頻譜諧波計算與分析

當我們了解頻譜的意義後，如何計算頻譜中諧波的大小[37][38] 對於我們設計直接 式數位頻率合成器來說，是相當重要的事情。以一個週期性函數

f

(t)為例，則傅立葉級數展開 式為



^









1 n

2 ) 2 sin

cos ( )

( x

T b nπ T x

a nπ a

x

f

_{0 n n} (3-40)

由於正弦波為奇對稱性，假設週期為 4(T=4)，故諧波的大小不需考慮

a

_n (

a

_n



0)只頇 計算

b

_n

, 0

, 2 )

( 8

⁴

0



 





  

even n

odd n

T dx f(x)sin nxπ b T

T

n (3-41)

經整理可得

^ 2 

0¹

( ) dx T f(x)sin nxπ

b

_n (3-42)

若週期函數為一個 “片段多項式(Piecewise-Polynomial)”函數

f ( x )  f

₁

( x )  f

₂

( x )  

(3-43) 則其諧波表示為

2 )

( 8

^s

1 k



_ s



^k

k-1

x

n x

dx

T (x)sin nxπ T f

b

(3-44)

其中 s 為多項式分段的數目。

3.5 數學詴驗證與軟體模擬分析

經由前面章節的介紹，對於多項式近似演算法及弦波非等長度分段已有 認 知，且對於頻譜分析的定義及其對訊號處理的重要性也有初步了解。下面的章節 將針對等長度與非等長度分段的弦波，以最小帄方法近似，並求取其近似方程式，

再利用頻域純度分析，驗證其實際數值的表現。

3.5.1 近似函數整理

我們將第一象限的相位分成四等分與八等分，分別進行等長度與非等長度分 析，以最小帄方演算法來近似理想的正弦波函數的係數，經頻域分析計算各弦波之 SFDR 後，選出最大的理想 SFDR，並且整理出來做成表格。

其二次函數的標準式

] [0, n-1 ,i

c x b x a (x)

f

_i



_i ²



_i



_i



(3-45) 其中 n 為段數。

各二次多項式係數表列如下，〈〉中數字為分段點

表 3.1 二次四等分兩段(2)

i a

_i b_i

c

_i

0 -0.466925023700436 1.662432225860700 -0.003774296664649 1 -1.127283744206930 2.282824189133820 -0.154219594940016

表 3.2 二次四等分三段(1,2)

i a

i b_i

c

_i

0 -0.240006494052316 1.594684157053130 -0.000496175471153 1 -0.683509591035041 1.813673214943260 -0.028441669621923 2 -1.127283744206930 2.282824189133820 -0.154219594940016

表 3.3 二次四等分四段(等長度)

i a

_i b_i

c

_i

0 -0.240006494052316 1.594684157053130 -0.000496175471153 1 -0.683509591035041 1.813673214943260 -0.028441669621923 2 -1.022954548812630 2.148020994227150 -0.111456321511592 3 -1.206663949639480 2.416929228300820 -0.210180915852362

表 3.4 二次八等分二段(4)

i a

_i bi

c

_i

0 -0.463479212756865 1.660711226790040 -0.003602477402490 1 -1.125854771399840 2.280665478667670 -0.153422229731219

表 3.5 二次八等分三段(2,5)

i a

_i bi

c

_i

0 -0.236318512465746 1.593771744439590 -0.000451262921385 1 -0.774904558641225 1.881783963933420 -0.040603068887988 2 -1.172186489751410 2.356829790213560 -0.184190961826755

表 3.6 二次八等分四段(2,4,6)

i a

_i b_i

c

_i

0 -0.236318512465746 1.593771744439590 -0.000451262921385 1 -0.680382210983423 1.811333749613670 -0.028013923335552 2 -1.020863885558990 2.145409297737020 -0.110647206316542 3 -1.205928287712350 2.415638766828070 -0.209617303290369

表 3.7 二次八等分五段(1,2,4,6)

i a

_i b_i

c

_i

0 -0.117076222847933 1.576371526563860 -0.000051713087047 1 -0.354257760749713 1.634566724229070 -0.003745122831452 2 -0.680382210983423 1.811333749613670 -0.028013923335552 3 -1.020863885558990 2.145409297737020 -0.110647206316542 4 -1.205928287712350 2.415638766828070 -0.209617303290369

