體積與表面積概念的相關研究

本節對於體積與表面積概念及其相關研究加以闡述，共分為三個部分：體 積與表面積的學習概念、體積與表面積的教材分析、以及體積與表面積的相關研 究，分述如下：

壹、 體積與表面積的學習概念

一、 體積

體積是物體所佔有的空間。在我們日常生活的經驗中，許多物體，如積木、

石頭、水、空氣等等都佔有空間，假如有其他東西佔了它們的位置，它們並不會 消失，或與那些東西共存於同樣的空間，而是佔據其它的空間。（劉秋木，2004）。 體積指的是一個三維物體佔有空間的大小，透過堆疊活動，複製成一個全等的物 件，用來描述原來物件的體積，因此，體積是有範圍並緊密排列的(譚寧君，1996)。

所以，物體所佔有的空間大小就是它的體積。

一般而言，體積的概念應包含保留概念、測量概念和估測概念（譚寧君，

1996）：

(一) 體積的保留概念

把固定量的黏土捏成一種形狀，如球體。再改捏成長條狀，問學生大小是 否改變，再改壓成約一公分高的扁平狀，再問大小是否改變？並可以在一開始就

準備一個一樣大的球體複本當作參考依據，學童是不是能從沒有增加也沒有拿走 的事實中，判斷黏土的大小沒有改變？這就是體積的保留概念(周筱亭、黃敏晃，

2002)。物體不會因為大小、方向、位置的改變而有所改變(謝明欣，2011)。也就 是說，體積的保留概念是指物體的體積不會因為位置、形狀的改變而產生改變的 能力。

(二) 體積的測量概念

兒童在比較兩物體大小，通常先透過視覺，知覺兩者的大小關係，當物體 是二維或三維的量時，會自然回歸到較低向度的考量，對兒童來說，形成指有一 維關係的比較較為容易，但若是觀察如 8×4×2 和 3×5×6 兩塊積木時，不易經由視 覺比較。所以測量概念需掌握單位量的點數、單位量的轉換、測量公式等(譚寧 君，1996)。體積的測量概念即為具有應用堆疊觀念的能力。

(三) 體積的估測概念

部分學童對長度估測的量感不足，以至估測體積時出現誇張的錯誤答案，由 此可知，體積概念難以掌握。但估測的難以掌握也可能是學生在進行體積學習時 習慣於背誦公式，缺少實際體驗和測量的經驗，因此對物體的估測不易掌握。為 避免此情形，對於每個測量公式的建立都應有具有完整的認知（沈佑霖，2003）。

因此，體積估測概念係指正確合理估算物體體積的能力。

二、 表面積

表面積泛指一個立體圖形的所有面的面積總和(教育部，2010)。對一個柱體 而言，表面積就是上下底面加上側面的面積總和，或者將立體圖形每一個面的面 積算出後再加總。

表面積的學習問題主要在與體積混淆上，因為視覺接觸到立體圖形時，主要 感受到其表面，因此大腦實際接收的訊息是「由一些多邊形的面所組成的立體圖 像」。但在學習立體圖形的幾何量時，先學到的是體積，因此對於立體圖形，學 生直觀反應便會體積而非表面積。因此，教師教學時可以將體積與表面積的題目

同時呈現，讓學生在必須同時解決兩種問題中，產生能分辨兩者的直觀反應。另 外，求複雜柱體的表面積也是學生的學習困難之處。在這類問題中，課本中通常 呈現的是在一個簡單柱體上再加上另一個柱體，或是減去其中一部分。這樣的過 程常常會因為計算的繁瑣而造成錯誤(康軒文教，2011)。在表面積的計算過程中，

學童常因在空間與平面中的相互轉換，找不到空間對應的等長長度，造成解題時 的盲點，而影響後續的作答（沈佑霖，2003）。

教師在教學時必須順應學生的發展，掌握學生的學習問題，循序漸進，才能 清晰而穩固的建立表面積的相關概念。

貳、體積與表面積的教材分析

從九年一貫課程能力指標可知，在國小的數學學習過程中，學童從低年級到 高年級都會學到與「體積與表面積」相關的單元，所以跟「體積與表面積」有關 的概念也就相對重要，故將教育部 2008 年頒布的「國民中小學九年一貫課程綱 要」中，與「體積與表面積」相關的能力指標表列如表 5：

