題組內子題之淨鑑別度

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然而，若以變異數分析的觀點來看，定理 4.2 闡述：若第 i 題組得分Y 對測驗總_i 分Y_有 t%的解釋能力，則因為第 i 題組各子題得分Y 、_i1 Y 、…、_i2

iki

Y 對第 i 題組 得分Y 有 100%的解釋能力，所以第 i 題組各子題得分_i Y 、_i1 Y 、…、_i2

iki

Y 對測驗 總分Y_至少有 t%的解釋能力。

4.4 題組內子題之淨鑑別度

一般來說，同一題組內的子題間常有某種關連性，若直接以「測驗總分」與

「某一子題得分」之相關係數定義該子題鑑別度，將會忽略各子題之間的關連 性。因此，在蒐集測驗結果資料後，本文應用複迴歸分析的方法探求排除同一題 組內前面各子題影響力之子題淨得分與淨鑑別度。

當某一題組有兩個子題時，第 1 子題鑑別度之平方為第 1 子題得分能夠解釋 總分變異的比例，在忽略兩子題關聯性的情況下，第 2 子題鑑別度之平方是第 2 子題得分能夠解釋總分變異的比例。然而，為了排除第 1 題子題得分對第 2 子題 得分的影響力，將第 1 子題得分視為自變項以及第 2 子題得分視為依變項，由於 迴歸分析能找到自變項對依變項解釋能力(或解釋變異的比例)，因此，將第 1 題 子題得分對第 2 子題得分迴歸所得之殘差，視為「排除第 1 題子題得分影響力後 的第 2 子題得分」，即第 2 子題對於「多」解釋總分變異之貢獻。。

綜合上述原因，本節利用複迴歸分析的方法，先求得排除同一題組內前面各 子題影響力後的子題「淨得分」，再以測驗總分與子題淨得分之相關係數定義子 題的「淨鑑別度」。

【定義 4.3】淨得分

第 i 題組第 j 子題之「淨得分」為「第 i 題組第 j 子題得分Y 」對「前面 j－1 個_ij 子題得分Y 、_i1 Y 、…、_i2 Y_{i j( 1)}」迴歸後所得之殘差，記為e ，此殘差值即為第 j_ij 子題排除前面 j－1 個子題影響力後的分數。

‧

‧

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SSTO SSTO SSTO

SSR Y Y SSR Y Y SSR Y SSR Y Y SSR Y

SSTO SSTO SSTO

SSR Y Y

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表 4-1 例 2 的作答情形改成以得分方式呈現 學生

編號

第一題組 第二題組 第三題組

1 1 2 1 2 3 總分

1 1 1 1 1 1 1 6

2 1 1 1 1 1 0 5

3 0 1 1 1 1 1 5

4 1 1 0 1 1 1 5

5 1 1 1 1 0 0 4

6 1 0 0 1 1 0 3

7 1 1 0 1 0 0 3

8 0 0 0 1 1 0 2

9 0 1 0 0 0 0 1

10 1 0 0 0 0 0 1

11 0 0 0 1 0 0 1

12 0 0 0 0 0 0 0

註：上表中答對該題以 1 表示，答錯該題以 0 表示 1.子題鑑別度

依據定義 4.1 得知第三題組各子題鑑別度為「測驗總分」和「第三題組第 j 子題得分」的積差相關係數，計算結果如下：

第 1 子題鑑別度為D₃₁0.7035 第 2 子題鑑別度為D₃₂ 0.6963 第 3 子題鑑別度為D₃₃0.7035 2.題組鑑別度

依據定義 4.2 得知第三題組鑑別度D 為「測驗總分」與「第三題組內各子題₃ 得分」之複相關係數，已知Y_與{Y Y Y₃₁, ₃₂, ₃₃}的複相關係數即為Y_對{Y Y Y₃₁, ₃₂, ₃₃}複 迴歸的判定係數之正平方根，其計算過程如下：



