高頻訊號的時頻域分析

Nd:YAG

雷射在平板上生成的撓性波為頻散波，各頻率成分的波速都不 相等，波形隨著波傳距離的改變亦有所變化。本文應用二維傅立葉轉換分 析量測頻散波的相速度，並應用小波轉換分析量測頻散波的群速度。

3.5.1 板波相速度量測分析

本節所描述的二維傅立葉轉換

(2D Fourier transform)

，簡稱

2D-FFT

。時 間傅立葉轉換先將時間域的訊號映射至頻率域上，空間傅立葉轉換則將不 同量測位置所擷取的波形轉換至波數域

(wavenumber)

，轉換後的振幅為頻率 及波數的函數，

( )

^+∞

_{∫ ∫} ( )

^{( )}

∞

− +∞

∞

−

+

= u x t e− dxdt f

k

H , , ^{ikx ωt}

(3.14)

如同一維快速傅立葉轉換分析，二維快速傅立葉在時間域及空間域的 取樣點必須足夠，以避免混淆。倘若在時間與空間的取樣視窗

(sampling windows)

裡的訊號不是週期性訊號，會產生洩漏現象，若使用如

Hanning window

的函數可降低此現象。

將不同位置所量測的時域訊號組成一個二維陣列，然後以二維傅立葉 轉換將時間映射至對應之頻率，位置映射至對應之波數。相較於相位頻譜 法

(phase spectrum method)

只能決定單一模態頻散波的相速度，二維傅立葉 轉換能夠決定不同模態頻散波的相速度。

相速度量測實驗的波源與光柵感測器之距離範圍為

30~44.5

mm及

60~74.5

mm。光柵接收的位置固定，波源位置直線移動，每移動

0.5

mm接 收一次訊號，取樣頻率為

10MHz

，取樣點數為

2048

點。在0⁰、15⁰、30⁰及

450入射光柵方向上各量測一次。

3.5.2 板波群速度量測分析

小波轉換是一種應用廣泛的時頻域分析方法，適合對於非穩態

(non-stationary)

連續函數的操作。母小波函數具有正交性，是構成小波轉換 的核函數，其與暫態訊號作廣義的交互相關性運算

(cross-correlation)

，可將 訊號中與母小波相似的成分萃取出來，在不同的領域下具有不同的解析

度。連續小波轉換可以表示如下：

∞

∫

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ Ψ ⎛ −

=

0

)

*

1 ( ) ,

(

dt

a b t t

a f b

a

CWT

(3.15)

其中，

Ψ (t )

為母小波函數，上標

*

表示共軛複數，參數

a

代表時間的尺度係 數

(scaling factor)

，參數

b

表示時間延遲

(time-delay)

。當

a

減少時，母小波的 週期隨之縮小；反之，當

a

增加時，母小波的週期就隨之放大。所以

a

可當作 時間解析度與頻率解析度的交換

(trade-off)

參數，小波轉換藉此將時域之暫 態訊號映射至時頻域

(time-frequency domain)

。

在物理意義上，小波轉換將暫態訊號 f

(t )

映射至各頻率成分的小波轉 換係數，其包絡線

(envelop)

峰值所對應的

b

值為該頻率的波群

(wave packet)

抵達接收點之波程時間。若暫態訊號為板波訊號，則該波群的波程時間差 與板波群速度

(group velocity)

的乘積即為板波能量的波程。

常用的母小波函數有墨西哥帽、高斯脈波、

Morlet

函數及

Daubechies

發展之離散母小波等。本研究將用高斯脈波作為母小波函數，其數學式如 下：

2

2/

)

0

(

t

=

e^{i t}e^−t

Ψ

^ω

(3.16)

其中，

ω

₀

= 5 . 3 × 10

⁶rad

/ sec

，暫態訊號的頻率成分為 f

= ω

₀

/ 2 π

a。圖

3.24

所示為高斯脈波函數的實部、虛部及包絡線，包絡線是高斯脈波函數的絕 對值，為高斯分佈函數。由於高斯脈波函數的實部與虛部都是振盪函數，

不易辨識小波轉換係數的峰值與其對應之時間延遲，因此以小波轉換係數 的包絡線峰值對應之時間延遲，計算暫態訊號的波程時間差。

應用小波轉換分析可以計算頻散波的群速度，自暫態波的波源位置向 外延伸一直線，在直線上選取任意兩場點擷取暫態波訊號。然後予以小波 轉換處理，計算不同頻率之波群包絡線峰值的時間延遲，兩組訊號的時間 延遲差∆t為波群通過場距差∆x的波程時間，頻散波群速度的量測值即為

( )

x t

C_g ω =∆ /∆

(3.17)

本研究量測群速度的實驗架構以光柵位置為座標原點，觀察不同入射 角度量測群速度的誤差。量測的起始點距光柵中心點為

30 mm

，場距差由

10 mm

到

50 mm

，每增加

10 mm

擷取板波訊號一次，評估量測群速度的最佳 距離。

在文檔中 光纖光柵於板波群速度量測及平面聲源定位之研究 (頁 30-34)