法採用主因素抽取法(principal factor)。在決 定因素個數時，研究者依據「scree plot」（請參見圖 3-3-1）、「特徵值大於 1」及 「可解釋變異之累積百分比(cumulative)」等三個判斷準則，由於只有兩個特徵值 大於 1，它們總共可解釋變異之累積百分比達到 80.44%，因此決定抽取 2 個因素。 此外，如果抽取 3 個因素的話，總共可解釋變異之累積百分比只略有增加，而且 無法詮譯該等因素。. Eigenvalue 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. component number. 圖 3-3-1. Scree Plot. 34.
(35) 研究者選取 2 個因素後，以 Harris-Kaiser 斜交轉軸法進行轉軸，表 3-3-5 為 轉軸後的因素矩陣(Rotated Factor Pattern Matrix) 。 表 3-3-5 Harris-Kaiser 斜交轉軸因素矩陣 試題編號 a1 a2 a3 a4 a5 b1_1 b1_2 b1_3 b1_4 b1_5 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10_1 b10_2 b10_3 c1 c2. 因素一. 因素二 0.63351 0.71402 0.82864 0.88796 0.65232. 0.70222 0.68229 0.68616 0.59675 0.53582 0.48486 0.48912 0.45541 0.40269 0.71650 0.54597 0.70745 0.30177 0.45453 0.73998 0.83169 0.79906 0.64482 0.75888. c3 c4 c5. 註：表中因素負荷量低於 0.3 者不予列出 研究者對照表 3-3-5 與尺規作圖試題後，將因素一命名為「能瞭解尺規作圖 工具使用規定」 ，因素二命名為「能熟練與應用基本尺規作圖」 ，兩個因素之間的. 35.
(36) 線性相關為 0.44887。表 3-3-6 為試題依因素分析結果分類的分佈表。 表 3-3-6 因素分析後的試題分佈表 因素. 向度. 試題編號. 因素一 能瞭解尺規作圖的工具使用規定. b1_2、b1_3、b1_4、b1_5、b10_2. 因素二 能熟練與應用基本尺規作圖. a1、a2、a3、a4、a5、b2、b3、 b4、b5、b6、b7、b8、b9、b10_3、 c1、c2、c3、c4、c5. 「尺規作圖試題」全部 26 個題目中，編號 b1_1 與 b10_1 並無法利用因素一 或因素二解釋，研究者推測可能原因為試題 b1_1 過於簡單，答對率高達 87%， 而試題 b10_1 的答對率則太低，僅有 0.09。關於試題 b10-1，研究者將於第四章 作進一步的分析與討論。. （六）試題信度 研究者依據因素分析結果進行信度分析，其中因素一能解釋 5 個題目，此 5 個題目的內部一致性係數 Cronbach’s α值為 0.716395；因素二能解釋 19 個題 目，此 19 個題目的內部一致性係數 Cronbach’s α值為 0.924766。. 二、補救教學課程. （一）設計理念與課程架構 對低學習成就學生而言，因為不理解「基本尺規作圖」能作出哪些幾何圖形， 因此不知道如何分析應用尺規問題；因為不熟練「基本尺規作圖」，即使具備解 題所需的幾何知識，仍是無法完成作圖。為了幫助低學習成就學生降低因「尺規 作圖工具規定」所產生的技術性困難，研究者嘗試讓學生學習較容易操作與理解 36.
(37) 的幾何作圖工具，先提供學生思考作圖問題的機會，待作圖完成之後，再將作圖 步驟一一轉換成尺規作圖方法。 根據第二章文獻探討可知，雖然有許多的工具可以當作幾何作圖的工具，然 而除了摺紙以外，其餘工具大都需要應用高中以上的幾何知識幫助作圖，並不適 合用來教導低學習成就學生。 研究者依據上述想法，設計透過摺紙學習尺規作圖的課程，教導學生 6 個操 作容易且摺痕意義易懂的摺紙動作，幫助學生快速跨過「基本尺規作圖」的門檻， 直接思考作圖問題。6 個動作的說明請見下一小節。 關於摺紙動作轉換成尺規作圖的方法，教學時研究者並非直接告知學生每一 個動作的對應作法，而是將摺紙動作所產生的摺痕視為「等腰三角形的對稱軸」 ， 結合幾何性質「任意兩個共底邊的等腰三角形具有相同的對稱軸」與「任意兩個 共底邊的等腰三角形的頂角頂點必在其對稱軸上」，讓學生理解作圖步驟所代表 的意義。在此以摺紙動作 5 為例說明，其餘 5 個摺紙動作的轉換請見下一小節。 摺紙動作 5 是將兩個已知點重合，紙張摺疊後會產生一條摺痕，若想將摺紙動作 轉換為尺規作圖，即是利用直尺與圓規畫出取代摺痕的那條直線，教學時研究者 引導學生將摺痕視為兩個以 AB 為底邊的等腰三角形的對稱軸，學生只要利用直 尺與圓規找出兩個等腰三角形頂角的頂點，即可作出其對稱軸，因此轉換的方法 為「分別以 A、B 兩點為圓心，大於. 1 AB 長為半徑畫弧」，學生由此可以理解， 2. 以相同半徑畫弧是為了畫出等腰三角形的兩個腰長。圖 3-3-2 說明摺紙動作 5 轉 換為尺規作圖的示意圖。. 37.