Y 對{Y Y Y₃₁, ₃₂, ₃₃}複迴歸的判定係數為 R ＝0.7576 2



Y 與{Y Y Y₃₁, ₃₂, ₃₃}的複相關係數為 R＝0.8704

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即第三題組鑑別度為

3 0.8704 D 

3.子題淨鑑別度

由於第 1 子題並未受到其他子題的影響，因此，第 1 子題的鑑別度值為「測 驗總分」與「第三題組第 1 子題得分」的積差相關係數，即

31 0.7035 D 

自第 2 子題起，需考慮前面各子題之影響力，其淨得分與淨鑑別度計算步驟如下：

步驟一：將Y 對₃₂ Y 迴歸，求得殘差₃₁ e ，此殘差₃₂ e 即第 2 子題排除第 1 子題影 ₃₂ 響力後的「第 2 子題淨得分」，如表 4-2。其中編號 5、7、11 學生第 2 子題淨得分為負值，其原因為當Y 對₃₂ Y 迴歸時，₃₁ Y 預測值高於觀察₃₂ 值，以本題為例，第 1 子題得 1 分的學生共 9 位，此 9 位學生於第 2 子 題之平均得分為 0.6667，可證明此平均得分恰為Y 的預測得分 0.6667，₃₂ 但編號 5、7、11 學生於第 2 子題得分皆為 0 分，因此，其殘差e 皆為 ₃₂

－0.6667。

表 4-2 排除第 1 子題影響力後的第 2 子題淨得分 學生編號 Y 的預測得分 ₃₂ 殘差e (淨得分) ₃₂

1 0.6667 0.3333 2 0.6667 0.3333 3 0.6667 0.3333 4 0.6667 0.3333 5 0.6667 -0.6667 6 0.6667 0.3333 7 0.6667 -0.6667 8 0.6667 0.3333 9 0.0000 0.0000 10 0.0000 0.0000 11 0.6667 -0.6667 12 0.0000 0.0000 步驟二：求Y_與e 的積差相關係數，即₃₂ D_{32 | 31} 0.3553。

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同理，求第 3 子題的淨得分與淨鑑別度，其計算步驟如下：

步驟一：將Y 對₃₃ Y 、₃₁ Y 迴歸，求得殘差₃₂ e ，此殘差₃₃ e 即第 3 子題排除第 1、2₃₃ 子題影響力後的「第 3 子題淨得分」，如表 4-3。其中，編號 2、6、8 學生的第 3 子題淨得分為負值，其原因與第 2 子題相同。

表 4-3 排除第 1、2 子題影響力後的第 3 子題淨得分 學生編號 Y 的預測得分 ₃₃ 殘差e (淨得分) ₃₃

1 0.5 0.5

2 0.5 -0.5

3 0.5 0.5

4 0.5 0.5

5 0 0

6 0.5 -0.5

7 0 0

8 0.5 -0.5

9 0 0

10 0 0

11 0 0

12 0 0

步驟二：求Y_與e 的積差相關係數，即₃₃ D_{33 | 31,32} 0.3693。

將例 2 的計算結果整理如表 4-4，其中，子題淨鑑別度皆小於子題鑑別度，且接 近子題鑑別度的二分之一。

表 4-4 例 4 的各子題鑑別度、各子題淨鑑別度與各題組鑑別度 題號 子題鑑別度 子題淨鑑別度 題組鑑別度 第一題組 1 0.5296 0.5296 0.5296

第二題組 0.8090

1 0.7062 0.7062 2 0.7385 0.3948

第三題組 0.8704

1 0.7035 0.7035 2 0.6963 0.3553 3 0.7035 0.3693

此外，表 4-4 的結果可驗證定理 4.4 題組鑑別度與各子題淨鑑別度的關係式如下：

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第二題組中，題組鑑別度之平方為第 1、2 子題淨鑑別度之平方和，即

2 2

2 0.7062 0.3948 8090

.

0  

第三題組中，題組鑑別度之平方為第 1、2、3 子題淨鑑別度之平方和，即

2 2

2

2 0.7035 0.3553 0.3693 8704

.

0   

由於例 4 的樣本數較少，因此檢定子題淨鑑別度是否顯著的計算範例，將留待 5.2 節作說明。最後，比較傳統鑑別度及施焱騰(2008)以機率模式計算題組型試 題的鑑別度如表 4-5，結果發現以機率模式與相關係數模式計算鑑別度的高低情 形大致上一致。

表 4-5 傳統模式與機率模式下例 4 各子題鑑別度

題號 傳統模式

子題鑑別度

機率模式 子題鑑別度

第一題組 1 0.50 0.4438 第二題組 1 0.75 0.5500

2 0.75 0.7835

第三題組 1 0.75 0.7500

2 1.00 1.0000

3 0.75 0.7113

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在文檔中 以相關係數探討題組型試題之鑑別度 - 政大學術集成 (頁 40-50)