體積與容積

一、「體積與容積」的意義

容積與體積均為空間大小的量。

最早想到測量體積方法的是古希臘偉大數學家阿基米德。阿基米德 (公元前287～前212年)是古希臘偉大的數學家兼科學家。有天，國王要求 阿基米德設法辨別一頂純金製作的皇冠的真假，阿基米德一開始也想不出 辨別的方法， 有一天在洗澡時，當他進入裝滿水的澡盆裡，水很自然的 從澡盆裡溢了出來，看到這個現象後，他立即想到一個物體放入裝滿水的 容器裡，溢出的水的體積就是放入物體的體積。 於是他把皇冠和一塊等 重的純金塊分別放入裝滿水的兩個容器中，結果兩容器溢出來的水量不一 樣多，阿基米德知道：兩個等重的金塊，不管做成什麼形狀，排出的水量 都會一樣多，所以他判斷皇冠一定加了其他金屬，不是純金製作，因此得 到了國王的重賞。他和牛頓(公元1642～1727年)、高斯(公元1777～1855 年)常被並列為有史以來三個貢獻最大的數學家。

（一） 體積：

物體所佔空間的大小。體積是一個兼具幾何和測量概念的教材，

體積的測量活動除了需要具備測量概念的發展之外，還要兼具兒童由知 覺空間轉化為表徵空間與概念空間的發展（譚寧君，2000），可定義為 物 體所佔空間的大小。其單位是立方公分、立方公尺。

Linda、Margaret和Olwen（1984）則將體積的意義細分為四個不同 層面的意義（引自譚寧君，1996）：

1、外體積（external volume）。

2、內體積（internal volume）。

3、排他性體積（displace volume）。

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4、液積與容量（liquid volume and capacity）。

（二）容積：

某一具有確定三度空間的周界內的空間大小，通常此空間有容納物 質可以隨時存取的功能。換言之，容積是指容器內所裝物體的體積，其 單位是毫升和公升。

二、體積和容積的關係

「體積」是物體所占空間的大小。「容量」是流體物質占滿容器的大 小。空體（中間是空的物體）所能容納物體的體積，叫做「容積」或「容 量」。

容積與體積有著緊密的聯繫，透過排容原理，了解容積和體積兩者的 關係；因為「容積」是箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，所以計 量容積時的計算方法與所使用的計量單位，跟計量體積一般是一樣的。體 積單位和容積兩者單位的關係如下：

1 立方公分＝1 毫升 ＝ 1c.c.

1 公升＝ 1000 立方公分＝ 1000 毫升

1 公秉＝1 立方公尺 ＝1000 公升 ＝ 1000000 毫升

從概念的意義上來看，體積和容積還是有不同之處。如：對空體（中 間是空的物體，如箱、桶、罐、倉庫等）來說是容積，對實體來說是體積。

計量的方法上來看，計算物體體積時，要按外部尺寸計算。計算容器 容積時，由於容器有厚，要把厚度減去，所以要按內部尺寸計算。

從用的計量單位上來看，計算體積所使用的是立方公尺、立方公分。

計算容積時，一般也使用這單位，但是有時也用「公升」、「分公升」和「毫 公升」。這是在計算物體時所不能使用的。它只限於計量液體，如：水、

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油、藥液、墨水……等的體積時使用。

三、「體積與容積」的迷思概念 （一）體積

何健誼（2002）在「直觀法則對K－6年級學童在體積概念學習上 的影響」中分析學童現 行的體積概念，顯示國小學童在「體積」的學習 上有一些共同的迷思概念：

1.對於看不見的物體就認為是沒有體積。

2.認為外型正方、具有完整外型的物體才有體積，圓形及有 洞或是 中空的物則沒有體積的。

3.有重量就有體積，空氣沒有重量所以沒有體積。

4.容易把面積、表面積以及體積混淆在一起。

5.可以計算出體積的物體（如標出長、寬、高）才有體積，無法計算 出體積的物體（沒有標出長、寬、高）就是沒有體積。

6.對於不規則形體的物體只是僵化地想以公式來求出物體的體積。

（二）容積

1.認為沒有固定形狀的物體，都是沒有體積的。但是裝在杯子裡的 水因為有杯子的形狀，所以就認為有體積。

2.固體才有體積，液體及氣體都是沒有體積的。

四、學童學習上常發生之困難 （一）體積

譚寧君（1996）在「面積與體積的教材分析」中指出，學童在體 積概念學習上常有以下的困難：

1.缺乏對被測量量的認識。

2.保留性的不足。

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3.兒童對體積的了解是建立在視覺的知覺上，而不是在堆疊的活 動。

4.重視公式的記憶，輕忽概念的了解。

5. 估測能力的不足。

（二）容積

1.對公升、毫升等容量的概念不易理解。

2.學生對於一些數學單位名詞難以理解。

3.對容量單位的換算較困難，例如 1 公升等於 1000 毫升那每 5000 毫升等於幾公升？

貳、體積教學相關研究

譚寧君（1999）認為教師應該加強及培養國小對學生錯誤 類型分析的 能力與習慣，方能促進國小教師對專業能力的發展，以瞭解兒童的解題類 型。

Nickson（2000）指出，孩子對於圖形與空間形成一些概 念，這些概念 的某些部分相當具有個別性，並且可能違反 數學原則，或者根本就是錯誤 的。教師必須能區分出孩子空間上的前置概 念，才能從中延伸或幫助他們 釐清迷思概念，建立健全的基礎概念。此外，教具的運用有助於其空間概 念的發展，因為各種操弄物體的經驗都會幫助他們建立一個訊息紀錄庫

（repertoire），以協助他們解釋未來擴展時所面臨的新經驗。

沈佑霖（2003）指出應提供實體讓學童實際操作，經由堆疊、合成建 立對體積定義的瞭解，並經由普遍單位量的認識和實際測量來達成量感的 培養，建立學童體積的基礎概念。在累積足夠實際測量的經驗和量感，則 加強估測的練習，並適時比較修正估測與實測所得數值之差距，隨即修 正，讓學童建立自我的量感和估測能力。

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透過多媒體電腦教學，得以提供較為具體的物體供學生學習，因而解 決了平面教具不夠具體真實之問題。將資訊科技融入教學，幫助學童學習 體積與容積概念，靈活運用於相關之解題情境。

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