(38) A. A. B. A. M B. B. 圖 3-3-2 摺紙動作 5 轉換為尺規作圖的方法. 在課程安排上，因為摺疊紙張過程即是重複地應用線對稱概念，而且摺紙動 作轉換為尺規作圖方法亦是應用到線對稱概念，因此課程一開始為複習線對稱圖 形的意義與性質，接著探討等腰三角形的對稱性質，讓學生經由摺疊等腰三角形 紙張學習幾何性質「任意兩個共底邊的等腰三角形具有相同的對稱軸」與「任意 兩個共底邊的等腰三角形的頂角頂點必在其對稱軸上」。雖然三年級學生已學過 幾何論證，但因為本課程教學對象為低學習成就學生，所以在此仍採用實驗幾何 的學習方式。 當學生具備線對稱概念後，研究者開始教導學生摺紙動作，每學會一個新的 摺紙動作，研究者即安排 2~3 題可利用摺紙動作解決的作圖問題讓學生思考，接 著是摺紙動作轉換尺規作圖的方法，最後是利用尺規作圖解決之前思考過的作圖 問題。也就是說，本課程中每個利用摺紙解決的作圖問題，學生均會再利用直尺 與圓規作圖一次。圖 3-3-3 說明每個摺紙動作的教學流程。. 圖 3-3-3 摺紙動作的教學流程. 38.
(39) 本課程分成四天教學，每次教學約一個半小時。第一天主要教學目標為讓學 生能理解等腰三角形的對稱性質，以及熟練摺紙動作 1~3，第一天將連續教導 3 個摺紙動作，如此安排的原因是因為摺紙動作 1 摺法簡單，摺紙動作 2 與 3 摺法 相似，而且學生將覺得很容易就學會全部一半的摺紙動作；第二天先教學生如何 利用尺規作圖作出等腰三角形，接著教導摺紙動作 1~3 轉換尺規作圖方法；第三 天學習摺紙動作 4、5 及其轉換尺規作圖的方法；第四天學習最後一個摺紙動作， 並練習尺規作圖的應用問題。表 3-3-7 列出 4 天補救教學內容。. 39.
(40) 表 3-3-7 補救教學內容 日期. 教學內容. 1. 線對稱圖形定義與性質 2. 等腰△的對稱性質 3. 摺紙動作 1 4/27. 4. 摺紙動作 2 5. 摺紙動作 3 6. 利用摺紙動作 1~3 解決應用作圖問題 1. 尺規作圖：等線段作圖 2. 尺規作圖：等腰三角形作圖 3. 摺紙動作 1 所對應的尺規作圖 4/28. 4. 摺紙動作 2 所對應的尺規作圖 5. 摺紙動作 3 所對應的尺規作圖 6. 尺規作圖應用問題 1. 摺紙動作 4 2. 利用摺紙動作 1~4 解決應用作圖問題 3. 摺紙動作 4 所對應的尺規作圖 4/29. 4. 尺規作圖應用問題 5. 摺紙動作 5 6. 利用摺紙動作 1~5 解決應用作圖問題 1. 摺紙動作 6 2. 利用摺紙動作 6 解決應用作圖問題 4/30. 3. 摺紙動作 6 所對應的尺規作圖 4. 尺規作圖應用問題綜合練習. 40.
