第四章 研究結果
第五節 高低分組、教學活動與問題形式在心智努力分數、表現分數、教材
本研究根據上述統計分析結果，因為四個受試班級起始點不一致，因此將全 部四個受試班級以前測分數為標準進行高低分組，採三因子變異數分析進一步探 討高低分組、教學活動、問題形式在心智努力分數、表現分數以及教材有效性分 數上之差異，分析如下。
一、在心智努力分數上
高低分組、教學活動與問題形式三因子，無論在練習階段或是後測階段的心 智努力分數上皆未達顯著差異。
本研究另外計算四個受試班級的高分組在各題的錯誤率，結果根據錯誤率發 現後測題目的兩種子題（求體積與求表面積）的難度不同。以保留題為例，第一、
二、四題皆有兩子題，分別求算體積與表面積。研究者計算四個受試班級在這些 題項的錯誤率，如表4-15 所示。
第一題 第二題 第四題 Mean
體積 20% 18% 9% 15.66%
表面積 58% 39% 33% 43.33%
表4-15 顯示體積與表面積的難度是有差異的，表面積子題牽涉到的數值計算 包含小數點的計算、其步驟也比較複雜，元素與元素間的交互作用較多，因此推 論表面積的認知負荷程度應該高於體積。但本研究無法區分這兩種子題目的認知 負荷程度，因為當初要求學生對同一大題（包含兩種子題）勾選認知負荷程度，
並未個別收集體積與表面積子題的認知負荷。
表4-15 高分組在保留題中體積與表面積之錯誤率
48
二、在表現分數上
表4-16 為三因子在表現分數上之平均數與標準差摘要表。表 4-17 為三因子 在表現分數上之變異數分析摘要表。
由三因子變異數分析摘要表可得知，高低分組的學生在表現分數上達顯著差
異（F(1, 98)=53.65, p<.001），高分組的學生表現較低分組學生佳。問題形式對於表
高分組 低分組
合作組 個人組 合作組 個人組
N S N S N S N S
問題解決 14 22.71 10.51 27 22.07 8.35 13 9.15 7.2
完成問題 15 21.8 5.31 14 17.64 10.23 9 5.11 6.29 13 5. 6.11 總和 29 22.24 8.1 41 20.56 9.16 22 7.5 6.99 13 5. 6.11 表4-16 三因子在後測表現分數上之描述性統計摘要表
來源 型Ⅲ平方和 自由度 均方和 F 檢定 顯著性
高低分組 3498.62 1 3498.62 53.65 .000
教學活動 24.19 1 24.19 .37 .544
問題形式 240.96 1 240.96 3.7 .057
高低分組 * 教學活動 50.2 1 50.2 .77 .382
高低分組 * 問題形式 30.01 1 30.01 .46 .499
教學活動 * 問題形式 50.17 1 50.17 .77 .383
高低分組 * 教學活動 * 問題形式
.000 0 . . .
殘差 6390.90 98 65.21
表4-17 三因子在表現分數上之變異數分析摘要表
49
50
2. 心算跳躍列式：列式步驟較不完整，明顯跳過某些歷程，呈現出來的式子較 為零散，無法看出思考歷程。如圖4-4所示。
圖4-3 循序漸進列式（接受完成問題形式班級）
圖4-4 心算跳躍列式（接受問題解決形式班級）
51
3. 作圖搭配解題：重新自行畫圖，以搭配解題歷程。如圖4-5所示。
4. 自由列式：學生自行假設未知數（例如：32+122=X2）求答。如圖4-6所示。
圖4-5 作圖搭配解題（接受問題解決形式班級）
圖4-6 自由列式（接受問題解決形式班級）
52
在保留題部分，接受完成問題形式班級的高學分組學生，其解題歷程幾乎都 採用「循序漸進列式」，然而接受問題解決形式的班級有許多採用「心算跳躍列 式」或「搭配作圖」來解題。研究者推論，完成問題組的班級在練習階段接受完 成問題形式教材的引導，有較多逐步、正確列式的印象與觀念，因此在後測階段 也採用循序漸進的列式法。而問題解決組由於在練習階段讓他們自由列式，並沒 有循序漸進列式的引導，因此在解題策略上出現較多自由、跳躍列式的現象。研 究者認為，完成問題形式的引導原意為減低認知負荷，附加的優點為可以養成學 生解題循序漸進的習慣，並且可加深學生對體積與表面積整體正確觀念的認識。
可惜的是本研究各借用班級一堂課時間進行教學與練習，所能規劃的時間太少，
導致無法有明顯的學習成效。總之，結果發現受試班級在練習階段接受的問題形 式會影響後測階段的列式方式。
另外，相較於完成問題形式的班級，接受問題解決形式的班級有較多「作圖 搭配解題」的現象。研究者推論因為完成問題組在練習階段給予解題列式的鷹架 輔助，問題解決組相對的面對是一片空白、可自由發揮，因為沒有任何提示，也 有較不受限制的優點，其作圖搭配解題的策略需要增生認知負荷，學習成果也發 現此一策略非常成功。
綜上，無論是完成問題或是問題解決的形式，從學生的解題程序來觀察，皆 各有其優缺點。研究者認為如果問題形式也能設計出引導學生循序漸進列式，將 會是最好的教學設計。建議數學老師教學時，在學習一個新概念時可給予完成問 題教材，協助學生養成良好列式習慣，基礎觀念穩固後，漸漸地可改以問題解決 形式呈現，讓學生自行作答。
53
三、在教材有效性分數上
回顧教材有效性分數之計算方式如下：
(Instructional) Efficiency = ( − )/√2
若在此公式得高分，表示教材的有效性較高，受試者有較高的表現分數但只需付 出相對較低的心智努力；低分則表示有較低的任務表現但須付出相對較高的心智 努力。
表4-18 為三因子在教材有效性分數上之平均數與標準差摘要表。表 4-19 為 三因子在教材有效性分數上之變異數分析摘要表。
高分組 低分組
合作組 個人組 合作組 個人組
N S N S N S N S
問題解決 14 .15 .94 27 .49 .99 13 -.62 .62
完成問題 15 .21 1.02 14 .25 1.09 9 -.63 1.23 13 -.63 .89 總和 29 .18 .96 41 .41 1.01 22 -.62 .89 13 -.63 .89 表4-18 三因子在教材有效性分數上之描述性統計摘要表
54
由變異數分析摘要表得知，高低分組在教材有效性分數上有達顯著差異（F(1, 98)=13.277, p<.001），高分組較低分組佳。其餘則未達顯著。詳細討論於第五章。
來源 型Ⅲ平方和 自由度 均方和 F 檢定 顯著性
高低分組 12.551 1 12.551 13.277 .000
教學活動 .407 1 .407 .431 .513
問題形式 .145 1 .145 .154 .696
高低分組 * 教學活動 .005 1 .005 .006 .940
高低分組 * 問題形式 .019 1 .019 .020 .888
教學活動 * 問題形式 .358 1 .358 .379 .540
高低分組 * 教學活動 * 問題形式
.000 0 . . .
殘差 92.644 98 .945
表4-19 三因子在教材有效性分數上之變異數分析摘要表
55