論文架構

此篇論文中主要是要探討切換式系統如何建構 nonzeno(有限時間內有限次 切換)的切換律，及不同切換律之比較。在第二章中使用了李亞普諾夫方程式 (Lyapunov Function)來判斷不穩定子系統間存在可穩定化之條件及切換律設計，

而在第二章中所使用之切換律，有可能會產生有限時間內無限次切換之問題即 zeno 的現象，所以在第三章中說明了如何建構一個 nonzeno 的切換律來處理這個 問題，並且整理出[27]中建構 nonzeno 的切換律之步驟。第四章中我們使用了倒 單擺的例子及線性切換式系統，來對第二章及第三章提出之理論做一個比較，最 後第五章則是對此篇論文做一個總結及提供一些未來可研究之方向。

CHAPTER 2

不穩定子系統間存在穩定切換律條 件及其切換律之探討

一般切換式系統的數學表示如下:

)

x& = f_i(x , i∈

{

1,2L,N

}

, x∈Rⁿ

在此我們考慮一個特別的情況，就是其子系統皆為線性系統則可將上式改寫為 x

x& = A_i , i∈

{

1,2L,N

}

, x∈Rⁿ

我們的目的是希望此切換式線性系統，可經由切換後穩定，即t →∞,x(t)→0 考慮底下例子[16]:

例子 2.1:

x

x& = A_i , i∈

{ }

^1,2

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

= −

1 . 0 2

1 1 . 0

A1 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

−

= −

1 . 0 1

2 1 . 0 A2

令初值x₁=1，x₂ =1由圖 2-1 的相位圖可以知道這兩個線性子系統是穩定的，

計算其A₁之特徵值為-0.1000±1.4142i，A₂之特徵值為-0.1000±1.4142i。

圖 2-1 A₁和A₂之x₁，x₂相位圖

使用底下切換律進行切換。

⎩⎨

⎧

>

= ≤

0 ,

1

0 ,

2

2 1

2 1

x x

x i x

圖 2-2 例 2.1 經過切換後之x₁，x₂相位圖

我們由圖 2-2 可知兩個穩定系統間的切換，若使用不適當的切換律也有可能造成

不穩定，因此我們可以了解到切換律對切換式系統之影響是很重要的。即穩定的 子系統經由切換後，有可能造成穩定或不穩定的結果，那如果子系統皆不穩定是 否也可以經由切換後達到穩定的結果，我們從[26]也可以知道對於不穩定之子系 統間也有是可能經過切換來達到穩定的目的，而此章主要是在討論不穩定子系統 間是否存在可穩定切換律的條件及其切換律之探討。

2.1 兩個不穩定子系統使用共同李亞普諾夫方程式來判斷不穩定子系統間存在可 穩定化之條件及其切換律設計。

2.2 如何將 2.1 的條件使用到 N 個不穩定子系統。

2.3 若共同李亞普諾夫方程式無法求得時，使用多重李亞普諾夫方程式來判斷不 穩定子系統間是否可穩定化，及其切換律設計。

2.1 兩個不穩定子系統

式子(2-1)為描述切換式系統的數學表示:

) (x

x& = f_i , i∈I:=

{

1,2L,N

}

, x∈Rⁿ (2-1)

若此切換式系統中之子系統皆不穩定的話，我們要如何去判斷這些子系統是否可 以經由切換來達到穩定的目的，而其條件為何呢?對於這個問題，我們可以使用 李亞普諾夫方程式的理論來處理這個問題[21],[22]。其主要想法是，若在系統(2-1) 中我們找到一個共同李亞普諾夫方程式V(x)=x^TPx，且其一次微分後滿足

0 ) ( min <

∈ _i x

I

i V& I:=

{

1,2,L,N

}

(2-2) 則系統(2-1)可經由一個適當的切換律[23]，最小投影策略(min-projection)根據(2-3) 決定要動作的系統。

) ( min

arg x^T _j x

I

j Pf

i= ∈ , I:=

{

1,2,L,N

}

(2-3)

根據定理 2.1 我們可以知道此切換律是保證使系統穩定。

定理 2.1[23]:

