路徑規劃演算法

路徑規劃所指的是在工作空間（workspace）中從起點到終點間尋找一條不 會與周圍發生碰撞的安全路徑，除了要求路徑的安全性之外，我們還希望所找出 來的能夠是距離最短、計算最有效率的路徑。1970 年代末期，Lozano-Pérez 和 Wesley 在[1]裡提出了一個完全演算法（complete algorithm），他們將障礙物所存 在的空間，以多邊形或是多面體來表示，形成一個禁止區之網路圖，而機械手臂 的路徑規劃問題便轉變為避開這些點，在圖中找尋一條安全的路徑，這個方式被 認為是C-space 的前身。到了 1983 年，Lozano-Pérez 和 Wesley 在[2]裡首度引進 了機械人組態空間（configuration space，簡稱 C-space）的觀念，影響了後來這 領域的研究方向。組態空間是機械手臂在工作空間中可能處於的所有狀態所形成 的空間，這個空間的維度由手臂關節數目及各關節的自由度個數決定，因此機械 人的自由度即為組態空間的維度。在組態空間中，機械手臂的組態被表示成一個 點，一個點即代表一個動作組態。如此，組態空間裡的禁止區域即為機械人碰撞 障礙物的組態的集合，而禁止區以外的自由空間 （free space） 則對應機械人所 有安全的動作組態的集合。因此整個避碰問題的核心便轉變成在組態空間的自由 空間裡，找一條連接起點組態和終點組態的路徑。

如今在路徑規劃這個領域，大部分的方法都是將問題轉換到組態空間處理，

但仍然有些是直接在工作空間進行。基本上路徑規劃的方法可分為五大類:骨架 法（skeleton）、細胞切割法（cell decomposition）、數學規劃法（mathematical programming）、次要目的圖形法（subgoal graph）以及位能場模型法。底下針對 這五大類以及其他各式方法作個概述。

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2.1.1 路線圖法

路線圖法（roadmap）是把原有的自由空間（free space）轉換成為某些線段 所組成的網路，也就是路線圖，依據這些路線圖找出所要的路徑。因此我們所要 找的路徑就會被侷限在這些網路線段當中，使得原先的路徑規劃問題被巧妙地轉 化成圖形的搜尋問題[3]。1996 年 Kavraki 等人，在[4]裡提出了 Probabilistic Roadmap（PRM），很成功的把其應用範圍提高至高自由度的機械手臂，此演算 著名建構路線圖的方法有：機率路線圖法（probabilistic roadmap, PRMs）、視線 可見圖形法（visibility graph）、Voronoi 圖形法（Voronoi diagram）和隨機快速搜 尋樹法（RRTs）等。

2.1.2 細胞切割法

Brooks & Lozano-Pérez 在 1983 年提出的細胞切割法[5]是把自由空間切割成 大小不同的細格（cell），將這些切出來的格子依據其相鄰關係組成一條安全的路 徑，格子的大小是決定結果的關鍵。位能場應用始1986 年的[6]，Khatib 創新地 利用人工位能場對機械人的排斥力而達到避碰的目的，且能做到即時的運算。雖 然這些方法都很有效率，但是這兩種方法均被侷限於C-space 裡討論，而且只適

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合 總 自 由 度 二 或 三 的 機 械 手 臂 ， 對 於 總 自 由 度 在 四 或 五 以 上 的 redundant manipulator ， 這 些 方 法 顯 然 都 無 法 有 良 好 的 表 現 ， 例 如 細 胞 切 割 法 （ cell decomposition）可能會因為細格切割出來的數量過大，導致在高自由度的機械手 臂的路徑規劃中效能不彰。雖然之後有很多經驗法則式的演算法對某些缺點做了 改良[7]，但是仍然無法保證其效率，且不夠穩定。