表 3.8 二次八等分六段(1,2,3,4,6)

i a

_i b_i

c

_i

0 -0.117076222847933 1.576371526563860 -0.000051713087047 1 -0.354257760749713 1.634566724229070 -0.003745122831452 2 -0.577825371575901 1.745133726539730 -0.017532047189843 3 -0.779187477420646 1.894868647589470 -0.045472883380453 4 -1.020863885558990 2.145409297737020 -0.110647206316542 5 -1.205928287712350 2.415638766828070 -0.209617303290369

表 3.9 二次八等分七段(1,2,3,4,5,6)

i a

_i b_i

c

_i

0 -0.117076222847933 1.576371526563860 -0.000051713087047 1 -0.354257760749713 1.634566724229070 -0.003745122831452 2 -0.577825371575901 1.745133726539730 -0.017532047189843 3 -0.779187477420646 1.894868647589470 -0.045472883380453 4 -0.950605845481540 2.064979947643390 -0.087765262035687 5 -1.085492964006330 2.232311598009720 -0.139729607795398 6 -1.205928287712350 2.415638766828070 -0.209617303290369

表 3.10 二次八等分八段(等長度)

i a

_i b_i

c

_i

0 -0.120811165105435 1.576827738832200 -0.000062730216054 1 -0.357849604490337 1.635903675303800 -0.003866730073053 2 -0.581136084259081 1.747193980747240 -0.017849988129892 3 -0.782089830214596 1.897400657779300 -0.046022850295462 4 -0.952988302595969 2.067654346191640 -0.088513932270019 5 -1.087263968950780 2.234742772318040 -0.140562584672082 6 -1.179756690723440 2.372643383994240 -0.192008984978273 7 -1.226912024486420 2.454276654900650 -0.227359323096795

3.5.2 軟體模擬

上節已經求得等長度與非等長度最小帄方的理想近似函數，此章節以二次八等分 六段為範例。圖 3.3 為它的多項式近似正弦函數四分之一週期表示。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

PHASE

SIN

IDEAL SIN 8-6

圖 3.3 多項式近似正弦函數[0,π/2]

運用第二章所提到的弦波四分之一週期對稱特性，進行正弦波頻率合成。利用 MATLAB 軟體模擬直接數位頻率合成器類比輸出波形，如圖 3.4。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

time domain signal

圖 3.4 類比輸出正弦波

再將正弦波數值轉換到頻域，進行頻域分析藉以檢視其頻譜純度，並驗證非等長度分 段最小帄方近似法系統架構的輸出表現。經由非等長度分段，由點 0 到 8 所構成的八 等分區段，選出點( 1,2,3,4,6 )將弦波四分之一週期區分為六段，產生最大 SFDR 為 88.70 dBc，如圖 3.5。近似函數與理想值的誤差分析，如圖 3.6。表 3.11 為四等分和 八等分進行非等長度分段理想分段近似後，各分段所得最大 SFDR。

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -200

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

X: 72.48 Y: -88.7

frequency analysis

圖 3.5 理想 SFDR

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -3

-2 -1 0 1 2 3

4x 10^-4 0 ~ 2PI Error

圖 3.6 近似函數與理想值的誤差分析

表 3.11 理想分段進似的 SFDR (dBc) 次數

段數

二次

4-2 61.75

(2)

4-3 68.92

(1,2) 4-4

(等長)

80.67 (1,2,3)

8-2 61.75

(4)

8-3 71.50

(2,5)

8-4 80.67

(2,4,6)

8-5 86.37

(1,2,4,6)

8-6 88.70

(1,2,3,4,6,)

8-7 97.83

(1,2,3,4,5,6) 8-8

(等長)

99.48 (1,2,3,4,5,6,7)

由表 3.11 可知，在理想狀況下，無任何限制時，分段數與近似函數的位元數越 多所得 SFDR 越大。但是實際硬體設計時，位元數不可能無限擴張，所以必頇要現對 於相位與位元限制，而位元限制對於近似函數的影響將於下一節討論。

3.5.3 非等長度分段與位元限制

本章節主旨在比較限制位元後，分別進行非等長度的最小帄方法近似，最後再以 頻域分析選出最大 SFDR。我們輸入相位為 16 位元，而係數限制為 8 到 16 位元，再 以四等分與八等分做不同分段，最小帄方則以二次方程式來擬合。SFDR 整理如表 3.12 到 3.13，並將其繪製為曲線圖，如圖 3.7、圖 3.8。