考慮切換式系統(2-1)。若存在矩陣P>0，而且存在一個常數γ >0使得所有的 x 在 f_i(x)內至少有一個系統滿足(2-4)

x x x

x^TPf_i( )≤−γ ^T

2 (2-4)

由 Lyapunov 的觀念，可知在最小投影(min-projection)策略(2-3)下可使切換式系統 在滿足可穩定化條件後，經由切換達到指數穩定。

在此章中我們討論(2-1)中的一個特別的情況，就是其子系統皆為線性系統，

且其子系統只有兩個，則其切換式線性系統表示為:

x& = A_ix , i∈ I:=

{ }

1,2 , x∈Rⁿ (2-5)

其中A₁，A₂皆不為赫維茲矩陣(Hurwitz matrix)，我們定義李亞普諾夫方程式 (Lyapunov function)為:

x x

x P

V( )= ^T

從(2-2)可知道對於這兩個不穩定之線性系統間，存在穩定切換律之充分條件，可 用以下式子來表示:

>0

∃P 使得 U_i=1,2{x|x^T(A_i^TP+PA_i)x<0}=Rⁿ \{0} (2-6)

若滿足(2-6)之條件後則可以使用一個適當的切換律[23]使得x(t)→0達到穩定的 目的，但是在這個理論中有一個問題就是其矩陣P 要如何決定。後來在 1994[26]

中也提出了存在穩定切換律之充分條件如下所示:

) 1 0

( < <

∃α α αA₁+(1−α)A₂ = A_eq為赫維茲矩陣 (2-7)

及

>0

∃β A₁+βA₂ = A_eq為赫維茲矩陣 (2-8)

而(2-7)，(2-8)是對等的，在此我們可以使用羅斯赫維茲穩定準則來驗證是否存在β 值。現在我們可以得到(2-6)及(2-8)這兩個判斷存在穩定切換律之充分條件。然而 在 1996 年[11]中(2-6)及(2-8)被證明了是對等的條件，因此我們可以從(2-8)式中 所找出之A 由下列的李亞普諾夫方程式，來求解出矩陣_eq P 。

0 , >

−

≤

+PA Q Q

P

A_eq^T _eq (2-9)

由以上之討論我們可以得到判斷存在穩定切換律之充分條件，當(2-6)或(2-8) 成立時我們可以使用適當的切換律，來進行切換使切換式線性系統(2-5)穩定，在 此我們使用[23]中的最小投影(min-projection)策略，根據(2-3)決定要動作的系統，其中

x

x _j

j A

f ( )= j=1,2。

對於線性切換式系統(2-5)來說矩陣P 可由(2-9)來求解出，其矩陣 P 可滿足 (2-4)。以下整理出建構穩定切換的步驟。

演算法則 2.1: (兩個不穩定子系統達成穩定之步驟)

Step1: 使用羅斯赫維茲穩定準則來檢查A₁ +βA₂ = A_eq是否存在∃β >0，使得A _eq 為一個赫維茲矩陣，如果成立則進行 Step2。

Step2: 選擇一個β值，使A 為赫維茲矩陣，並且由下列李亞普諾夫方程式來求_eq 解出矩陣P:

A_eq^TP+PA_eq =−Q , Q>0 。

Step3: 使用最小投影策略(2-3)來進行切換，其中 f_j(x)= A_jx

) ( min

arg x^T _j x

I

j Pf

i= ∈ I:=

{ }

1,2 。

2.2 N 個不穩定子系統

在上節中我們所討論的切換式系統(2-5)其子系統只包含了兩個線性系統，那 如果其子系統不只兩個時，那其(2-6)及(2-8)這兩個判斷存在穩定切換律之條件是 否可以使用呢?在這一小節中我們將來討論這個問題。

現在考慮以下切換式系統型式

x

x& = A_i , i∈

{

1,2L,N

}

, x∈Rⁿ (2-10) 其中A_i,i=1,L,N皆不為赫維茲矩陣，定義李亞普諾夫方程式為

x x

x P

V( )= ^T

則(2-6)存在穩定切換律之充分條件，可以改寫為下列式子:

