第二章 文獻回顧
3.2 速度分析方法
由於本研究採用了頻率域及時頻之分析方法，故在此小節將分別介紹各 方法下所定義之波速。
時間域速度分析法
3.2.1時間域速度即為以傳統方式進行手動挑取波達時間所計算出之速度。以 懸盪式震測資料#009 為例，根據 2.1.3 節介紹之原理，傳統手動挑初達波 方式係分別對上、下受波器接收之訊號(𝐻1、𝐻2)挑取初達時間，如圖 3.2 所示，剪力波初達特徵為正反相訊號對稱，並有明顯之振幅起伏之位置，
詳細說明可參見 2.2 節；有了初達時間則可以式(3-1)計算剪力波速(𝑉𝑠)，
𝑉𝑠 = 𝐿 𝑡𝐻1 − 𝑡𝐻2
(3-1) 其中，𝑉𝑠為上、下受波器所在深度間之平均剪力波速；𝐿為兩受波器間距，
固定為 1m；𝑡𝐻1
、
𝑡𝐻2分別為上、下受波器訊號(𝐻1、𝐻2)所挑取的初達時間。55
本研究將以此時間域速度做為試驗方法之參考基準值。
圖 3.2 時間域訊號波形及手動挑取初波達時間點
頻率域相位速度分析法
3.2.2
在 3.1 節提到因時間域之初達波挑取方式無法得知頻率範圍，故引用 了應用於表面波震測的表面波譜法(Spectral Analysis of Surface Wave,
SASW)概念，此方法係利用頻譜分析(Spectral Analysis)方式，透過兩受波器 所接受的訊號在不同時間點之各頻率相位差，如圖 3.3。藉此計算各頻率之 相位波速，亦即相位波速之頻散曲線，可以看出波速隨頻率之變化，原理 詳見 2.4.2 節。此法不論在自動化程序或是頻散曲線之物理意義，皆符合 本研究目的。除此之外，就懸盪式震測法的儀器設置及資料結構和表面波 譜法皆極為相似，皆是由一組兩個距離不一的收波器，在不同時間接收同 一震源激發之訊號，如圖 3.4 比較。
0 5 10 15 20 25
H1
H2
Time (ms)
#009-Signal
56
圖 3.3 兩時間訊號之相位差(Joh, 1996)
圖 3.4 懸盪式震測法及表面波譜法之設置比較 SAS
W PS-logger
57
而應用於懸盪式震測資料之頻譜分析做法如下，以資料#009 為例：
(1) 資料#009 原始波形如圖 3.5(a)，將其做快速傅立葉轉換至頻率域，
得到如圖 3.5 (b)之能量譜。由圖顯示其能量分布集中於 1000Hz 附 近。
(2) 兩受波器各頻率之相位角差，可透過互能頻譜(Cross Spectral Density, CSD)之相位角獲得，即式(2-23)，並得到如圖 3.5 (c)之摺合(Wrapped) 線段，一般隨頻率增加而增加，但由於頻譜分析所得之相位角差僅 侷限於−π~π之間，因此在計算(2-22)式之前必須先將相位角差
∆𝜙(𝜔)摺開(unwrap)，以得各頻率真正的相位角差，即圖 3.5 (c)之 未摺合(Unwrapped)線段。
(3) 就常理而言，圖 3.5 (c)之未摺合(Unwrapped)線段應當會是一條初始 相位角於−π~π之間且平滑的相位譜。但由摺合相位譜中顯示特定 頻率區間之相位角發生不規則跳動，有時亦會出現相位角摺合不完 全的問題，以上問題皆易造成相位角誤判，此外，相位角之展開是 由低頻疊加至高頻，若不良區域於低頻處，將導致高頻資料之錯誤。
而較特別的一點在於能量集中的頻率帶下，摺合相位譜鮮少發生不 規則跳動，趨近平順。
(4) 因為這個現象，為了解決摺合錯誤問題，在此先假設近鑽孔附近的 土層為均質均向，速度不隨頻率變化，且所得震態為基態，如此未 摺合相位譜會是一條初始相位角為零之斜直線，由式(2-22)改寫成 下式：
V𝑝ℎ(𝑓) = 2𝜋𝑓
∆𝜙(𝑓)
∆𝑥
(3-2)
其中∆𝑥為定值，因線段通過零點，V𝑝ℎ不頻散即為定值，故未摺合 線段之斜率絕對值倒數即為相位波速V𝑝ℎ。故以 3.2.1 節所計算之
58
剪力波速反推成未摺合線段做為參考斜率，如圖 3.5 (c)之V𝑠反推線 段。
(5) 做此假設是為了採取擷取頻率的方式，因為從能量譜的最大分布頻 率對應至未摺合相位譜錯誤最少，故擷取能量分布最大頻率得到圖 3.5 (d)，將此線段取回歸成直線，並使其平移通過相位角零點，所 得之斜率絕對值倒數即為此頻段內假設無頻散狀況之相位波速，
V𝑝ℎ。
一般而言表面波之相位波速(雷利波速)約為 0.9 倍之剪力波速，然其比 值需視土壤之柏松比大小所定。根據半無限空間之雷利波推導結果
(Richart,1970)，雷利波速與剪力波速間之關係為：
