降壓型轉換器數學模型

替代的同步降壓型轉換器，如圖2.1 與 2.2 所示，由於一般非同步降壓型轉換器 上的二極體，使得能量只能單方向從電源端到輸出端，而因馬達剎車時會有大 量的機械能量回流，因此並不適用於馬達驅動。故本論文選用後者的同步降壓 型轉換器，由雙向導通的電晶體取代單向導通的二極體，便可使馬達急停的反 電動勢能量消耗掉，而本節將採用並推導其於連續導通模式下的數學模型。

圖 2.1 非同步降壓型轉換器 圖 2.2 同步降壓型轉換器

圖 2.3 同步降壓型轉換器電感及開關波形圖

圖 2.3 說明同步降壓型轉換器於連續導通模式下的電感及開關波形圖，根據 圖2.2 及 2.3，𝑇_𝑠𝑤為切換週期，由上臂導通時間𝑡_𝑜𝑛與上臂關閉時間𝑡_𝑜𝑓𝑓組成，而 上臂開關與下臂開關的訊號必須相反，工作週期𝐷則為

𝐷 = 𝑡_{𝑜𝑛,𝐻𝑆}

𝑡_{𝑜𝑛,𝐻𝑆}+ 𝑡_{𝑜𝑓𝑓,𝐻𝑆} ≅ 𝑉_𝑜𝑢𝑡

𝑉_𝑖𝑛 (2.1)

其中下標HS 表示上臂開關，𝑉_𝑜𝑢𝑡為輸出電壓，𝑉_𝑖𝑛為輸入電壓。此外藉由電感電 壓方程式

𝑉_{𝐿,𝑜𝑛}= 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡≅ 𝐿 ∆𝑖_𝐿

𝑡_{𝑜𝑛,𝐻𝑆} (2.2)

其中𝑉_{𝐿,𝑜𝑛}為上臂導通時電感電壓、∆𝑖_𝐿為電感電流漣波，將其移項後可推估最小 電感值

𝐿_𝑚in =𝑉_{𝐿,𝑜𝑛}× 𝑡_{𝑜𝑛,𝐻𝑆}

∆𝑖_𝐿 (2.3)

(2.3)式中的𝐿_𝑚in定義為最小電感值，而由圖2.2 所表示，𝑉_{𝐿,𝑜𝑛}可推導為

𝑉_{𝐿,𝑜𝑛} = 𝑉_𝑖𝑛− 𝑉_𝐻𝑆− 𝑉_𝑜𝑢𝑡 (2.4)

其中𝑉_𝐻𝑆為上臂開關導通電壓降，與開關導通電阻𝑅_{𝐷𝑆,𝑜𝑛,𝐻𝑆}及導通電流成正比。

而工作週期𝐷亦可由開關切換頻率𝑓_𝑠𝑤表示為

𝐷 =𝑡_{𝑜𝑛,𝐻𝑆}

𝑇_𝑠𝑤 = 𝑡_{𝑜𝑛,𝐻𝑆}× 𝑓_𝑠𝑤 (2.5)

將(2.4)與(2.5)兩式帶入(2.3)式便可得到

𝐿_𝑚𝑖𝑛= (𝑉_𝑖𝑛− 𝑉_𝐻𝑆− 𝑉_𝑜𝑢𝑡) × 𝐷

∆𝑖_𝐿× 𝑓_𝑠𝑤 (2.6)

其中電感的電流漣波∆𝑖_𝐿可由電感電流漣波比𝐿𝐼𝑅，即為電感電流漣波之峰對峰 值和直流值之比例，與最大輸出電流𝐼_{𝑜𝑢𝑡.𝑚𝑎𝑥}表示為

∆𝑖_𝐿 = 𝐿𝐼𝑅 × 𝐼_{𝑜𝑢𝑡,𝑚𝑎𝑥} (2.7)

並將上式帶入(2.6)式後得

𝐿_𝑚𝑖𝑛= (𝑉_𝑖𝑛− 𝑉_𝐻𝑆− 𝑉_𝑜𝑢𝑡) × 𝐷

𝐿_𝑚𝑖𝑛 = ( 𝑉_𝑖𝑛− 𝑉_𝐻𝑆− 𝑉_𝑜𝑢𝑡

𝐿𝐼𝑅 × 𝐼_{𝑜𝑢𝑡,𝑚𝑎𝑥}× 𝑓_𝑠𝑤) × ( 𝑉_𝑜𝑢𝑡+ 𝑉_𝐿𝑆

𝑉_𝑖𝑛− 𝑉_𝐻𝑆+ 𝑉_𝐿𝑆) (2.15) 由於功率元件開關的電壓降𝑉_𝐻𝑆與𝑉_𝐿𝑆相較於驅動器輸入電壓𝑉_𝑖𝑛及輸出電壓𝑉_𝑜𝑢𝑡 通常很小，因此(2.15)式可以藉由忽略上下臂開關的電壓降簡化得到

𝐿_𝑚𝑖𝑛 ≅ (𝑉_𝑖𝑛− 𝑉_𝑜𝑢𝑡) × 𝐷

𝐿𝐼𝑅 × 𝐼_{𝑜𝑢𝑡,𝑚𝑎𝑥}× 𝑓_𝑠𝑤 (2.16) 接下來會繼續說明電容容值推導，由於電感上的電流可以分為直流與交流兩 部分，交流部分理論上會藉由轉換器輸出端的電容旁路消散掉，因此便可利用此 特性進行推導，圖2.4 為同步降壓型轉換器的電感及電容的波形圖。

圖 2.4 同步降壓型轉換器電感及電容波形圖

根據電容的電流方程式

𝑖_𝐶 = 𝐶 ×∆𝑉_𝐶

∆𝑡 (2.17)

並將其移項後可得

∆𝑡 × 𝑖_𝐶 = 𝐶 × ∆𝑉_𝐶 = ∆𝑄_𝐶 (2.18)

其中∆𝑄_𝐶為電容的電荷變化量，∆𝑉_𝐶為電容電壓漣波，而∆𝑡為時間變化量，藉由圖

最後將上式移項並帶入(2.7)與(2.21)兩式後，可得到

𝐶_𝑚𝑖𝑛 = 𝐿𝐼𝑅 × 𝐼_{𝑜𝑢𝑡,𝑚ax}

8 × 𝑓_𝑠𝑤× 𝐶𝑉𝑅 × 𝑉_𝑜𝑢𝑡 (2.24) 由於本論文旨在縮小驅動器被動元件體積及提升其功率密度，因此前級同步

降壓型轉換器電感與電容的取捨將格外重要，而本節透過同步降壓型轉換器的數 學模型，推導出最小電感值與最小電容值的方程式(2.16)與(2.24)，將於下一小節 利用上述兩式，進行電感值與電容值的分析與選擇。