鋼筋混凝土牆非線性行為探討

本節將介紹軟化桁架模型的力學原理，其中包含力平衡方程式、變形的諧 和，與材料之組成律，透過這些力學原理為基礎，本文提出一非線性容量曲線的 計算流程，可得到拉壓桿件之非線性特性，作為鋼筋混凝土牆塑性鉸設定之依據。

一、軟化拉壓桿桁架模型之基本理論

軟化拉壓桿桁架模型(softened strut and tie model)主要有以下五種模式：

1. 拉壓桿模式 (Strut-and-Tie Model)：

原理：僅考慮力平衡條件。

應用：適用於局部設計。

2. 平衡桁架模式 (Equilibrium Truss Model)：

原理：考慮力平衡條件與塑性理論。

應用：結構物有關彎矩、軸力、剪力和扭矩在極限載重時的分析與設計。

3. 白努力變形諧合桁架模式 (Bernoulli Compatibility Truss Model)：

原理：考慮力平衡條件、變形諧合關係以及鋼筋和混凝土之材料組成律。

應用：在結構物重要部分由於其有考慮變形諧合及材料之應力-應變關係，故 可以對彎矩及軸力在工作載重及極限載重時作分析與設計。

4. 莫耳變形諧合桁架模式 (Mohr Compatibility Truss Model)：

原理：考慮力平衡條件、莫耳(Mohr)變形諧合關係以及鋼筋和混凝土之材料 組成律之彈性階段即虎克(Hook)定律。

應用：對於結構物中的剪力及扭矩作分析與設計。雖然有考慮材料組成律，

但因只考慮於彈性階段，所以僅能應用於工作載重，無法應用於極限 載重階段。

5. 軟化桁架模式 (Softened Truss Model)：

原理：考慮力平衡條件、莫耳(Mohr)變形諧合關係以及鋼筋和混凝土之材料 組成律，混凝土之組成律需考慮雙軸軟化效應，即考慮混凝土軟化效 應之應力-應變關係，鋼筋之組成律可為線性或非線性。

應用：可對結構物中承受剪力及扭矩在工作載重和極限載重階段作分析與設 計。

以上五種桁架模式是由最早的拉壓桿模型 (Strut-and-Tie Model)所演進而 來，此模式是考慮鋼筋混凝土結構物受外力時由混凝土承受壓力，鋼筋承受拉 力，且壓力與拉力必須平衡，在此情況下，又發展出平衡桁架模式 (Equilibrium Truss Model)，此種模式應用於結構桿件之極限強度的設計上，有不錯的效果，

但分析結構物時僅考慮力平衡是不夠的，為了能更詳細的研究結構物之力與變形 的關係，則必須考量材料應變諧合關係，於是在此時又發展出另一種模式為白努 力變形諧合桁架模式 (Bernoulli Compatibility Truss Model)，此模式在 19 世紀末 期被工程師廣泛的應用於解決有關鋼筋混凝土的問題。之後的研究又發現，當鋼 筋混凝土元素承受剪力時，其開裂的傾斜角度恰好與其在莫爾圓上之主應力及主 應變之角度相同，意即其諧合方程式可經由莫爾圓上之幾何關係被建立出來，因 此桁架模式又發展為莫耳變形諧合桁架模式 (Mohr Compatibility Truss Model)，

此模式型包含三個力平衡方程式與三個諧合方程式以及四個材料組成律之平衡 式。但由於混凝土與鋼筋之材料組成律是基於虎克 (Hooke’s) 定律，故桿件元素 受力後的行為只考慮彈性階段，僅適用於工作載重，無法應用於極限載重階段。

到了 1972 年發展出一桿件元素非線性分析的方法，此模型稱為軟化桁架模型 (softened truss model)，其組成的方程式是經由實驗取得之混凝土與鋼筋應力-應 變關係，此模式混凝土應力-應變曲線可反應兩個特性，其一為應力-應變兩者之 間為非線性的關係，其二為混凝土在其抗壓之垂直方向受到張力時會發生抗壓強 度減弱之現象，稱其為軟化現象，故受壓混凝土的應力-應變關係方程式需考量 一軟化係數。因此根據力平衡條件，應變諧合與材料混凝土的軟化，徐增全正式 提出軟化桁架模式(Softened Truss Model)，故本文採用此桁架模式為理論基礎，

第三章 鋼筋混凝土構件非線性行為

進行鋼筋混凝土剪力牆之分析。

二、矮牆基本力學原理(適用於 h/d

^

0.8)

1. 平衡方程式(Equilibrium)

對於鋼筋混凝土牆之混凝土而言，圖3.15中元素應力



  lc^, tc^, ltc



之兩主軸 方向可表示為d 與 r 方向，定義主壓應力(負值)為_d，主拉應力(正值)為_r。



^ltc



^ltc



^ltc



^ltc



^lc



^lc



^tc



^{tc l t}



^r



^r



^d



^d

d r

t

(a) (b)

