第二章 以 BCa 區間估計法建構單一非對稱規格區間之 C " pmk 指標的信賴下
3.2 運用複式模擬法建構兩個 C " pmk 指標差異之信賴區間的流程
本節將說明如何使用複式模擬法之 BCa 區間估計法建構兩個非對稱規格之 製程能力指標C"pmk差異的信賴區間，其建構流程如下：
步驟一：設定非對稱規格區間之製程資料。
以統計分析軟體〈Statistical Analysis System,SAS 〉產生兩組常態分配的 製程資料A 與 B ，且規格屬非對稱規格區間例如，製程 A 平均為 310，
製程標準差為 12，製程B 平均為 305，製程標準差為 7，假設製程規格 上限為 352，規格下限為 273，目標值為 310，規格中心為 313 之非對稱 規格區間。
步驟二、以隨機方式各抽出一組樣本。
由步驟一產生製程A 與 B 的資料，分別隨機抽取出一組原始樣本，樣 本數皆為 30，簡稱樣本A 與樣本 B 。
步驟三：以複式模擬法模擬樣本資料並計算兩個指標之差異值。
從A 樣本中，以抽出後放回的抽樣方式，抽出一組樣本數同樣為n的資 料，簡稱為樣本A1，由樣本A1計算平均值X 樣本與標準差1 S1，從這些 資料可計算出樣本A1的 ˆ"
Cpmk值，以 "
1
ˆpmkA
C 表示。用同樣的方法抽取樣本
B1 ， 及 計 算 "
1
ˆpmkB
C 值 ， 然 後 令 兩 個 指 標 的 差 異 值 為
(
ˆ ˆ)
ˆ* " "
1 CpmkA1 CpmkB1
D = − 。
步驟四：重複步驟三 N 次。
重複進行步驟三N =1000次並算得 1000 個D ，將 1000 個ˆ1* D 值由小到ˆ1*
(3) 實際C"pmk指標差異值與模擬出 1000 組的C"pmk指標差異值之信賴區間做 比較，發現 1000 組中有 935 個涵蓋 D 值，即表示實際製程指標C"pmk 差 異值落於 BCa 信賴區間的機率約為 93.5﹪。本研究方法在此製造條件下 建構之信賴區間涵蓋真實指標的機率稱為績效，故績效約為 0.935。
接著比較績效指標與所訂之信賴水準，如果績效值達到此信賴水準時，即可 判定此模擬結果具有很高的可信度。當績效指標符合一樣本數n=1000、P=0.95 之 二 項 分 配 的 隨 機 變 數 ， 其 涵 蓋 真 實 績 效 95 ﹪ 比 例 的 信 賴 區 間 為
(
0.9365,0.9635)
，表示我們有 95﹪的信心認為真實績效的信賴區間應落於 0.9365至 0.9635 之間。因此模擬的績效若高於 0.9365，即表示所得到的 BCa 複式信賴區 間效果很好，而我們在常態下績效約為 0.935，非常接近 0.9365，證明本研究以 複式模擬法建構非對稱規格區間之C"pmk指標信賴區間的方法其有效性。
3.2.2 運用複式模擬法建構C"pmk指標信賴區間的敏感度分析
本研究以蒙地卡羅模擬的方式進行C"pmk指標差異值之信賴信賴區間的敏感 度分析，藉由改變製程參數值（製程平均值µ 與標準差σ）和抽樣樣本數，分析 步驟如下：
（1）改變製程平均值µ 與標準差σ及抽樣樣本數。
（2）以不同參數組合來重複進行 3.2 節步驟一至步驟五 1000 次，得到不 同的績效值。
（3）評估績效值，找出 BCa 法建構C"pmk信賴區間的適當參數範圍。
本小節將製程參數設定為 USL=353、LSL=273、T=310，針對（µA,σA）=（310,
14 5
20 30 50
0.925 0.933 0.946
1.0653 0.8753 0.5127
0.0488 0.0307 0.0131
針對不同參數組合（製程平均值、製程標準差與抽樣樣本數），其分析結果如下：
（1）固定製程平均值與製程標準差，樣本數變動的績效分析
當固定製程平均值為
(
µA,µB)
=(
310,305)
、(
315,300)
及(
320,295)
，標準差為(
σA,σB)
=(
10,9)
、(
12,7)
及(
14,5)
，變動樣本數為 20、30、50 時，三種衡量指標（績效值、區間長度之平均值與區間長度之變異數）的折線圖如圖 3-5 (a)至 3-5 (i) 所示。
由圖 3-5 (a)至 3-5 (i)可知，績效值會隨著樣本數增加而略升，區間長度之平 均值與變異數會隨著樣本數增加而遞減。當樣本數為 20 時，9 個參數組合中，
只有 1 組落於真實的績效指標 95﹪信賴區間；當樣本為 30 時，9 個參數組合中，
有 1 組落於真實的績效 95﹪信賴區間；當樣本為 50 時，9 個參數組合中，有 5 組落於該區間中；並且當樣本數大於 30 以上時，有 6 組非常接近真實的績效 95
