頻域上的分析

一.取樣長度 (Frame Size)

取樣長度為時域上樣本的總數，也就是樣本的長度。無論如何取 數據永遠不可能取到無限多，只有有限的大小，因此在頻域上取到的 訊號不會是只有單一個頻率值而有一個頻寬，也就是說取樣長度的傅 立葉轉換將會由ℑ{1}=δ(0)變為 { ( )} a Sinc(af)

a

rect t = ⋅

ℑ ，因此取樣長度做

傅立葉轉換之後在頻域為Sinc(af)函數。

由(2.11)式，光彈調變式橢圓偏光儀的訊號可以用直流訊號以及 基偶倍頻訊號相加減來表示。我們可以簡化表示為

)... 換，相當於訊號的傅式頻譜與Sinc(af)函數做褶積(Convolution)，因此 在頻譜上可以表示為

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x 10⁵ -0.4

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

DC及一倍頻與Sinc函數做褶積以及其和對頻率的圖

頻率 ( Hz )

光強度

Idc

I1f

圖3-1 直流及一倍頻與 Sinc 函數褶積的結果恰可鑑別

二.取樣頻率(Sampling rate f_s)

取樣頻率 f_s影響頻域上兩樣事情，一為Nyquist Rate，二為時域 及頻域上的點數。

首先取樣頻率 f_s要大於Nyquist Rate， f_s >2f ，此時在頻域上訊 號才不會互相干擾，因此取樣頻率所要考慮的其他影響只有剩下取樣 點數的問題。

由離散傅立葉轉換的定義我們得知時域上有N 個取樣點數對應 於頻率上就會有N個點[9]。假設 PEM 的振動頻率為 f₀，當取樣頻率為

fs表示時域上一週期共取樣了 f_s/ f₀個點。取樣頻率 f_s表示在頻域上 頻率長度為 f_s，且頻域上的點數與時域上相同皆有 f_s/ f₀個點，因此 頻域上每一點頻率的間隔為 f₀。又離散傅立葉轉換為離散的時域對應 到離散的頻域，只有離散值並沒有小數值，所以要正確的表達一個週 期內的訊號，取樣頻率要剛剛好恰為 PEM 頻率的整數倍，所以

⋅

= ， ∈ 。由 Nyquist Rate 得知 至少為2 f ，所以取樣頻率 Idc 與 I1f 疊加

為訊號頻率的整數倍且至少為兩倍。

f0

n

f_s = ⋅ ，n∈N，n>2。 (3.5)

三. 取樣的方法

若取樣長度為一週期，在頻域上離散頻率點之間的距離剛好為 PEM 訊號頻率 f₀。我們想在各倍頻之間多加一點，且這一點可以把我 們有興趣的倍頻訊號分隔開來，我們拿的取樣的點數為一週期取樣點 數的兩倍，也就是取樣長度取了 PEM 訊號週期的兩週。恰巧地，取樣 長度在頻域所造成的結果，δ(f)⊗Sinc(2af)= Sinc(2af)的第二零點會落 在一倍頻δ(f − f₀)⊗Sinc(2af)=Sinc(2a(f − f₀))的中心變成洽可鑑別，如 圖 3-2 所示。其他倍頻可以依此類推。因此各倍頻之間不會相互影 響，且分隔各倍頻的頻率點的函數值為0，我們可以輕易的分辨並抓 取到各個倍頻訊號的值。因此在相同的頻寬之下，想要增加頻域上的 點數就要增加取樣周期的數目，我們增加頻域上的點數多一倍，取樣 長度就增加了一倍，因此取樣長度我們取 PEM 周期的 2 倍，也就是兩 週來做一次傅立葉轉換。

在取樣頻率方面，我們想要量到輸出光訊號的四倍頻，要滿足 Nyquist rate 條件底下，取樣頻率至少要是 PEM 4 倍頻訊號的 2 倍，

也就是51*4=204 KHz 的 2 倍，為 408 KHz。所以取樣頻率至少要取 PEM 頻率51 KHz 的 8 倍，且要為 PEM 頻率的整數倍。為了一併處理 時域上波形的表現，我們採用 DAQ 卡的最高取樣頻率 5M Hz 當作我 們的取樣頻率，此為 PEM 基頻 51 KHz 的 98 倍，符合(3.5)式是為訊 號頻的倍數。

取樣週期為PEM 的兩周期，做一次傅立葉轉換，理論上頻域每 一個點的間隔為25.5 KHz，只有在倍頻訊號上面有函數值在其餘非倍 頻訊號的頻率點上的函數值均為0。

所以我們取 5M Hz 的取樣頻率來擷取所有的數據，而在頻域解析 法中我們取兩週做傅立葉轉換。 (3.6)

-2 -1 0 1 2 3 4

x 10⁵ -0.4

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

在取兩週做傅氏轉換後DC及一倍頻值與Sinc函數褶積對頻率的圖

頻率 ( Hz )

傅氏轉換值

Idc

I1f / 2

圖3-2 兩週取樣週期直流及一倍頻與Sinc 函數褶積的結果