2.1.3 數學規劃法

在數學規劃法中，主要利用組態參數和不等式來達到避開障礙物的要求。在 Hwang 等人的研究[8]中，試著將路徑規劃問題的數學最佳化，亦即找出一條從 起點到目的地組態的最短長度曲線。但是這些最佳化問題可能是非線性的，轉而 由多個不等式組成，因此常運用數值方法來幫助尋找最佳解。此外，還有一種利 用線性代數方法，來做機械手臂動作規劃的方式，由 Cartesian 空間中末端操作 點的速度（或加速度），以便求得機械手臂各關節所需的轉動變量，稱之為反運 動學 （inverse kinematics）。一般線性代數式的機械手臂動作規劃方法，大多會 利用到 Jacobian matrix，且現今已實際應用到各式不同的機械手臂。Jacobian matrix 可以很方便的對關節變數空間（joint variable space）和末端操作點移動空 間 （end-effector space）做兩者之間的線性轉換，可以快速求得每個關節所需之 轉動變量，而做即時的動作規劃。不過此法必須用在工作空間為一條無碰撞的末 端操作點的移動路徑，始可對手臂的關節求得細部的轉速調整，所以屬於動作規 劃的控制，而不是路徑規劃的避碰問題。此外任何矩陣都有singular 的問題，這 一直都是動作規劃中有待解決的重點。

2.1.4 次要目的圖形法

次要目的圖形法是利用次要目的（subgoal）來幫助找到路徑，而次要目的 即工作空間中重要的中途站，或是組態空間中最重要的組態。不過次要目的並不

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是強迫必須經過的，而是視情況而定。所以次要目的圖形法通常分成兩個階段，

分別為全域規劃（global planner）和局部規劃（local planner）。全域規劃目的是 要產生一個包含次要目的地的空間，而局部規劃則是用來確認每一個次要目的地 礙物的排斥力作用而無法到達目標（unreachable goal）的問題。 local minima 形 成的主要原因是因為位能的分布存在四周位能都較高的位能谷，當機器人移至其 中便會被困在裡頭而走不出來；機器人會穿過、碰撞到物體或是機器人無法到達 目標的原因較多，但主要是因為障礙物與目標兩者對機器人的推斥力及吸引力相 互干擾所導致的結果。在local minima 的問題處理上，Laliberté 和 Gosselin 於 1994 年在[10]中把工作空間作骨架（skeleton）抽取形成大致的路徑，再利用離散的位 能場計算（discrete potential field）來降低遇到 local minima 機率；Barraquand 和 Latombe 於 1997 年在[11]裡利用力場的負階度（negated gradient）決定機械人的 移動方向，當機器人落入local minima 時，便利用隨機亂數來決定運動的方向。

近年來則有Park 和 Lee 在[12]中根據時間與位置的關係設計 local minima 偵測

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器，若偵測到機器人已落於local minima 中，便會製造虛擬的位能丘（virtual hill），提高該處的位能以改善 local minima 位能較四周低的情況，讓機器人能夠 脫離local minima。還有 DING 等在[13]中則是利用在障礙物的邊緣產生虛擬的 位能場，沿著障礙物邊緣來引導機器人走出local minima 的位置。在機器人會碰 撞到障礙物或無法到達目標的問題上，2000 年 Ge 和 Cui 兩人在[14]中透過設置 特殊的位能函數，讓目標位置的位能大小永遠為零，並讓機器人在相當靠近障礙 物時，位能大小趨近於無限大，使得目標位置的位能不會因為障礙物在附近而提 高，導致機器人可能無法到達目標，且因為機器人在相當靠近障礙物時因位能趨 近無限大，使得機器人無法碰撞到障礙物。2002 年 Chuang 等人在[15]中可以讓 機械手臂在非常靠近障礙物時，產生趨近於無窮大的推斥力，且透過瓶頸面的設

在路徑規劃上，除了最短距離（minimum distance） 以及最短時間 （minimum time）路徑之外，最安全（safest）路徑也是一項用來評量路徑規劃演算法的標準，

1998 年 Chuang 所發表提出的廣義位能場模型[16]，在三維工作空間中，藉由計 算廣義位能場中多面體的每個面所產生的推斥力，可以找出障礙物與場景的位能

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在1987 年，Faverjon 等人在[17]中便提出多手臂合作的方式，其主要方法是 利用簡單的幾何來描述所有物體以及機械手臂，並在障礙物與機械手臂、物體建 立一個測量距離的機制，並利用此機制建立組態空間的禁制區域，達到避碰的效 果，之後再利用手臂間的相對位置以及方向關係來進行手臂間的合作。以物體的 傳遞為例，此論文將已經拿著物體的手臂當作leader，而要接收物體的手臂當作 follower，在 leader 完成一個步驟之後，follower 便會根據目前抓取點（grasp point）

做適當移動，在此leader 並不會考慮 follower 的存在，所以 follower 的除了目標 點並不固定之外，還必須閃躲leader 所在的位置，所以運算複雜度也較 leader 提