馬可夫鏈蒙地卡羅法

馬可夫鏈蒙地卡羅模擬法為貝氏估計法的延伸，屬於不確定性分析 機率理論的方法之一，蒙地卡羅法(Monte Carlo method)藉由機率密度函 數，以電腦強大運算能力，模擬參數不確定性，利用其大量反覆疊代運 算之特性，在大樣本模擬下，建立馬可夫鏈時間序列矩陣，預測矩陣中 參數設定，透過模式驗證以確定預測之正確性，稱此法為馬可夫鏈蒙地 卡羅法(Markov Chain Monte Carlo method, MCMC method)。

其中蒙地卡羅法大量反覆運算之特性，非常適合用於不確定性估 計，並對特別複雜系統之輸出有很大之優勢，且能考慮輸入參數之不確

定性(Papadopoulos and Yeung, 2001)，在應用方面康晉展(1995)以蒙地卡 羅模擬結合一階誤差分析法，配合QUAL2E水質模擬，計算在Q₇₅及Q₉₀ 流量下，新店溪水體水質分類標準的超越機率。Bergin and Milford (2000) 將 蒙 地 卡 羅 模 擬 法 應 用 於 拉 氏 光 化 學 空 氣 品 質 模 式(Lagrangian photochemical air quality model)中，用以預測臭氧在大氣中擴散情形。

Sonnemann et al. (2003)則將蒙地卡羅法用於生命週期評估，評估廢棄物 焚化發電之生命週期，藉模擬結果了解生命週期分析中之不確定性。

而融合兩種方法的的馬可夫鏈蒙地卡羅法被廣泛運用於物理模擬，

近幾年在其他應用方面也逐漸被發展。在經濟及統計方面。陳明田(2002) 先利用貝氏方法對參數作後驗分配，再使用馬可夫鏈蒙地卡羅法對模式 參數作估計可跳躍式馬可夫鏈蒙地卡羅法來比較GARCH與門檻GARCH 模式。謝盈弘(2002)以Regime Switching Stochastic Volatility (RSV)作為外 匯選擇權市場的波動模型，以馬可夫鏈蒙地卡羅法中的Gibbs Sampling演 算法估算模型中之參數，並預測外會選擇權在RSV下之價格。劉峰旗(2002) 先利用貝氏分析法求出參數後驗分配，再利用馬可夫鏈蒙地卡羅法的疊 代方法，作為選取模式之方法，用來選取模擬股價報酬率之模式。Munkin and Trivedi (2008) 以馬可夫鏈蒙地卡羅法推估排序普羅比模式(Ordered Probit Model)中之參數，用以分析醫院採用不同種類醫療保險的影響，並 考慮保險情況之內部可能性。

而MCMC法也被廣泛利用在工程上，多用於參數估算方面以及模擬 不確定性，張家豪(2005)將馬克夫鏈蒙地卡羅法應用於訊號頻率估測，並 經由研究結果証明，其在參數估計方面有相當高之準確性，而甯蜀光等

人(2006)利用系統分析概念結合馬可夫鏈蒙地卡羅法，考量河川流量之變 異性、區域用水需求及水體水質標準進行水庫容量最佳化設計。陳臻祺 (2006)以MCMC法來降低河川砂礫啟動模式參數不確定性，利用其高計算 效率及適用於高維度問題之特性，配合實測資料及馬可夫鏈蒙地卡羅數 值模擬進行參數更新。Reis Jr. and Stedinger (2005)以MCMC法估算洪水 流量、洪水週期之尾部分配，以及Log-normal和Log-Pearson Type 3分配 之參數，藉以更完整的洪水紀錄、洪水歷史訊息，對參數的不確定性有 完整的描述。Gallagher and Doherty (2007) 應用在流域的模擬上，比較三 種不同的參數估計法，Gauss-Marquardt-Levenberg法、SCE法及MCMC法 彼此之間的差異，MCMC法雖然較其他方法需要較多運算次數，但可提 供可靠的參數估計和預測不確定性。Wang (2008)探討在模擬過程中隨機 產生河川流量及氣候的數據，利用貝氏MCMC法來隨機產生多點年流量 及 氣 候 數 據 ， 並 利 用 一 階 同 步 自 我 迴 歸 模 型(contemporaneous autoregressive lag-one model)結合Box-Cox轉換運用在獲得長年流量紀錄 及氣候紀錄的統計架構，同時保持模型中參數數目最小化。Golightly and Wilkinson (2008) 將馬可夫鏈蒙地卡羅法應用於擴散模式，用以模擬潛在 數據及參數估計上。Gaucherel et al. (2008)比較不同演算法在樹木生長模 式之參數化差異，結果顯示粒子過濾法(Particle Filtering)及MCMC法能提 供比傳統參數最佳化法更高之效率。Blasone et al. (2008)則將MCMC法與 廣義近似分析法(generalized likelihood uncertainty estimation, GULE)結合 應用於水文模擬上，用以參數估算及結果之分布情形預測。Arhonditsis et al. (2008)以MCMC法作為不確定分析之工具，用來結合環境管理及生態

系統模擬，分析參數之不確定性。

綜合上述項關研究，證實馬可夫鏈蒙地卡羅法在參數估計方面有相 當大之優點，而蒙地卡羅法在不確定性分析方面也有其優勢，故本研究 將利用馬可夫鏈蒙地卡羅法做為分析水資源利用之不確定性工具。