﹪信賴區間。顯示樣本數的增加能提高模擬的正確性。當樣本數大於或等於 30 時，績效值均在 0.920 以上，因此，我們建議在使用本研究流程時，樣本數至少 30 以上。
（2）固定製程標準差與樣本數，製程平均值變動的績效分析
當固定製程標準差為
(
σA,σB)
=(
10,9)
、(
12,7)
及(
14,5)
，樣本數為 20、30、50，變動製程平均值為
(
µ ,µ)
=(
310,305)
、(
315,300)
及(
320,295)
時，三種衡量指標的折線圖如圖 3-6 (a)至 3-6 (i)所示。
由圖 3-6 (a)至 3-6 (i)可知，三種衡量指標並沒有明顯隨著平均值差距的增 加，產生顯著的變動趨勢。
（3）固定製程平均值與樣本數，製程標準差變動的績效分析
當固定製程平均值為
(
µA,µB)
=(
310,305)
、(
315,300)
及(
320,295)
，樣本數為 20、30、50，變動製程標準差為(
µA,µB)
=(
310,305)
、(
315,300)
及(
320,295)
時，績效值的折線圖如圖 3-7 (a)至 3-7 (i)所示。
由圖 3-7 (a)至 3-7 (i)可知，區間長度之平均值會隨著標準差間之比例
（σA σB ）增加而略升；績效值與區間長度之變異數沒有明顯地隨著標準差間之 比例增加而有顯著變化。
綜而言之，由 BCa 信賴區間的有效性分析可知，樣本數大於 30 的狀態下，
有 6 組落於真實績效值等於 0.95 的 95﹪信賴區間，有 6 組非常接近此信賴區間 績效值並且都在 0.920 以上，這表示本研究所提供的 BCa 信賴區間建構流程具有 非常高的可信度。由 BCa 信賴區間的敏感度分析可知，樣本數增加能提高模擬 的績效值與結果的正確性，因此本研究建議在建構兩個製程能力指標C"pmk差異之 信賴區間時，樣本數最好大於或等於 30 會有比較好的效果。
上述之兩個製程能力指標C"pmk差異的信賴區間之建構流程如圖 3-8 所示。
0.000
0.000 1.000 2.000
(310, 305) (315, 300) (320, 295) 樣本數(μA,μB)
(310, 305) (315, 300) (320, 295) 樣本數(μA,μB)
(310, 305) (315, 300) (320, 295) 樣本數(μA,μB)
(310, 305) (315, 300) (320, 295) 樣本數(μA,μB)
(310, 305) (315, 300) (320, 295) 樣本數(μA,μB)
(310, 305) (315, 300) (320, 295) 樣本數(μA,μB)
(310, 305) (315, 300) (320, 295) 樣本數(μA,μB)
(310, 305) (315, 300) (320, 295) 樣本數(μA,μB)
(310, 305) (315, 300) (320, 295) 樣本數(μA,μB)
績效值 區間長度 區間變異
(i)
(
σA,σB)
=(
14,5)
，n=50圖 3-6 三種衡量指標在變動平均值時之表現折線圖
0.000
圖 3-8 以複式模擬法建構兩個製程能力指標C"pmk差異的信賴區間之流程圖
3.3 製程能力指標C"pmk應用流程之建構
目前實務上最常被使用的製程能力指標為C ，然而它往往不能反應平均值pk 偏離目標值與非對稱規格製程的清況，甚至誤判製程能力。根據之前學者的文獻 探討中發現製程能力指標C"pmk能改善這樣的缺點，本研究以複式模擬法建構出
"
Cpmk指標之信賴下限與兩個指標差異值之信賴區間，以彌補C"pmk相關的假說檢 定與信賴區間未被發展出之實務應用上的限制。
3.3.1 使用製程能力指標C"pmk來評估單一製程的穩定與優劣之流程 本小節將說明如何利用 3.1 節所構建的方法來評估製程（供應商）的穩定與 優劣，其應用流程說明如下：
步驟一、蒐集樣本資料，建議樣本數超過 30 筆。
步驟二、將樣本資料及製程的規格上下限、目標值、模擬重複次數及α值輸 入撰寫程式之欄位中。
步驟三、由步驟二的執行結果產生製程能力指標C"pmk之 100（1-α）%信賴 下限。
步驟四、利用以下之原則來判別製程（供應商）之優劣。
1. 當信賴下限大於某特定值時，則製程（供應商）製程能力佳。
2. 當信賴下限所小於某特定值時，則製程（供應商）製程能力不 佳，應及時改善。
3.3.2 使用製程能力指標C"pmk來比較兩個製程之能力的優劣之流程 本小節將說明如何利用 3.2 節所構建的方法來判斷兩個製程或供應商之優 劣，其應用流程說明如下：
步驟一、蒐集兩筆樣本資料，樣本 A 與樣本 B，建議各樣本數超過 30 筆。