圖3.15 鋼筋混凝土應力元素

【資料來源：參考書目54】

若鋼筋混凝土牆之高度以h 表示，寬度或有效深度以 d 表示，且視其對角線 為拉壓桿件之方向，則介於d-axis 與 t-axis 之轉角θ即可表示為(主軸方向)：

tan 1 h

  ^{  }  d (3.57) 基於固定轉角之軟化桁架分析模式(Fixed Angle Softened Truss Model)理

論，混凝土開裂後之開裂角度與θ 一致，對於混凝土而言，力平衡方程式可由莫 耳圓表示為：

 

^{sin cos}

ltc d r

      (3.58)

2 2

cos sin

lc d r





  





(3.59)

2 2

sin cos

tc d r





  





(3.60)

式中



_ltc：混凝土之平均剪應力

_lc：鋼筋混凝土剪力牆體中混凝土之縱向(Longitudinal Direction, l 向)應力 _tc：鋼筋混凝土剪力牆體中混凝土之橫向(Transverse Direction, t 向)應力

這三個方程式包含了六個變數，分別為_ltc、_lc、_tc、_d、_r、



，若給 定其中三個變數，則另外三個變數即可由力平衡方程式求得。

若將式(3.59)與式(3.60)相加，即其中四個正向應力_lc、_tc、_d與_r會有 一簡單的關係式，表示為：

(3.61) 由此關係式可知，若欲求得任一正向應力，只須給定其他三個正向應力值，

即可求得。

混凝土所承受之剪力V 可表示為： _c

c ltc w

V 



 b d (3.62)

式中

b ：混凝土牆體之寬度 _w d：混凝土牆體之有效深度 鋼筋所承受的剪力可表示為：

s st t

tan

V A f d

s



  

_(3.63)

式中

lc tc d r

      

第三章 鋼筋混凝土構件非線性行為

2. 諧合方程式(Compatibility)

鋼筋混凝土剪力牆腹版任一點之應變，橫向應變為 ，縱向應變為_t  ，而剪_l 應變為_lt。假設對角線主應變為 ，與其垂直另一主應變為_d _r，諧合方程式之 推導可以混凝土兩個方向之主應變( , ) _{d r} 與l、t方向應變( , ,  _{l t lt})之轉換關 係(如圖3.16)表示如下：

2 2

cos sin

l d r

      

(3.65)

2 2

sin cos

t d r

若將式(3.65)與式(3.66)相加整合，即其中四個正向應變_l、_t、_d與_r會

以量 oronto 大學 考慮應力的

0

PEAK SOFTENING COEFFICIENT, ζ

AVERAGE TENSILE STRAIN, εr

1

Vecchio 與 Collins (Vecchio and Collins, 1986)回歸混凝土受拉之應力應變 曲線關係如圖3.19，此曲線包含了兩種曲線型態，在開裂點前之曲線為線性階

c

ain relation 視為完全彈塑

nship of stee 塑性，其曲線

【資料來源：參考書目54】

sin cos

t d r

     和_lt/ 2 (  _d _t)sin cos 等三式計算求得。

【步驟9】由固定轉角之軟化桁架分析模式(Fixed Angle Softened Truss Model)理

第三章 鋼筋混凝土構件非線性行為

論，混凝土開裂後之開裂角度與θ 一致，則從莫耳圓表示力平衡方程式。

【步驟10】計算混凝土所承受之剪力V_c _ltc  。 b_w d

其中剪應力ltc  



d r



^{sin cos} ，b 為混凝土牆體之寬度，_w d為 混凝土牆體之有效深度。

【步驟 11】依鋼筋應力應變關係，由_l 、 計算_t f 與_l f 。 _t

【步驟 12】以牆體橫向鋼筋之面積A 、應力_st f 與間距_t s，計算鋼筋所承受的剪力

s st t tan

V A f d

s 

   ，計算 V V_cV_s。

【步驟13】假設 V V tolerance,計算 _ltc且計算剪力位移  _ltc 並記錄 Vh 與



，當 _d/ ₀  則1  V 0，或 _d/ ₀  則1  V 0 接著重覆步驟 3，假設V V tolerance，則回到步驟5。

【步驟14】檢核若_d 小於-0.0035，則增加_d之增量並回到步驟4 重新迭代運算；

否則終止運算。

【步驟 15】如完成前述步驟，所得之結果為 RC 牆水平向所對應之力與位移的關 係。可透過此二式：V_strut V / cos 、_strut   cos，轉換至對角等 值斜撐方向，依此作為軸力塑鉸之依據，最後設置於梁柱框架中，以 進行推覆分析。

圖3.21 鋼筋混凝土矮牆非線性容量曲線計算流程(適用於 h/d^0.8)

【資料來源：參考書目38】

經由上述步驟，可求得當施加於鋼筋混凝土牆頂部之水平力持續增加時，

牆體混凝土、橫向鋼筋與縱向鋼筋各別所對應之應力－應變如圖 3.22 所示。

其中混凝土受壓之應力應變曲線如圖3.22(a)所示；混凝土受拉之應力應變曲線 如

圖 3.22

(b)所示；

圖 3.22

(c)為縱向鋼筋之應力應變曲線；圖3.22(d)為橫向 鋼筋之應力應變曲線。

選定 初始

STOP

Yes

Yes

Yes No No

No 設定水平力V=0

假設

、

圖，

stress (kg/cm^2)