(41) （二）6 個摺紙動作與其轉換為尺規作圖的對應作法 本課程嘗試以摺紙作為尺規作圖暫時性的替代性工具，利用摺紙進行作圖時 採用以下 4 個基本假設：. 1.. 摺紙動作所產生的摺痕均視為直線，多邊形紙張的邊亦視為直線。. 2.. 任意兩條不平行直線相交處視為一個點。. 3.. 經紙張摺疊後可重合的兩線段或兩角均視為相等。. 4.. 當一個作圖問題中所有交點的相對位置均確定後，此作圖問題即 視為作圖完成。. 由第二章文獻探討可知，當選取不同數量的摺紙動作，其所形成的作圖能力 也不同(Hull, 1996)，因為本課程為低學習成就學生透過摺紙進行尺規作圖補教教 學，因此選取的摺紙動作不宜太多，而且每一個摺紙動作必須能夠轉換成尺規作 圖作法，研究者最後以下列 4 點作為選取摺紙動作的原則： . 摺紙動作必須符合直覺的摺紙經驗，而且容易操作與學習；. . 摺紙動作的總數不宜太多；. . 摺紙動作必須可以轉換成尺規作圖作法；. . 所有選取的摺紙動作所形成的作圖能力必須與尺規作圖相等。. 研究者依據上述 4 個原則檢視 Huzita-Hatori Axioms、Yates(1949)、Auckly 與 Cleveland(1995)所提出的摺紙理論，最後決定在本課程中採用 6 個摺紙動作， 以下依序介紹這 6 個動作：. 41.
(42) 摺紙動作 1：摺出通過兩點的直線 如圖 3-3-4，紙上有 A、B 兩點，可摺出摺痕 M 線通過此兩點。. M A. A. A. B. B. B 圖 3-3-4 摺紙動作 1. 摺紙動作 2：從直線上一點作垂線 如圖 3-3-5，紙上有一直線 L 與線上一點 A，可摺出通過 A 的摺痕 M 線， 且M L。. M A. L. L. L. A. A. 圖 3-3-5 摺紙動作 2，符號 A(B)意指紙張摺疊時，A 點與 B 點重合。. 摺紙動作 3：從直線外一點作垂線 如圖 3-3-6，紙上有一直線 L 與線外一點 A，可摺出通過 A 的摺痕 M 線， 且M L。. M A. A. A L. L. 圖 3-3-6 摺紙動作 3. 42. L.
(43) 摺紙動作 4：在直線上取等線段長 如圖 3-3-7，紙上有一直線 L 與 A、B 兩點，可同時將 A 點摺至直線 L 上（假設與 A’點重合）而且讓摺痕 M 線通過 B，並在紙張未攤開時用筆畫 出 A’點（本課程中所使用的紙張為半透明蠟紙，學生只要用筆尖輕壓紙張， 便可在紙張的另一面留下痕跡，此時即可用筆點出 A’點位置）。. L. M B. L. B. B. L A’. A(A’). A. A 圖 3-3-7 摺紙動作 4. 摺紙動作 5：將兩點重合 如圖 3-3-8，紙上有 A、B 兩點，可摺疊紙張使得 A 點與 B 點重合，此 時所產生的摺痕 M 線為 A、B 兩點的對稱軸。根據基本假設 3「經紙張摺疊 後可重合的兩線段或兩角均視為相等」，可簡單推論發現摺痕 M 線亦為 AB 的中垂線。. B. B. M A. A 圖 3-3-8 摺紙動作 5. 摺紙動作 6：將兩直線重合 如圖 3-3-9，紙上有 L1 、 L2 兩直線，可將 L1 與 L2 重合，此時所產生的摺 痕 M 線為 L1 、 L2 兩直線的對稱軸。根據基本假設 3「經紙張摺疊後可重合 43.