步驟二、將樣本資料及製程的規格上下限、目標值、模擬重複次數及α值輸 入撰寫程式之欄位中。
步驟三、由步驟二的執行結果產生一製程能力指標C"pmk差異值之 100（1-α）
%信賴區間。
步驟四、判別兩個製程（供應商）之優劣。判定原則如下：
1. 信賴區間所包含的兩個數皆為正時，表示製程（供應商）A 優於製 程（供應商）B。（信賴區間未包含 0）
2. 當信賴區間所包含的兩個數皆為負時，表示製程（供應商）B 優於 製程（供應商）A。（信賴區間未包含 0）
3. 當信賴區間所包含的兩個有正有負時，表示製程（供應商）A 與製 程（供應商）B 之製程能力沒有顯著差異。（信賴區間包含 0）
第四章 實例說明
本章引用 Cheng[7]發表之論文中的實例來說明如何運用本研究之評估流程。
汽車零件製造商在製程處於管制狀態下，從生產線上抽取 60 個零件來檢驗其製 造能力，量測單位為英吋（inch），規格上限為 2.3，規格下限為 1.4，目標值為 1.75。同時，定義製程能力指標C"pmk值大於 1 時，製程能力判定為良好；在改善 活動前、後分別抽取 60 個樣本為樣本 1 與樣本 2，樣本資料如表 4.1、表 4.2 所 示。
表 4.1、改善活動前：樣本 1
2.05 1.55 1.65 1.65 1.65 1.75 1.65 1.75 1.65 1.75 1.85 1.85 1.85 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.75 1.85 1.60 1.75 1.75 1.60 1.75 1.50 2.05 1.55 1.70 1.75 1.65 1.85 1.75 1.85 1.75 1.85 1.65 1.65 1.95 1.65 1.65 1.65 1.75 1.65 1.75 1.70 1.85 1.75 1.65 1.65 1.75 1.65 1.75 1.65 2.00 2.10 1.65 2.05 1.75 1.85
表 4.2、改善活動後：樣本 2
1.65 1.65 1.75 1.65 1.75 1.75 1.65 1.65 1.75 1.75 1.65 1.95 1.65 1.65 1.65 1.85 1.65 1.75 1.85 1.65 1.75 1.75 1.65 1.95 1.65 1.75 1.65 1.85 1.65 1.75 1.65 1.65 1.75 1.75 1.65 1.95 1.65 1.75 1.65 1.95 1.75 1.75 1.75 1.85 1.75 1.65 1.75 1.75 1.65 1.65 1.75 1.85 1.75 1.75 1.65 1.75 1.75 1.75 1.85 1.75
利用 3.1 與 3.2 節所構建的方法來判斷製程進行改善活動後，製程能力是否 有明顯的提升，其應用流程說明如下：
步驟一、收集改善活動前、後的樣本資料各 60 筆，如表 4.1、表 4.2。
步驟二、將樣本 1 的資料及製程目標值 1.75、規格上限 2.3、規格下限 1.4 及模擬重複次數輸入撰寫程式之欄位中。
步驟三、由樣本 1 所得之C"pmk指標 95﹪的信賴下限為 0.7638853。判定此時 的製程能力不佳。
步驟四、輸入樣本 2 的資料，並重複執行步驟二。
步驟五、由樣本 2 所得之C"pmk指標 95﹪的信賴下限為 1.155853。判定改善 活動後製程能力有顯著的提升。
步驟六、將兩筆樣本資料，製程目標值、規格上下限及模擬重複次數輸入撰 寫程式之欄位中。
步驟七、所得之C"pmk指標差異值的信賴區間為（-1.323151，-0.4195106）。
根據判斷法則，因為信賴區間未包含 0，判定製程 2 的製程能力優 於製程 1，所以改善活動有顯著的績效，製程能力明顯提升。
第五章 結論
製程能力指標C"pmk能同時應用於對稱與非對稱規格的實際製程狀況，能同時 考慮製程平均值、製程變異與製程平均值偏移目標值的情況。本研究流程應用複 式模擬法之 BCa 區間估計法推估單一樣本之C"pmk指標值之信賴下限與兩個C"pmk 指標差異值的信賴區間，經由有效性分析與敏感度分析後，皆有良好的績效成 果。為了增加本研究方法的實用價值，我們也撰寫了詳細的應用流程，希望能迅 速推廣到各個領域。
現將本研究的主要貢獻彙整如下四點：
1. 本研究發展出一複式區間估計法來推估關於一組樣本之C"pmk指標之信賴下 限。業界可以根據本研究所建構之C"pmk信賴下限結果，訂立某製程是否需要 改進，或評估製程的穩定與優劣。
2. 本研究發展出一複式區間估計法來建構一個關於兩個C"pmk指標差距的信賴
2. 本研究發展出一複式區間估計法來建構一個關於兩個C"pmk指標差距的信賴