𝑉𝑝ℎ = 𝑉𝑅 ∝0.862 + 1.14𝜈
1 + 𝜈 𝑉𝑠 (3-3)
式(3-3)中𝑉𝑝ℎ表相位波速；𝑉𝑅表雷利波速；𝜈表柏松比；𝑉𝑠表剪力波速。但就 懸盪式震測法而言，其波形之內涵較位於地表面之表面波更為複雜，其是 為沿著管壁之表面波，欲發展理論解獲得轉換方式不易，因此若欲進行相 位波速與波速的轉換，其轉換係數得由大量數據求取經驗轉換式，在本研 究中暫且使用未轉換之相位波速作為初步測試。
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圖 3.5 頻譜分析於懸盪式震測資料之應用步驟
0 5 10 15 20 25 30
H2 H1
Time(ms)
H1 H2
FFT
CSD
Unwrapping
選取段
∆𝜙 ∆𝑓
(b) (a)
(c)
(d) (a)
60
時間－頻率域速度分析法
3.2.3考慮到訊號通常參雜各種頻率之波相，各頻率波相到時將隨不同頻率改 變。為了能清楚觀察此變化情形，找出剪力波波相到時之頻率，本研究將 採用時頻分析方法(Time Frequency Analysis)，利用在時頻譜上判斷出剪力 波於特定頻率段之初達時間，進而計算頻帶初達波速，詳細說明如下：
利用各種時頻分析方法，可以將訊號從時間域轉換成時頻域，便可觀察 到各頻率訊號隨時間變化之情形，即為時頻譜，如圖 3.6 所示，色階變化 為訊號包絡線之振幅大小。
圖 3.6 訊號經時頻分析方法轉換成時頻譜
Frequency [Hz]
Time [ms]
0 5 10 15 20 25 30
Freq Range Freq Range H1
#009-Time Frequency Spectrum-H1
Signal-Original
時頻分析方法
61
從圖 3.6 中，虛線是以手動挑波方法所挑取的初達時間，而色階集中在 800Hz～1500Hz 之範圍間，選取此頻帶範圍來觀察包絡線，可以得到如圖 3.7 之形式，以便觀察訊號個頻率下包絡線之振幅分佈，並發現此頻帶為剪 力波之頻率範圍，且各頻率訊號包絡線之振幅起伏起始時間，正好相當於 剪力波之初達時間。表示此能量集中之頻帶下之振幅起伏點，反映在時間 域之初達波波形上，即此初達波之主控頻率即為此頻段。故在作法上，本 研究挑取各頻率之振幅起伏起始時間，再取其算術平均數，將其定義為該 頻帶下波相初達時間，由此頻帶方法所計算出的波速即為該頻帶下波相初 達波速。
圖 3.7 訊號各頻率下之波形及其包絡線
0 5 10 15 20 25 30
800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 org
#009-Signal-MFT-H1
Time [ms]
Frequency [Hz]
tmfH1 tH1
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3.3 振幅起伏起始點挑取自動化分析法
而在 3.2.3 提到可以從時頻譜上取得各頻率訊號包絡線之振幅起伏起 始時間，而在時頻域上因為把不同頻率的雜訊及主訊號分開了，所以得到 的訊號波形相對簡單，因此與其以人工方式對各頻率包絡線逐一挑取初達 時間，本研究更希望藉由自動挑取方法，系統性的挑取包絡線振幅起伏起 始點，詳細作法如下，說明圖如圖 3.8：
(1) 對於各頻率下之訊號包絡線，如圖 3.8①所示，先挑選目視可見之起 伏範圍，將挑選範圍縮小。
(2) 將訊號微分，其微分最大值相當於斜率最大值，即為切點，並做一 切線。
(3) 以此切點與其前段之訊號作割線斜率，如圖 3.8③。
(4) 可得到割線斜率變化曲線，表示切點至各點與其前後之變化程度。
(5) 再將此割線斜率變化曲線微分，取微分值之最大點位置。表示此點 之割線斜率與前後差異最大，且為一最佳劃分點，此點以前為平穩 段；此點以後為爬升段。
(6) 由於平穩段會有小幅度之起伏，故以此點至其前段取線性回歸，得 回歸線。
(7) 再以步驟(2)之切線與此回歸線取交點，定義其為振幅起伏起始點。
(8) 對各頻率重複步驟(1)～(7)取算術平均值，即可視為該頻率範圍下訊 號波相之初達時間點。
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圖 3.8 振幅起伏起始點挑取自動化方法
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