路徑規劃演算法

一 般 對 『 路 徑 規 劃 （ path planning ）』 和 『 動 作 規 劃 （ motion planning）』的區別，在於『路徑規劃』試圖找尋工作環境中一條存在的 無碰撞路徑，而『動作規劃』則需進一步考慮到時間、動態的限制、工作 空間裡的互動等等。

70 年代的末期，Lozano-Pérez 和 Wesley 在[14]裡提出了一個完全演 算法 （complete algorithm），他們的方法是將障礙物所存在的空間，以 多邊形或是多面體表示，形成一個禁止區之網路圖，而機械手臂的路徑規 劃問題轉變為避開這些點，而在圖中找尋一條安全的路徑，這個方式被認 為是 C-space 的前身。到了 1983 年，Lozano-Pérez 和 Wesley 在[15]裡首 度引進了機械人組態空間 （configuration space，簡稱 C-space） 的觀 念，影響了後來這領域的研究方向。在 C-space 裡，機械手臂的組態被表 示成一個點 （一個點即是一個動作組態，而該點的所在空間的維度由手 臂關節的數目所決定） ，因此機械人的自由度即為 C-space 的維度。如 此，組態空間裡的禁止區域即為機械人碰撞障礙物的組態的集合，而禁止 區以外的自由空間 （free space） 則對應機械人所有安全的動作組態的 集合。因此整個避碰問題的核心被轉變成──『在自由空間裡，找一條連 接初始點和終點的一維路徑。』

組態空間描述了所有的組態，且幾乎把所有解都算了出來，因此解決 了 redundant solution 的問題，但是為了要描述所有機械手臂的組態，

必花費很多時間，這樣的前置工作代價太大，尤其是對高自由度的機械手 臂而言影響更重大。在 80 年代，微分幾何也被應用到組態空間，不少方 法研究 C-space 裡的 manifold 結構，伴隨著是更豐富的拓樸、幾何、代 數的特性。這樣的問題在數值分析、複雜度研究日趨成熟之後，演算法的 方向轉向了經驗法則式的規劃。這大致有兩個熱門的方向，一是細格的切 割法 （approximate cell decomposition） ，另一個是位能場 （potential field） 的應用。

如今在路徑規劃這個領域，已經有相當多的研究成果。大部分的方法 將問題轉換到組態空間，有些則直接在工作空間進行。基本上路徑規劃的 方 法 可 分 為 五 大 類 : 骨 架 法 (skeleton) 、 細 胞 切 割 法 (cell decomposition) 、數學規劃法 (mathematical programming) 、次要目 的圖形法 (subgoal graph) 以及位能場模型法。底下針對這五大類以及 其他各式方法作個概述。

2.1.1 骨架法

骨架法又稱為路線圖法 (roadmap)，收縮法 (retraction)，高速公 路法 (highway)。這個方法是將原有的自由空間轉換成一為線段所組成的 網路線段，也就是骨架，依據這些線段或骨架找出所要的路徑。因此所要 找的路徑就會被侷限在這些網路線段當中，而原先的路徑規劃問題被巧妙 的轉化成圖形的搜尋問題[16]。一般而言骨架法可分為三個步驟 : 首先將 物體起始位置移至位於骨架上的一點開始位置，接著再將物體最終位置移 至骨架上的一點為目的地，最後透過我們所建構出來的骨架網路用線段將 這 兩 個 點 連 接 起 來 。 其 中 兩 個 最 著 名的 骨 架 法 ， 為 視 線 可 見 圖 形 法 (visibility graph) 與 Voronoi 圖形法 (Voronoi diagram)。

2.1.2 切割法

Brooks & Lozano-Pérez 在 1983 年提出的切割法[17]是把安全空間

（free space）切割成大小不同的細格，利用這些切出來的格子依據其相 鄰關係組成一條安全的路徑，而格子的大小是決定結果的關鍵。而位能場 的應用始於 1986 年的[18]，Khatib 創新地利用人工位能場對機械人的排 斥力而達到避碰的目的，值得一提的是它能做到即時的運算。雖然這些方 法都很有效率，但是這兩種方法均在 C-space 裡討論，而且只適合總自由 度 二 或 三 的 機 械 手 臂 ， 對 於 總 自 由 度 四 或 五 以 上 的 redundant manipulator，這些方法很顯然都無法表現的良好，例如切割法可能會因 為細格切割出來的數量太大，在高自由度的機械手臂的路徑規劃中效能無 法提高；又例如位能場法，其機械人有可能陷入人工位能場的非最終目的 地的位能極小值 （local minima）。雖然之後有很多經驗法則式的演算法 對某些缺點做了改良[19]，但是卻無法保證其效率，且不夠穩定。

2.1.3 數學規劃法

在數學規劃法中，主要利用組態參數或不等式來達到避開障礙物的要 求。在 Yong 等人的研究中，探討了路徑規劃問題的數學最佳化模式，亦 即找出一條從起點到目的地組態的最短長度曲線。但是這些最佳化問題可 能是非線性的，而且由多個不等式組成，因此常運用數值方法來幫助尋找 最佳解。此外，還有一種利用線性代數作機械手臂動作規劃的方式，由 Cartesian 空間中末端操作點的速度 （或加速度），以便求得機械手臂各 關節所需的轉動變量，稱之為反運動學 （inverse kinematics）。一般利 用線性代數作機械手臂動作規劃的方法多為利用 Jacobian matrix，現今 已實際應用到多種機械手臂。Jacobian matrix 可以很方便的對關節變數 空間 （joint variable space） 和末端操作點移動空間 （end-effector

space） 兩者之間作線性轉換，可以快速的求得每個關節所需之轉動變 量，而作即時的動作規劃。不過這個方法必須用在工作空間為已知一條無 碰撞的末端操作點的移動路徑之後，才可對手臂的關節求得細部的轉速調 整，所以屬於動作規劃的控制，而非路徑規劃的避碰問題。此外任何矩陣 都有 singular 的問題，這一直都是動作規劃中有待解決的重點。

