論文架構

本論文主要分為五個章節，第一章針對我們的動機及應用面做簡易的介紹。接下來 的文中，將在第二章針對系統圖裡面的類比數位轉換器做基本架構介紹，其中主要選用 三角積分調變器為主要架構。在文中會了解到調變器的運作機制，以及電路當中必定產 生的誤差，並對簡單調變器架構的誤差進行分析。

第三章則對製作晶片的系統面進行分析。文中包含了論文中晶片區塊圖的呈現，及 其數學模組的推演，並且利用MATLAB / SIMULINK 進行系統參數的確認。經過幾番模 擬後，針對最後確定的系統參數之區塊進行性能的模擬分析，確保符合規格需求。第四 章則探討晶片中的細部電路，其中包含相位產生器、積分器、放大器及量化器等電路。

並且呈現模擬結果，以確保適用於本電路架構之中。最後在第五章中，參考其他論文中 的性能指標 (FOM)，針對本文中的晶片模擬結果數據與其他期刊論文進行比較，並對 本論文作總結。

第二章

三角積分調變器的基本概念

2.1 本章簡介

在本章中將會了解到三角積分調變器的運作機制。當取樣頻率改變時，對量化雜訊 的影響，以及高階調變器與低階雜訊轉換方程式的不同處。2 . 2 節主要對於類比數位轉 換器必定會遇到的量化雜訊做分析探討，找尋可能減緩該項雜訊的方法，並對一般性能 表示的方法作定義。2 . 3 節及 2 . 4 節則對低階及高階的單迴路三角積分調變器做分析。

在2 . 4 節會推導出單迴路三角積分調變器雜訊轉換方程式的一般式，並且繪出一階到三 階雜訊轉換方程式對應頻率的曲線圖，可從中觀察出調變器的階數對各個頻段的影響。

最後在2 . 5 節中，將針對為何選用論文中的三階轉換器做解釋，並在下個章節中，對文 中使用的轉換器作系統模擬。

2.2 三角積分調變器 (Sigma Delta Modulator)

圖2 - 1 取樣次數與量化誤差比較圖

三角積分調變器，早在 1960 年代即被提出。由於製程技術剛起步，因此若要完成 一個簡單的調變器，對當時的技術而言，勢必得花費相當高的成本。所以該項技術直到 近年，隨著製程技術的成熟，才再被深入探討、研究，大量運用在電子產品上。其運作 方式是利用頻率較高的相位，對較低頻的輸入訊號做取樣，取樣後經積分器及量化器處 理。得到一組輸出訊號，再將該輸出訊號與後一次的輸入訊號相減，得到一組量化誤差 值。利用相位的切換，令量化誤差回授至輸入端，並與輸入訊號一同進入積分器中做處 理，經過每一次的累積相減。最後在訊號頻率內，量化誤差大量減少。如圖2 - 1 所示，

若取樣次數增加，量化誤差也因訊號被切割較細且減少許多，並集中至高頻之中，使得 系統頻寬中的量化誤差下降，訊號量化雜訊比上升。以下針對三角積分調變器可能發生 的雜訊及操作機制做數學模組化分析，並且對表示三角積分調變器的性能指標定義做簡 單的介紹。

z 量化誤差

+ - A / D D / A Vin

VQ

VI

圖2 - 2 訊號經類比數位轉換生成量化誤差示意圖

如圖2 - 2 當輸入訊號經過類比數位轉換器及數位類比轉換器轉換後，不論電路是

否為理想，在量化的過程中必定會發生與原始輸入訊號不同的情形。而訊號與量化之差 值 VQ，通稱為量化誤差 (Quantization error)。

in I

Q V V

V = − (2 . 1)

以下為量化誤差的深入分析：

) (n

x y(n)

) (n e )

(n

x y(n)

(a) (b) 圖2 - 3 量化器及其線性模組化

圖2 - 3 (a)為量化器的示意圖，圖 2 - 3 (b)為其線性模組化圖。其中模組化的方式，

是將量化誤差視為外來的雜訊，圖中以e(n)表之。假設e(n)與其他因素形成的雜訊無 關，彼此相互獨立，並定義其範圍在±^VLSB₂ 之間。在觀察該雜訊時，若是直接相加後 平均，雜訊彼此存在正負關係，最後得到的加總結果趨近於零，無法正確判斷雜訊大小，