表 5

本研究主要以九年一貫能力指標中的「N-3-24」、「N-3-25」、「S-3-1」設計「柱 體的體積和表面積」單元的相關教材，現將說明於表 6：

表 6

柱體的體積和表面積之能力指標

N-3-24 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積

說明

 由長方體或立方體說明這類特別柱體的體積等於底面積乘以高。

 可舉一例：平行四邊形，說明當初以切割說明平行四邊形的切割 步驟，也可用來計算以平行四邊形為底之直柱體體積。並由此說 明簡單直柱體的體積為底面積乘以高。

 最後告知或略微說明圓柱體體積也是底面積乘以高。

N-3-25 能計算正方體或長方體的表面積

說明

 應能理解長方體和正方體表面積的計算方法，這裡不強調表面積 的公式，學童能合理算出表面積即可。

 可讓學童計算由長方體和正方體組成的簡單複合圖形，只處理相 接而不相內嵌的圖形。

S-3-1 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題

說明

 例：由三角形的內角和為 180 度，推知四邊形之內角和為 360 度。

 例：能計算重疊嵌入圖形的面積或體積，如下圖：

資料來源：引自教育部(2010)，頁 128-頁 143

本研究進行的教材內容為南一版數學領域第十二冊第二單元柱體的體積和 表面積，現將南一版數學領域教材分析圖圖示如下：

圖 2 南一版數學領域教材分析圖 (引自南一書局，2012，頁 27)

學童難免會產生迷思概念，因此對教師而言，傳達正確觀念、幫助學童去 除迷思概念便非常的重要，但在實際教學上卻有一定的難度。以體積教學而言，

傳統教學中教師常需一邊操作教具，一邊講解觀念，以至於會產生分心。學童卻 可能因接收到不完整的訊息，加上學童自行理解、建構，因此造成迷思概念的產 生。教師若要分心於操作教具，還要時時觀察、留意學生是否產生迷思概念，往 往難以兼顧(程柏豪，2006)

古詩儀(2011)分析適用 92 年課程綱要的 98 學年度國小數學科教科書，發現 各版本在表面積的教材呈現上有相當大的差異。部分出版商編寫五年級上學期相 關教材時，納入「長方體、正方體和簡單複合立體圖形的表面積」，六年級編入

「不同柱體表面積的問題」；有的在六年級同時編寫「柱體與錐體的表面積」，也 就是說，現行教材都以呈現柱體表面積的問題。根據 van Hiele 的幾何思維層次 理論，兒童幾何認知發展是循序漸進的，前一個階段的經驗對下一思考層次的影 響相當重大；因為兒童需要空間能力以達成對立體複合形體的認知，所以教學上 採用什麼策略便值得探究。

五上

平行四邊形、三角形 和梯形的面積公式

五下

長方體的體積公式 正方體的體積公式

六下 柱體體積的公式 計算複合形體的體積

計算柱體的表面積

七上 柱體和錐體體積

的計算與應用

本研究欲應用動態評量與電子白板與即時反饋系統相結合，探討對學生學習

表 7

表 7

表 7

國內碩博士論文在資訊科技應用於體積與表面積方面的相關研究(續) 研究者

(年代)

研究題目 研究結果

謝明欣 (2011)

資訊科技融入 體積課程對國 小學童學習體 積概念之影響

1. 體積概念學習成效方面:

資訊科技融入體積教學優於一般體積教學；兩者 皆優於接受非體積相關課程教學，顯示資訊科技 融入體積教學有助益於學童學習體積概念。

2. 不同數學成就學童方面:

資訊科技融入體積教學助益於數學高、中成就學 童體積概念的學習；對於數學低成就學童方面，

無顯著差異。

3. 相較於接受非體積相關課程。資訊科技融入體積 教學與一般體積教學對於學童之體積概念有所助 益。

由上述研究可以得知，資訊科技應用於體積與表面積教學，能提升學童學 習成效，對於學習態度也能有所增進。然近年來資資訊科技應用於體積與表面積 教學的研究多集中於體積，較少進行有關於表面積的部分。因此本研究將互動式 電子白板與即時反饋系統相結合，並應用動態評量的評量方式，進行體積與表面 積教學的研究，期望能藉此提升學生的學習成效及學習興趣。