(44) 的兩線段或兩角均視為相等」，可簡單推論出摺痕 M 線為 L1 、 L2 夾角的平 分線。. L1. L1 L2. L1(L2). M L2. 圖 3-3-9 摺紙動作 6，符號 L1(L2)意指紙張摺疊時，直線 L1 與 L2 重合。. 若將上述 6 個動作與 Huzita-Hatori Axioms(HHA)比較，可發現本課程的動作 1、5、6 分別為 HHA 的動作一、二、三；本課程的動作 2 與 3 則演變自 HHA 的動作四，如此安排的原因是因為動作 2 與 3 轉換成尺規作圖的方法並不相同， 故拆成兩個動作；本課程的動作 4 演變自 HHA 的動作五，雖然「拿筆取點」並 非一般摺紙作圖所接受的方法，但研究者可證明該作法能用 HHA 的前五個動作 取代（證明過程請見附錄三）。因為 HHA 前五個動作的作圖能力等價於尺規作 圖(Alperin, 2000)，本課程的 6 個動作的作圖能力等價於 HHA 前五個動作，因此 可以得知本課程的 6 個動作的作圖能力等價於尺規作圖。表 3-3-8 列出 HHA 與 本課程 6 個動作的對應關係。 本研究為了因應研究對象為低學習成就學生，考量學生學習能力與課程內容 安排，所以研究者重新調整此 6 個動作的順序，因此本課程中的摺紙動作編號與. HHA 的編號並不相同。. 44.
(45) 表 3-3-8. Huzita-Hatori Axioms(HHA)與本課程 6 個動作對應表 本課程的摺紙動作. HHA. 動作一：已知 P1 與 P2 兩點，可摺出 摺紙動作 1：摺出通過兩點的直線 通過此兩點的直線 Lf。 P2 Lf P1 動作四：已知一點 P1 與一直線 L1， 摺紙動作 2：從直線上一點作垂線 可摺出通過 P1 且與 L1 垂直 的直線 Lf。. Lf P1. 摺紙動作 3：從直線外一點作垂線. L1 L 動作五：已知 P1 與 P2 兩點與一直線 摺紙動作 4：在直線上取等線段長. L1，可將 P1 摺至直線 L1 上，此時摺痕 Lf 通過 P2。 L1. Lf. P2 P1. 動作二：已知 P1 與 P2 兩點，. 摺紙動作 5：將兩點重合. 可摺疊紙張使得 P1 與 P2 Lf 重合。 P2 P1. 動作三：已知 L1 與 L2 兩直線，. 摺紙動作 6：將兩直線重合. 可摺疊紙張使得 L1 與 L2 重合。 L1. Lf L2 45.
(46) 關於六個動作轉換成尺規作圖的方法，其中有四個摺紙動作對應到基本尺規 作圖，分別是動作 2 對應到「線上一點作垂線」，動作 3 對應到「線外一點作垂 線」，動作 5 對應到「線段中垂線作圖」，以及動作 6 對應到「角平分線作圖」， 研究者在教學時，並非直接告知學生每個動作的對應尺規作圖作法，而是將摺紙 動作所產生的摺痕視為「等腰三角形的對稱軸」，轉換的目標即為畫出「虛擬之 等腰三角形的對稱軸」，讓學生藉此理解作圖步驟的意涵，而非機械式記憶作圖 方法。以下說明六個動作轉換成尺規作圖的作法： 摺紙動作 1：摺出通過兩點的直線 → 利用直尺畫出通過兩點的直線 很明顯地，摺紙動作 1 即等同於利用直尺畫出通過兩點的直線。. M A. A. B. B. 圖 3-3-10 摺紙動作 1 轉換為尺規作圖的作法. 摺紙動作 2：從直線上一點作垂線 → 尺規作圖：線上一點作垂線 在摺紙動作 2 轉換尺規作圖的過程中，研究者讓學生將摺痕 M 視為等 腰三角形 PQR 的對稱軸，由此理解轉換的目標是畫出虛擬的等腰三角形. PQR，接著畫出通過 A、R 兩點的直線。圖 3-3-2 說明摺紙動作 2 轉換為尺 規作圖的示意圖。. R. A. P A. Q. 圖 3-3-11 摺紙動作 2 轉換為尺規作圖的作法. 46.
(47) 摺紙動作 3：從直線外一點作垂線 → 尺規作圖：線外一點作垂線 摺紙動作 3 的轉換應用到二個幾何性質，第一個性質是「任意兩個共底 邊的等腰三角形擁有相同的對稱軸」，第二個是「任意兩個共底邊的等腰三 角形的頂角頂點必在其對稱軸上」，因此學生只需畫出共底邊的「虛擬等腰 三角形」，接著連接通過兩個等腰三角形頂角頂點的直線即可。. A. A. M A L. 圖 3-3-12 摺紙動作 3 轉換為尺規作圖的作法. 摺紙動作 4：在直線上取等線段長 → 尺規作圖：複製等線段 如圖 3-3-13 所示，雖然摺紙動作 4 完成後，紙張上產生摺痕 M 以及直 線 L 上的一點 C，但在本課程中所討論的作圖問題中，應用摺紙動作 4 的主 要目的是找出 C 點位置，使得 AB AC ，因此摺紙動作 4 的轉化僅教導學 生如何找出 C 點位置。很明顯地，只需以 A 點為圓心， AB 長為半徑畫弧， 圓弧與直線 L 的交點即為 C 點。. M A. L A. C. C. B B 圖 3-3-13 摺紙動作 4 轉換為尺規作圖的作法. 47.
