第三章 測高曲線計算
3.2 集水區測高曲線計算
Harlin (1978)以低階(2 階或 3 階)多項式經過迴歸計算擬合測高曲線，經積分計算得 到測高曲線積分，計算多項式之一階矩、二階矩、三階矩和四階矩獲得多項式之期望值、
變異數、偏度以及峰度。
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圖 3.5、測高曲線 (Harlin, 1978)
圖 3.5 中測高曲線可視為一累加分佈函數，以多項式如式(4)的形式表示，通常以 2 階或是 3 階多項式即可表達測高曲線，本研究以 3 階多項式進行計算。將多項式對橫軸 積分，式(5)(6)，可得圖 3.5 中 R 的面積，即為測高曲線下之面積，稱為測高曲線積分。
𝑓(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 (4) 𝐻𝐼 = ∫ 𝑎01 0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2+ 𝑎3𝑥3𝑑𝑥 (5) 𝐻𝐼 = [𝑎0𝑥 +12𝑎1𝑥2+13𝑎2𝑥3+14𝑎3𝑥4]
0
1 = ∑3𝑘=0𝑘+1𝑎𝑘 (6)
𝜇1～𝜇4定義為一階至四階之中心矩，式(7)～式(10)，一階中心矩表示期望值，二階 中心矩表示方差𝜎2，偏度定義為三階標準矩，等於三階矩除以標準差之三次方；峰度定 義為四階標準矩，等於四階矩除以標準差之四次方，式(11)、式(12)。
偏度分成兩種情況，左偏與右偏，左偏又稱負偏態，左側的尾部較長，分布的主體 集中在右側；右偏又稱正偏態，右側的尾部較長，分布的主體集中於右側。峰度表示分 佈的峰態，描述一個對稱性分佈之峰點相對比較扁平或高聳的狀況(維基百科，2012)。
𝜇1 =𝐻𝐼1 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥01 = 𝐻𝐼1 ∑3𝑘=0𝑘+2𝑎𝑘 (7) 𝜇2 =𝐻𝐼1 ∫ (𝑥 − 𝜇1)01 3𝑓(𝑥)𝑑𝑥= (𝐻𝐼1 ∑3𝑘=0𝑘+3𝑎𝑘) − 𝜇12 = 𝜎2 (8)
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表 3.2、測高曲線各參數意義 (Harlin, 1978)
參數 意義
測高曲線積分(Hypsometric Integral) 原始地形受侵蝕後之殘土量
偏度(Skewness) 集水區上游河段向源侵蝕程度
密度偏度(Density Skewness) 曲線坡度變化率
峰度(Kurtosis) 集水區上下游地區侵蝕程度
密度峰度(Density Kurtosis) 集水區中段之坡度
測高曲線之形狀與偏度和密度偏度之關係如圖 3.6，較小測高曲線積分之測高曲線 呈凹形，曲線分佈左偏程度大，有較大之偏度，因測高曲線左段之坡度較大，密度函數 呈現左偏，密度偏度值為正值；測高曲線積分大之測高曲線形狀為凸形，曲線分佈較靠 右，偏度值小，測高曲線右段坡度變化大，密度函數右偏，密度偏度為負值(Luo, 2000)。
圖 3.6、測高曲線形狀與偏度和密度偏度之關係 (Luo, 2000)
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測高曲線之計算軟體 CalHypso (Pe´ rez-Pen˜a, 2009)，為架構在 ESRI ArcGIS 9.3 下
之擴充模組(Extension)，如圖 3.7，軟體運作時必須輸入集水區之範圍與包含集水區範圍 之 DEM 資料，在 ArcGIS 內匯入 26 個集水區流域界與集水區 DEM，於 26 個集水區流 域界圖層之屬性表中選擇要計算之集水區，本次操作以磺溪為例，於 CalHypso 操作面 板之 Basins 選擇集水區圖層，然後選擇台灣集水區 DEM，計算獲得集水區之測高曲線。
CalHypso 計算測高曲線之步驟如下：
(1) 以集水區之多邊形萃取集水區範圍 DEM。
(2) 將 DEM 高程值轉換成整數，統計各高程出現次數，製作屬性表。
(3) 計算相對面積和相對高程繪出測高曲線。
(4) 多項式擬合測高曲線，計算測高曲線積分與統計矩。
圖 3.7、CalHypso
圖 3.8 為 CalHypso 繪出之測高曲線，取出 40 個點以 3 階多項式擬合，得到多 項式 0 階項至 3 階項係數，代入式(3)～式(9)，得到測高曲線積分、偏度、峰度、密度 偏度與密度峰度，測高曲線之各參數如圖 3.9 所示。
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圖 3.8、CalHypso 之測高曲線計算
圖 3.9、計算測高曲線積分與統計矩
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