0

其特徵值不可能全在左半平面，不為赫維茲矩陣因此我們可以知道條件(2-11)⇒/

Step2: 利用A 由下列李亞普諾夫方程式來求解出_eq 矩陣P:

0 ) (A_eq =

tr 。因此由 2.2 節的討論中我們知道共同李亞普諾夫方程式是無找到的。

但是這兩個系統是否就無法經由切換到達穩定的目的?我們使用以下切換律來進 行切換:

⎩⎨

⎧

>

= ≤

0 ,

2

0 ,

1

2 1

2 1

x x

x i x

由圖 2-4 我們可以看到系統還是可以經由切換來達到穩定。

圖 2-4 例 2.3 經過切換後之x₁，x₂相位圖

因此對於單一李亞普諾夫方程式無法找出時，是否就無法使其切換式系統穩 定 的 這 個 問 題 ， [3] 提 出 了 一 個 多 重 李 亞 普 諾 夫 方 程 式 (Multiple Lyapunov functions)的概念來處理這個問題。此多重李亞普諾夫方程式的基本想法為，對於 每個子系統 f_i(x)，定義對應於 f_i(x)的類李亞普諾夫方程式V_i(x)，並且建構一 個切換律來使得切換至i 的V_i(x)是逐次遞減。我們用兩個子系統來說明此想法。

我們令t 為切換的時間點，_k k =1,2,L切換次數，整體的李亞普諾夫方程式為 ))

(

)(

(k tk

V_{σ t} x ，σ_(tk) =1,2為切換信號，假設在切換的瞬間V₁ =V₂，即對於所有k

)) ( ( ))

(

( _{( )}

)

(k 1 tk 1 V k tk

V_{σ t −} x ₋ = _{σ t} x ，則V_σ(tk)(x(t_k))為一連續函數，由[3]的想法從圖 2-5 可看出系統是一直往原點趨近使系統狀態達到穩定。

圖 2-5 連續函數 _{( )}( ( _k))

k t

V_{σ t} x 實線系統 1，虛線系統2

但在一般的情況下有可能會發生以下情形，當第i 個系統動作時其V_i(x)是逐 漸遞減，但切換至其他系統時原本之前動作的系統之V_i(x)是遞增，則此時的

)) ( ( ))

(

( _{( )}

)

(k 1 tk 1 V k tk

V_{σ t−} x ₋ ≠ _{σ t} x ， _{( )}( ( _k))

k t

V_{σ t} x 不為一連續函數。由 [3]的想法，我們用 兩個子系統來看的話，由圖 2-6 可以看出系統也是一直往原點趨近使系統狀態達 到穩定。

圖 2-6 不連續函數 _{( )}( ( _k))

k t

V_{σ t} x 實線動作中系統，虛線未動作系統 經由以上之觀念我們整理出底下穩定條件，我們考慮以下系統

) (x

x& = f_i , i∈{1,2L,N} , x∈Rⁿ (2-15) 使其滿足以下兩個條件

0

(

1 1 + 1 1

)

x<⁰

CHAPTER 3

有限時間進行有限次切換(nonzeno) 之切換律研究

對於第二章所使用之切換律(2-3)，由[23]有提到說是有可能發生有限時間內 無限次切換的現象即 zeno 的現象。我們考慮以下例子。

例 3.1[26]:

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡− −

= 7 7 5 4

A1 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

13 7

5 3 A2

令 3

= 2

β 可以使得A₁+βA₂ = A_eq為赫維茲矩陣，由A_eq^TP+PA_eq =−I來解出P

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

3147 . 0 0105 . 0

0105 . 0 5413 . P 0

經由切換律(2-3)來進行切換我們從圖 3-1(a)可知系統會趨近原點，但從圖 3-1(b) 中可以看到會發生 zeno 的現象。

(a)

(b)