2.1.4 次要目的圖形法

次要目的圖形法則是利用工作空間中重要的中途站或是組態空間中 最重要的組態，即次要目的 (subgoal)，可以用來幫助找到路徑。不過次 要目的 (subgoal) 並不是強迫必須經過的，而是視情況而定。因此次要 目的圖形法通常分成兩個階段，分別為全域規劃 (global planner) 和局 部規劃 (local planner)。由全域規劃產生一個包含次要目的地的空間，

而 局 部 規 劃 則 是 用 來 確 認 每 一 個 次 要 目 的 地 中 的 可 到 達 性 (reachability)。與細胞分割法相似的是，其兩個次要目的地之間也可以 依實際情形需要再細分更多的次要目的地。Henningy 等人曾在[20]提出蛇 行機器人的運行方式，建立一數學規劃模式，取代傳統的機器人運動軌 跡。尤其在求解大型問題時，成效相當好。

2.1.5 位能場模型法

位能場的應用至今仍常被採用於機械手臂路徑規劃，在[21]中，

Laliberté 和 Gosselin 把工作空間作骨架 （skeleton） 抽取決定大致的 路徑，再用離散的位能場計算 （discrete potential field） 來減低 local minima 的數目。另外在[22]中，Ralli 和 Hirzinger 把 C-space 離散化成 格狀，並計算機械手臂於 C-space 中各點的數值位能值（numerical potential），然後再用快速的格狀搜尋（grid-searching），找出一條完

整的組態路徑，作為手臂動作的過程，不過缺點是最多只能到五個自由度 的機械手臂。Gill & Zomaya 於[23]中，結合了位能場以及基因演算法，

利用平行計算的方式作機械手臂的避碰，可是這個方式需要的硬體需求太 大，而且後置處理(路徑的平順化)是必要的。Vadakkepat 等人在[24]提 出人工位能場 (Evolutionary Artificial Potential Field, EAPF)來即 時地機器人路徑規劃，其中融合了基因演算法來產生最佳的位能場函數。

1991 年，位能場的應用開始加入了隨機方法（randomized planner）來解 決高自由度的手臂問題。Barraquand 和 Latombe 在[20]裡利用力場的負階 度（negated gradient）決定機械人的移動方向，當落入 local minima 時，則利用隨機亂數來決定運動的方向。1996 年 Kavraki 等人，於[25]

裡提出了 Probabilistic Roadmap（PRM），很成功的把其應用範圍提高至 高自由度的機械手臂，此演算法在 C-space 裡利用亂數，灑下一定數目的 點，每一個點即是指一個手臂的動作組態，然後區域性地 (locally) 把 一些沒有碰到障礙物的點連起來，形成一個圖（graph），而之後在這圖裡 找一條連接起點和終點的路徑，來描述機械手臂的整個運動過程。雖然這 方法可以在數十秒內建好圖，在不到一秒的時間裡找到一條路徑，但是機 率的操控的因素太大，成功率沒有絕對的保證，而且求出來的路徑可能需 要再平順化（smooth），再者，此方法只適合用於靜態的工作空間。

2.1.6 廣義位能場模型

除了最短距離 (minimum distance) 以及最短時間 (minimum time) 路徑之外，最安全 (safest) 路徑也是另一項用來評量路徑規劃演算法的 標準，1998 年 Jen-Hui Chuang 所發表提出的廣義位能場模型[6]，在三維 的工作空間中，經由計算廣義位能場中多面體的每個面所產生的推斥力，

可以找出障礙物與場景的位能谷底以及位能最小值，運用此推斥力，可將 運動中的手臂推往力的平衡點，這個平衡點就是可視為再當時刻最安全的

位置，而由每個時間點所計算出的力平衡點，連結起來的路徑，則可視為 最安全路徑，由於本篇論文即利用此方法作為依據，進而延伸到雙機械手 臂的路徑規劃，因此有關廣義位能場模型的推導及論述，將在下一章作詳 盡解說。

2.1.7 其他方法

除了上述的五大類路徑規劃方法以外，還有其它各式不同的方法被應 用到路徑規劃的領域，底下概述幾個作法。

Pires and Machado 於 [26] 提出基因演算法(GA) 產生機器人路徑規 劃的控制器。其目標為最小化機器人位置與速度所產生的波動。此外，在 不碰撞規劃空間中的障礙條件下，此控制器亦可達到事先預定之目標。

Maron and Lozano-Pieerez 於 [27] 利用視覺化的分解法，在擁有大 量障礙物的規劃環境下，即時地計算出無碰撞的移動路徑。此法將規劃空 間分解成數個區域性的視覺化圖形，以保證所有的的作業都在區域中進 行。由於搜尋的子空間的個數少，所以可使搜尋時間最小化。

Ando 等人在 [28] 提出一個分配式的演算法使有自由移動的機器人 環節朝向單一點運行。每一個機器人都朝向同一個方向重複運動。只有在 特定的距離 V 下，機器人才可看到彼此，而且中間沒有其他的機器人。此 外，這個演算法是無記憶性的，下一個位置的決定只與現在機器人現在所

Ando 等人在 [28] 提出一個分配式的演算法使有自由移動的機器人 環節朝向單一點運行。每一個機器人都朝向同一個方向重複運動。只有在 特定的距離 V 下，機器人才可看到彼此，而且中間沒有其他的機器人。此 外，這個演算法是無記憶性的，下一個位置的決定只與現在機器人現在所