因此通常會將其做方均根 (Root Mean Square, rms) 的處理以便觀察。

其中V_LSB的定義，來自於數位類比轉換器，N 位元的 D/A 轉換器之輸出值，可表 示為：

(

)

N ref

out V b b b V B

V = ₁2⁻¹+ ₂2⁻²+L+ 2⁻ = (2 . 2) 數位訊號經D/A 轉換為類比訊號時，其輸出訊號的參考標地為V_ref，每經過 _N

12 的 參考電壓，即變換一個位元。通常定義最小的轉換位元電壓為最低有效位元 (Least significant bit, LSB)。

N ref LSB

V V

= 2 (2 . 3)

)

Height _Q

LSB 與雜訊比 (Signal-to-Noise Ratio, SNR)。若輸入為正弦波 (Sinusoidal waveform)，則正弦 波之方均根值經推算後為V_ref (2 2)，SNR 推導如下：

三角積分調變器提高訊雜比的主要方法，為超取樣 (Over-sampling) 及雜訊移頻 (Noise Shaping)。其中超取樣主要是分散量化雜訊，使訊號頻率內的雜訊減少。雜訊移 頻則是將雜訊推離訊號頻率至高頻，最後再由數位低通濾波器將高頻濾除。以下將對超 取樣做介紹。

超取樣轉換器 (Over-sampling converters)，是在對某一有限頻段之應用需求時被使

用。主要是其取樣頻率操作在大於有限頻段 (fo) 的兩倍的情形下，取樣頻率將量化誤差

max OSR

P

號失真的情形，下面針對熱雜訊做介紹。一般在導體中，平均電流為零時，當中電子在

電容值，以降低熱雜訊對電路效能的影響。

z 性能指標

為了更了解電路之性能優劣，下面針對論文中表示該電路的性能指標，包含訊號雜 訊比、訊號雜訊和失真比、有效位元數、動態範圍…等作定義及解釋，以便在設計過程 中能夠辦別設計出的電路是否符合需求。

¾ 訊號雜訊比 (Signal-to-noise ratio, SNR)

訊號雜訊比是指系統中的訊號功率對上雜訊功率的比例。用在三角積分調變器上，

通常是取其輸出點的數值做分析，經過快速傅利葉轉換 (Fast-Fourier Transform, FFT) 運 算，利用漢尼窗 (Hanning Window) 做加權得到的值。而其中的雜訊來源，主要來自所 有轉換過程中可能發生的雜訊，當中不包含諧波失真 (Harmonic Distortion)。SNR 的峰 值亦表示著系統的效能。

¾ 訊號雜訊和失真比 (Signal-to-noise plus distortion ratio, SNDR)

訊號雜訊和失真比與訊號雜訊比相似，但在雜訊功率中包含了所有的雜訊，諧波失 真也受到考慮。最大SNDR 對三角積分調變器效能的好壞，是一個重要的指標。

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

+

+ noise HD

signal HD

noise signal

A A P

dB P

SNDR( ) 10log 20log (2 . 21)

¾ 有效位元數 (Effective number of bits, ENOB)

為最簡易判別轉換器優劣的方式，有效位元數被定義為類比訊號轉換成數位訊號時 的位階對照，通常是以二進位表示。

02 . 6

) ( 76 . 1 dB ENOB SNDR−

= (2 . 22)

¾ 動態範圍 (Dynamic Range, DR)

改變輸入訊號振幅之輸入功率，對應出不同的SNR 或 SNDR，可以繪出如圖 2-7 之曲線。而動態範圍的定義即為最大SNR 或 SNDR 時的輸入功率值與 SNR 或 SNDR 的 值為零時的輸入功率值之差，即為其動態範圍，如圖上X 軸的虛線標示之範圍。