(48) 摺紙動作 5：將兩點重合 → 尺規作圖：線段中垂線作圖 如圖 3-3-14 所示，可將摺痕 M 視為兩個以 AB 為底邊的等腰三角形之 對稱軸，轉換過程應用到下列三個幾何知識：任意兩個共底邊的等腰三角 形擁有相同的對稱軸」；任意兩個共底邊的等腰三角形的頂角頂點必在其 對稱軸上；等腰三角形的對稱軸垂直且平分底邊。. A. A B. A. M B. B 圖 3-3-14 摺紙動作 5 轉換為尺規作圖的作法. 摺紙動作 6：將兩直線重合 → 尺規作圖：角平分線作圖 如圖 3-3-15 所示，可將摺痕 M 視為兩個共底邊的等腰三角形之對稱軸， 轉換過程應用到下列三個幾何知識：任意兩個共底邊的等腰三角形擁有相 同的對稱軸」；任意兩個共底邊的等腰三角形的頂角頂點必在其對稱軸 上；等腰三角形的對稱軸平分其頂角。. L1. L1. L1 M L2. L2. 圖 3-3-15 摺紙動作 6 轉換為尺規作圖的作法. 48. L2.
(49) （三）課程修訂歷程 因為文獻中未發現有研究者以摺紙教導學生尺規作圖，無法得知學生對此種 學習方式的接受程度，因此研究者在課程設計之初，先進行一個探索性研究，藉 以了解學生在學習摺紙動作、利用摺紙作圖解決作圖問題、以及摺紙動作轉換尺 規作圖作法等三方面的表現。研究對象為一位北市某公立高職夜間部三年級學 生，該生的數學科教師表示，學生的數學程度不佳，高職入學時基測成績約 160 分。 在此探索性研究中，研究者利用三天（10/3、10/8、10/9）時間，每次約一 個小時，教導學生 7 個摺紙動作，包含 Auckly 與 Cleveland(1995)所提出的動作 四以及 HHA 的前五個動作，並將 HHA 的動作四分成已知點是否在已知直線上 兩種情形。以下列出探索性研究中所採用的 7 個動作：. 摺紙動作 1. 摺出通過兩點的直線. 摺紙動作 2. 兩點重合. 摺紙動作 3. 兩線重合. 49.
(50) 摺紙動作 4. 摺疊再摺疊. 摺紙動作 5. 線外一點作垂線. 摺紙動作 6. 線上一點作垂線. 摺紙動作 7. 一點到一線，一線過一點. 研究者在第一天（10/3）即教導學生 7 個動作，第二次（10/8）上課是在 5 天後，而且這段時間內學生學校舉行段考，但上課時學生能很快回憶起動作 7 以 外的 6 個動作，而且摺紙動作流暢。在利用摺紙解決應用作圖的過程中，因為動 作 4 是先摺疊紙張後，在未攤開紙張時再摺疊一次，學生明顯受到該動作影響， 時常重複摺疊紙張產生許多非預期中的摺痕，造成作圖時的困惑，因此研究者決 定在正式課程中刪除該動作。此外，學生在學習動作 7 時表示該動作與一般的摺 紙經驗不同，不像其餘 6 個動作那麼直覺，而且學生不太能理解動作 7 的用途， 因此研究者在正式課程中將動作 7 修改成「用筆取點」。. 50.