0.000

stress in tension

-250

-200 -150

stress in com Specimen t=3 p=0.008

-200 -150

) Specimen t=3 p=0.008

L-reinforcement

stress (kg/cm^2)

0

strain in tension

第三章

0.000 0.001

0 000 000 000

0.000 0.001

-0.005 -0.004 -0.0

strain

-0.005 -0.004 -0.0

章 鋼筋混凝土

0.002 0.003

strain Specimen t=3 p=0.008

T-reinforcemen

0.002 0.003

003 -0.002 -0.001

n in compression en t=3 p=0.008

003 -0.002 -0.001

土構件非線性

圖3.24 剪應力-剪應變關係

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

shear strain 0

shear stress (kg/cm^2)

0

Specimen t=3 p=0.008 shear strain- shear stress

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

displacement (cm) 0

force (kg)

0

Specimen t=3 p=0.008 V Vc Vs

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

第三章 鋼筋混凝土構件非線性行為

將此牆體水平剪力-水平變形關係透過下二式轉換到鋼筋混凝土牆等值斜撐 之方向，即可得到鋼筋混凝土牆體等值斜撐之力-位移關係，如圖3.26所示。

/ cos

strut

V V  (3.77)

, ,

d r t lt

    (3.78)

圖3.26 鋼筋混凝土等値斜撐之力－位移

【資料來源：參考書目31】

得到鋼筋混凝土牆體等值斜撐之力-位移關係後，將此作為鋼筋混凝土牆等 值軸力塑性鉸設定之基準，如圖3.27所示，即為軸力塑性鉸輸入之值點。

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

displacement (cm) 0

10000 20000 30000 40000 50000

force (kg)

0 10000 20000 30000 40000 50000

Specimen t=3 p=0.008 strut curve

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

圖3.27 軸力塑性鉸輸入之值點

【資料來源：參考書目31】

三、高牆基本力學原理(適用於 h/d > 0.8)

對於鋼筋混凝土高牆而言，在分析階段將同時考慮撓曲與剪力行為，與矮牆 僅考量剪力行為之分析方法不同。

3.4.3.1 鋼筋混凝土高牆非線性容量曲線之分析流程

鋼筋混凝土高牆非線性容量曲線計算流程如圖 3.28 所示，其詳細運算簡述 如下：

【步驟 1】：輸入鋼筋混凝土牆體斷面尺寸、混凝土強度、縱向與橫向鋼筋降伏 強度、鋼筋根數、鋼筋直徑與軸向力。

【步驟2】：設定牆之撓曲曲率為κ，各纖維元素中心距牆斷面受壓側最外緣處之 距離為 x，則各纖維元素之應變為： 。εc為受壓側最 外緣處之應變。

【步驟 3】：將步驟 2 之公式帶入混凝土之組成律 可得各纖維之應力

，因此各纖維元素所受軸力 。 為各纖維元素之

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Force (kg)

Displacement (cm)

Specimen t=3 p=0.008

c x

i  



) ( _i

i f 

 

i N_i _iA_i A_i

第三章 鋼筋混凝土構件非線性行為

cos sin

l d r

式。若θ 未符合 ，則回到步驟6。

【步驟13】：計算混凝土所承受之剪力V_c _ltc  。其中剪應力b_w d

 

^{sin cos}

ltc d r

     。b 為混凝土牆體之寬度，_w d為混凝土牆 體之有效深度。

【步驟 14】：依鋼筋應力應變關係，由_l 、 計算_t f 與_l f 。 _t

【步驟15】：以牆體橫向鋼筋之面積A 、應力_st f 與間距_t s，計算鋼筋所承受的剪 力 _{s st t} d tan

V A f

s 

   ，計算 V V_c V_s。

【步驟 16】：配合元素應力所旋轉之角度 θ，反推未旋轉前之剪力與應力，可得 牆斷面剪力 = (混凝土剪力)+ (鋼筋剪力)，如由前述所推

論之 ，其轉角θ 為該元素應力所旋轉之角度。否則令 重回步驟6。

【步驟17】：檢核若_d 小於-0.0035，則增加_d之增量並回到步驟7 重新迭代運 算；否則終止運算。

【步驟18】：如完成前述步驟，所得之結果為 RC 高牆水平向所對應之力與位移 關係。

90 0

V V_c V_s

V V₀ 





  

第三章 鋼筋混凝土構件非線性行為

圖3.28 鋼筋混凝土高牆非線性容量曲線計算流程(適用於 h/d > 0.8)

【資料來源：參考書目31】

將此牆體水平剪力-水平變形關係透過下二式轉換到鋼筋混凝土牆等值斜撐 之方向，即可得到鋼筋混凝土牆體等值斜撐之力-位移關係。

將此牆體水平剪力-水平變形關係透過下二式轉換到鋼筋混凝土牆等值斜撐 之方向，即可得到鋼筋混凝土牆體等值斜撐之力-位移關係。

在文檔中 鋼筋混凝土建築物耐震能力評估平台－SERCB 補強模組之開發與建築物評估補強案例編撰 (頁 109-129)