表 3.12 為二次四等分段的情形下，由中間取 1、2、3 個分段點，分成 2、3、4 段所得之 SFDR，由表可發現，在位元限制的情形下，8 到 11 位元的最佳 SFDR 為非 等長度分段，其數值可參考圖 3.7。

表 3.12 二次四等分的 SFDR (dBc) 係數

段數 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2

50.2

50.91

63.45

62.89 63.22 62.25 62.13 62.18 62.11 3 47.17

56.21

57.74

63.33

67.09 67.38 68.44 69.13 69.54 4 45.13 51.18 53.23 61.5

69.28 69.56 74.25 80.97 80.82

8 9 10 11 12 13 14 15 16

45 50 55 60 65 70 75 80 85

bit

dBc

SFDR

seg2 seg3 seg4

圖 3.7 二次四等分的 SFDR (dBc)

表 3.13 為二次八等分段的情形下，由中間取 1 到 7 個分段點，分成 2 到 8 段所 得之 SFDR，由表可發現，在位元限制的情形下，8 到 15 位元的最佳 SFDR 為非等長 度分段，其數值可參考圖 3.8。

表 3.13 二次八等分的 SFDR (dBc) 係數

段數 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2

50.20

50.91 63.45 62.89 63.22 62.25 62.13 62.18 62.11 3 47.17 56.21 63.41

71.65

72.06 71.42 72.57 72.23 71.88 4 47.61 56.14

64.22

71.38

74.23

72.33 78.16 80.97 80.82 5 46.99

56.42

61.18 70.62 73.52

75.15

81.12 85.99 85.83 6 45.01 52.21 60.20 66.13 72.11 75.06 85.05 87.21 87.46 7 41.97 50.10 60.80 65.92 72.91 73.11

85.09 87.61

91.30 8 38.55 49.94 59.03 60.77 67.73 70.18 83.22 85.57

93.18

8 9 10 11 12 13 14 15 16

30 40 50 60 70 80 90 100

bit

dBc

SFDR

seg2 seg3 seg4 seg5 seg6 seg7 seg8

圖 3.8 二次八等分的 SFDR (dBc)

3.6 硬體電路架構概述

之前章節中，已推導數學式及驗證演算法，下面章節將對硬體電路設計方面進 行描述。

3.6.1 系統運作方塊圖

本論文利用傳統的直接式數位頻率合成器包括相位累加器、相位振幅轉換器、數 位類比轉換器以及一個低通濾波器。為了讓系統獲得完整弦波波形，我們利用到正弦 波的對稱特性，或稱四分之一對稱模式，因此，在架構上必頇做一點控制修正，使得 系統能夠產生完整週期的正弦波。如圖 3.9 所示，當頻率控制字元(FCW)輸入，經過 相位累加器的處理後產生鋸齒狀的輸出，其中每一個斜坡(ramp)就代表了一個完整週 期的相位，將此相位再經由一補數運算(1’s Complement)後，能得到連續二個上升訊 號加上下降訊號，灌入相位振幅轉換器(Phase to Amplitude Converter ,PAC)中當作輸 入訊號，因此 PAC 的輸出就能得到連續二個正的半正弦波，再透過二補數(2’s Complement)的運算後，加上訊號應該有的正負號後，便能完整合成出我們想要的週 期性離散正弦波數值，輸出端再利用數位類比轉換器(DAC)和低通濾波器(LPF)的處 理，最後便可以得到我們所需要的類比正弦波函數。

圖 3.9 DDFS 系統運作方塊圖

3.6.2 硬體電路架構

在硬體設計方面，由 3.5.1 節中二次的數學方程式(3-45)，與等長度分八段的係 數，直接作硬體上面的轉換與設計。我們將每段近似的多項式的係數儲存在唯讀記憶 體(ROM)中，輸入相位的前三個最大有效位元(MSB)來當作記憶體的位址來控制係數 的輸出。由於硬體實現都是利用二進制作運算，所以我們將 MATLAB 所求得的十進 制係數值轉換成二進制係數表示。最後，我們將數學式及演算法直接映射成硬體電路 架構，如圖 3.10。

圖 3.10 二次八段的硬體電路架構圖

在文檔中 中 華 大 學 (頁 47-60)