(51) 初版課程於 98 年 2 月完成後，研究者利用 98 年 2 月 20 日、2 月 23 日至 26 日晚上進行試教，每次上課時間約 80 分鐘，總計約 6.5 小時。教學對象為北市 某國中三年級一位低學習成就學生，該生平時課業表現不佳，班級排名約為後十 分之一。 試教時採用的 6 個摺紙動作與正式教學時完全相同，但課程內容順序不同。 試教時先教導學生 6 個動作後，再教導每個動作如何轉換成尺規作圖作法。研究 者分析上課錄影後發現，因為教學對象為低學習成就學生，連續教導 6 個動作的 轉換造成學生混淆，無法清楚知道不同動作所產生的摺痕與等腰三角形對稱軸之 間的關係，無法在作圖步驟與幾何知識之間產生有意義的連結，因此研究者重新 安排內容順序，在教導完動作 1~3 後，即讓學生學習此 3 個動作的轉換，之後每 學完一個動作，就接著學習該動作轉換尺規作圖的作法。. 第四節. 研究流程. 本研究之研究流程，如圖 3-4-1 所示：. 圖 3-4-1 研究流程圖 51.
(52) 第肆章 資料分析 第一節. 「尺規作圖試題」表現. 本研究第一個目的為瞭解國中三年級學生尺規作圖學習表現，研究者發展尺 規作圖試題，預試對象為大台北地區三所國中共計 150 位國三學生，施測時間為 該年基測舉行前一個半月，所有受測學生均已學完所有國中幾何教材。 雖然研究工具「尺規作圖試題」建立信效度之後，應該要重新選取樣本施測， 但因為本研究主要的目的是探討學生透過摺紙活動進行尺規作圖補救教學之成 效，研究工具「尺規作圖試題」的主要功用是用來挑選參與補救教學的對象，加 上預試時的此工具的信效度均不錯，因此研究者就以學生預試的作答表現進行分 析。 依據第三章第三節因素分析結果，可將尺規作圖試題分成「瞭解尺規作圖的 工具使用規定」和「熟練與應用基本尺規作圖」兩個因素，以下將先從此兩個層 面進行討論，接著再討論學生在「基本尺規作圖」與「應用尺規作圖」的表現。. 一、「瞭解尺規作圖工具使用規定」的表現 （一）整體表現 根據因素分析結果，因素一可用於解釋試題 b1_2、b1_3、b1_4、b1_5 與 b10_2，其中試題 b1_2~b1_5 為選擇題題組，詢問學生下列動作是否為尺 規作圖中可以使用的動作： 試題 b1_2：利用直尺的刻度找出線段的中點 試題 b1_3：利用直尺的兩平行邊畫平行線 試題 b1_4：利用直尺的相鄰兩邊畫出直角 試題 b1_5：若手邊沒有圓規，可以拿量角器畫出一個角的平分線 52.
(53) 從單一試題答對率來看，b1_2~b1_5 的答對率都在 40%以下；從答對題 數來看，僅有 16%的學生此 4 題全部答對，9.33%的學生答對其中 3 題，75.33% 的學生答對題數不到 3 題。表 4-1-1 列出此 5 個試題的描述性統計資料，表 4-1-2 列出 b1_2~b1_5 答對不同題數的人數統計。. 表 4-1-1 可用因素一解釋的 5 個試題之描述性統計資料 平均得分. 題目編號. （每題 1 分）. 標準差. 答對率（%）. b1_2. 0.4000. 0.4915. 40.00. b1_3. 0.3500. 0.4775. 35.00. b1_4. 0.4000. 0.4915. 40.00. b1_5. 0.3600. 0.4816. 36.00. b10_2. 0.3950. 0.3823. 18.00. 表 4-1-2 試題 b1_2~b1_5 答對題數統計 答對題數. 0. 1. 2. 3. 4. 人數. 55. 28. 30. 14. 24. 20. 9.33. 16. 36.67 55.33 75.33 84.67. 100. 百分比(%) 累積百分比(%). 36.67 18.67. 若要正確無誤地完成一個尺規作圖，作圖過程中僅能重複「使用直尺畫 線」與「使用圓規畫圓或畫弧」兩種動作，其它工具使用方式均不符合工具 使用規定，因此研究者認為，一位瞭解尺規作圖工具使用規定的學生，應該 知道試題 b1_2~b1_5 所描述的動作均不可以使用，依此標準來看，施測結果 顯示有 84.67%的學生不清楚尺規作圖工具使用規定。. 53.
