頻率域速度分析法

上述的走時分析方法不論是切線法、參考線法或 cross-correlation 走時分析法皆是以走時分析以得到混水的介電度，但時間域的資料分 析，可能受到外在雜訊或是系統穩定性影響，使得量測資料穩定性不 佳。鐘志忠(2008)發展出一種在頻率域決定介電度的分析方法，概念 是採用類似表面波譜法（Spectral Analysis of Surface Wave，SASW）

的相位角速度分析（Phase velocity analysis），將反射訊號進行富立葉 轉換（Fourier transform）並分析前後反射訊號之相位角差，由相位角

差可決定量測材料高頻率範圍之電磁波速度或介電度。頻率域的分析 有助於避免雜訊的干擾，且不需要在纜線上製造時間起點的裝置，避 免該裝置受損而影響走時分析結果。

表面波譜法SASW為表面震波之頻散曲線（波速與頻率或波長的 關係）量測法 (Nazarian and Stokoe, 1984)，主要由表面波之頻散特性 反求其地層剪力波速剖面，試驗方法如圖 2.32所示。其原理為擷取兩 受波器之收錄震波資料，分別進行富立葉轉換後，分析兩個收錄訊號 間各頻率之相位差（Δφ = φ2-φ1），可求得各頻率之有效相位速度

l V_ph

) ) (

(ω φωω

= Δ (2-12)

其中 ω 為角頻率，l 為兩個接收器的空間分佈距離。

藉由上述的基本原理，鍾志忠(2008)將 SASW 分析概念引用至 TDR 波形分析，企圖利用局部時間域的波形資料（只需涵蓋感測器 前後的第一次反射資料）及訊號頻譜分析，不必透過複雜的 TDR 傳 輸線與全波形波傳模擬理論，以求解高頻率域的波速資料。

假設TDR以一延長線連接一長度L的感測器，如圖 2.33所示。前 端延長線之特徵阻抗Z_c1為 50Ω，感測段之幾何特徵阻抗（當介質為 真空的特徵阻抗）為Zp2，感測段介質在各頻率的介電度ε_r^*以下式描 述：

) 位角差（l=2L），以 ΔψTheoretical表示，即為 H(f,2L)的相位角。基於傳

輸線的波傳理論（Ramo et al., 1994），第一個接收的反射訊號經入射 論相位角差ΔψTheoretical，可明顯發現Δψ在低於 1GHz頻率下就與理論 值相異(既使導電度為 0，仍然與理論值差異甚大)，除了介面反射與 折射的干擾，主要原因在於ψρ1 在反射過後其相位角為一反相狀態

（一般而言Zc2小於Zc1，因此ρ1為負反射）。因此若將ψρ1減π，相當

於將時域波形資料的第一反射訊號乘上-1 反轉，則修正過後的相位角 差Δψ+ π (以Δψm表示)在導電度為 0 時與ΔψTheoretical便無差異，但當 導電度不為 0 時，反射與折射所造成的相位角干擾不為π，在低頻將 影響理論相位角差的估計，但在高頻時，因相位角較大，因此該微小 之干擾影響不大，由分析結果顯示並可準確估計至 100MHz （隨導 電度而異）。圖 2.34對應的相位速度Vph如圖2.35所示，由此圖可驗證 以兩反射訊號量測相位角差所得到之相位速度，可視為一量測高頻相 位速度依據，高頻之相位速度不受導電度的影響，也正是含砂濃度量 測所需要之頻率範圍。

Source

Signal analyzer

Receiver 1 Receiver 2

L

time

Receiver 1

Receiver 2

圖2.32 SASW 資料擷取分析示意圖(修改自 Foti, 2000)

water

Freq., Hz

Unwrap phase

Δφ

Δφ

10⁷ 10⁸ 10⁹ 3

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8x 10⁷

Freq., Hz

V

, m /s

Δφ

Δφ

Δφ

σ= 0 μs/cm σ= 100 μs/cm σ= 400 μs/cm

圖 2.35 利用 TDR 傳輸模型所得到之相位速度結果