圖2 - 7 動態範圍示意圖

2.3 低階三角積分調變器

三角積分調變器的階數影響著其效能高低，由電路複雜度而言，低階調變器相對於 高階而言，架構簡單，設計起來也較為容易。但是對應所需的應用，可能無法符合規格，

然而簡單的電路卻是我們在製作複雜架構的基礎，下面我們就是利用最簡單的一階及二 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

Dynamic Range

Normalize input power (dB)

SNR/SNDR (dB)

0 50 100

階構造做深入解析。

z 一階三角積分調變器

圖2 - 8 一階三角積分調變器方塊圖及 z 轉換等效圖

三角積分調變器的另一項機制，即為雜訊移頻 (Noise Shaping)，在本章節中該項對 雜訊的處理方法，將被討論並且模組化。

考慮圖2 - 8的線性模組，當中有兩個互相獨立的輸入，分別為主要訊號輸入及等效 雜訊的輸入，分別可表示成訊號轉換方程式 (Signal transfer function, STF) 及雜訊轉換 方程式 (Noise transfer function, NTF)

( ) ( )

一階三角積分調變器，為該架構中，最為簡易之情形，因此一般用來了解調變器的

z 二階三角積分調變器

影響，設計難度更為提升。因此在本論文中，使用了單迴路三階三角積分調變器來實踐

圖2 - 10 各階三角積分調變器雜訊移頻能力比較圖

圖2 - 10 分別為一階、二階及三階的雜訊轉換方程式對應到頻率的曲線圖。當階數 愈高時，在訊號頻域裡的雜訊幾乎為零，量化雜訊幾乎集中到一半的取樣頻率之內。

然而要設計高階的調變器，還必須考慮到其穩定性。一個系統是否穩定，可參考轉 換方程式中的極點是否落入Z 平面的單位圓，除了可以穩固系統的穩定性外，還可以有 效的將系統發揮，達到較好的性能。在大部份的例子中，多是調整系統參數，一方面使 得量化雜訊降到最低，另一方面使系統達到穩定。而另一個影響電路穩定性的，就是輸 入訊號的振幅大小。由於輸入訊號必須經過每個積分器，又在每個積分器，波形都會因 超取樣的頻率影響，乘上一增益，所以當振幅過大，超過系統臨界點時，其輸出將會不 受約束地放大，造成系統不穩定。因此在設計調變器時，輸入訊號大小，亦是設計重點 之一。

2.5 本章結論

一般的類比數位轉換器，多利用尼奎斯特 (Nyquist) 的方式去對訊號做取樣的動 作。其取樣頻率只用到訊號頻寬的兩倍，則訊號頻寬內的解析度很難提高。生醫音頻訊 號相對於其他訊號而言，其頻率相對很低，因此使用三角積分調變器，利用超取樣的方

式，其取樣頻率也是相對低頻，又可將音頻訊號頻段內的量化雜訊降到最低。三角積分 調變器又分成單迴路 (Single-loop) 及多迴路系統 (Muti-loop)，兩相比較之下，多迴路 可將訊號頻率內的量化雜訊處理到較少的狀態。然而多迴路的設計問題，相較於單迴路 系統而言更為複雜，包含線性度(Linearity)、偏置誤差 (Offset error) 及增益誤差 (Gain error) 等問題需要處理，對於每個迴路都必須做縝密的考量，且在功率的消耗上勢必較 一般單一迴路來得高。為了簡化問題，在此選用單迴路的調變器做為主要的架構，考慮 到低階的調變器的SNR可能不足，在此選用三階單迴路全差動三角積分調變器。

第三章

全差動三角積分調變器之設計考量

3.1 本章簡介

本章將針對三角積分器的系統架構做介紹，數學積分模組的近似、推演及積分器的 等效推演等。在3 . 2 節中，我們將利用 MATLAB 對論文中的系統架構係數做確認。利 用 SIMULINK 架設區塊圖，輸入正弦波，截取其中之輸入及輸出的訊號數據後，再送

本章將針對三角積分器的系統架構做介紹，數學積分模組的近似、推演及積分器的 等效推演等。在3 . 2 節中，我們將利用 MATLAB 對論文中的系統架構係數做確認。利 用 SIMULINK 架設區塊圖，輸入正弦波，截取其中之輸入及輸出的訊號數據後，再送