(54) （二）試題 b10_1、b10_2 與 b10_3 分析 試題 b10_1、b10_2 與 b10_3 為題組（請參見附錄一） ，學生必須依據題 目描述與圖形，先勾選甲、乙、丙三人的作圖是否正確，接著寫出判斷的理 由。圖 4-1-1 列出勾選部分的人數分佈圖。 從「勾選」部份來看，有 63(42%)位學生認為甲生作圖正確，58(38.67%) 位學生認為乙生作圖正確，117(78%)位學生認為丙生作圖正確，認為丙生作 圖正確的人數遠多於甲、乙生，可能是因為學生較熟悉中垂線作圖（中垂線 作圖的答對率為 76%） 。而全部約三分之一的學生（47 人）可同時正確判斷 甲、乙、丙三人的作圖正確性。. 認為甲生 作圖正確. 5. 8. 6. 認為乙生 作圖正確. 25 25. 19. 47. 認為丙生 作圖正確 圖 4-1-1 判斷甲、乙、丙三位學生作答正確的人數統計. 從「判斷的理由」來看，有 47（31.33%）人的理由認為甲生作圖正確， 有 65（43.33%）人認為甲生作圖錯誤。認為正確的理由主要可分成兩類， 一類學生是根據直覺判斷，沒有提出任何相關數學知識；另一類學生則是根 據「 AC BC 」判定甲生正確，這類學生注意到 C 點為「以相同半徑畫出的 兩弧之交點」 ，故推論「 AC BC 」 。認為甲生作圖錯誤的理由，主要也可分 54.
(55) 成兩類，一類是根據直覺判斷，另一類則能指出 C 點未必落在直線 L 上或 是作法中含有運氣成份。表 4-1-3 為學生判斷甲生作圖正確性理由的人數統 計。 表 4-1-3 學生判斷甲生作圖正確性理由的人數統計 理由類型. 作答範例(學生編號). 人數. 認為甲生作圖正確. 根據直覺. 不知道(B35). 17. 根據 AC BC. 兩弧半徑相等，相交於 C 點，故 AC BC (B1). 25. 其它. 中垂線交點至兩頂點等距(C7). 5. 空白未作答. 17. 認為甲生作圖錯誤. 依據直覺. 和我的思維相左(A6). 19. 含有運氣成份. 隨意猜測，而且只是剛好落在 L 上(D35). 33. 其它. 因為甲生忘了把所有的點連接起來(D30). 13. 空白未作答. 11. 全部學生中，有 44（29.33%）位學生的理由認為乙生作圖正確，其中 有 29（19.33%）人的理由顯示出其經推論發現「 AC BC 」，例學生 B2 表 示「因為圓形的圓心與任何一個圓周上的點等長」，此外有 15（10%）位學 生的理由並未表達出相關的數學概念。認為乙生作圖錯誤的學生有 69（46%） 人，其中有 41（27.33%）人的理由認為乙生的作法含有運氣成份，嘗試一 次就找到 C 點令這些學生覺得不合常理，例如學生 B16 表示「沒有剛好那 麼準吧！」。表 4-1-4 為學生判斷乙生作圖正確性理由的人數統計。. 55.
(56) 表 4-1-4 學生判斷乙生作圖正確性理由的人數統計 理由類型 認為乙生作圖正確. 作答範例(學生編號). 人數. 根據直覺. I Don't know. Feel.(E31). 15. 根據 AC BC. 因為圓上一點到圓心的距離一樣(D8). 29. 空白未作答. 14. 認為乙生作圖錯誤. 依據直覺. 直覺(E1). 16. 含有運氣成份. 不能直接取 C 點(A30). 41. 其它. 無法分析(D4)、還沒畫完(D24). 12. 空白未作答. 22. 丙生的作法即為畫出 AB 的中垂線，此為學生較為熟悉的基本尺規作圖 （中垂線作圖的答對率為 76%） ，因此有較多學生（83 人，55.33%）的理由 認為丙生作圖正確，但其中僅有 38（25.33%）人能提及中垂線性質，其餘 45（30%）人則以「直覺」或其它理由回答。表 4-1-5 為學生判斷丙生作圖 正確性理由的人數統計。. 表 4-1-5 學生判斷丙生作圖正確性理由的人數統計 理由類型. 作答範例(學生編號). 人數. 認為丙生作圖正確. 根據直覺. 看起來像(C9). 33. 根據中垂線性質. C 為中垂線 M 上一點，故 CA CB (B3). 38. 其它. 因為過程很多，跟老師作圖時一樣(B4). 12. 空白未作答 認為丙生作圖錯誤. 依據直覺 其它. 34 作法很奇怪！！(B30) 因為直線 L 沒有平行 AB(D33) 位置不對(D24). 空白未作答. 11 9 12. 56.
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