圖 3-1 (a)例 3.1 經過切換後之x₁，x₂相位圖(b)切換信號

而這個現象是我們不希望發生的，因此我們利用找出一個時間T ，使得每個系_d 統都至少都動作T 的時間後再用切換律(2-3)來判斷要動作的系統，來解決有限_d 時間內無限次切換，但是這樣有可能無法達到漸近穩定的效果，因此我們引入實 際穩定(Practical Stability)的觀念，即系統狀態進入我們所接受的範圍後，系統之 狀態即保持在這個的範圍內，而使用此時間T 可保證系統為實際穩定性。在此_d 章中我們將介紹實際穩定性(Practical Stability)的觀念[27]及利用此觀念來建構出

nonzeno 的切換律，整理出[27]中建構此切換律之步驟。對於若切換式系統中的 子系統皆為穩定時，我們將介紹存在時間(Dwell Time)的切換律，來避免 zeno 現 象。以下分三節來討論 nonzeno 的切換律。

3.1 存在時間(Dwell Time)

3.2 何謂實際穩定性(Practical Stability)

3.3 如何由可實際穩定之切換式系統建構 nonzeno 切換律，並且整理出建構此切 換律之步驟

3.1 存在時間(dwell time)

對於切換式系統

) (x

x& = f_i , i∈

{

1,2,L,N

}

, x∈Rⁿ (3-1)

考慮其子系統皆為赫維茲矩陣，我們可以找出一個τ_d的時間，使每個子系統至 少動作τ_d時間後再進行切換，使得有限時間內無限次切換的情況不會發生。

以下我們考慮i=1,2的情況下如何求出時間τ_d [16]。由於子系統皆穩定因此 存在李亞普諾夫方程式V_i(x)=x^TP_ix,i=1,2，決定a_i >0,b_i >0,c_i >0滿足

2

2 (x) x

x _{i i}

i V b

a ≤ ≤ (3-2) 和

) 2

(x x

x ^{i i}

i f c

V ≤−

∂

∂ (3-3)

將(3-2)，(3-3)合併起來得

) ( 2 )

(x x

x ^{i i i}

i f V

V ≤− λ

∂

∂ (3-4)

其中

其中γ 為一任意正整數。由(3-6)，(3-7)我們可以得到

3.2 實際穩定性(Practical Stability)

上節中討論的切換式系統，為子系統皆為穩定，而在第二章中我們已經知 道，如何判斷切換式系統(2-1)是否可穩定化的條件及切換律的建構，雖然第二章 中所用之切換律(2-3)由[23]可知是保證可以達到指數穩定，但從例 3.1 可以看出 會有 zeno 的現象，為了解決這個問題我們可以令每個系統都至少動作一個適當 的T 時間後再用切換律(2-3)來判斷要切換至那一個子系統，改善這個有限時間_d

內無限切換的 zeno 現象，然而此方法有可能使系統軌跡在原點附近振盪，但若 是 振 盪 的 大 小 在 我 們 可 接 受 範 圍 內 的 話 我 們 稱 此 為 實 際 穩 定 性 (Practical Stability)。我們可以從圖 3-3 來表示此觀念。

圖 3-3 實際穩定性圖示

我們考慮以下切換式系統 ) (x

x& = f_i , i∈

{

1,2L,N

}

, x∈Rⁿ (3-9) 現在我們對切換式系統(3-9)來定義實際穩定性(Practical Stability)[27]。

定義 3.1:

假設對切換式系統(3-9)給定切換律S，給定一個ε >0，若∃δ =δ(ε)>0使得

0 ), , 0 ( ) ( )

, 0 ( ) 0

( ∈B δ ⇒ x t ∈B ε ∀t ≥ x

則在這個切換律S下切換式系統(3-9)為ε 實際穩定(ε -practically stable) 定義 3.2:

假設對切換式系統(3-9)給定一個切換律S，給定一個ε >0，若在這個切換律S下 切換式系統(3-9)為ε −practically stable且∀x(0)∈D，∃T =T(x(0))≥0使得

x(t)∈B(0,ε),∀t ≥T

則在這個包含原點的區域D 中，在切換律S下切換式系統為ε 實際漸近穩定 (ε -practically asymptotically stable)

定義 3.3:

若對於所有ε >0，存在切換律S =S(ε)使得系統在這個切換律S下為ε 實際穩定 則切換式系統(3-9)為可實際穩定(practically stabilizable)

定義 3.4:

若對於所有ε >0，存在切換律S =S(ε)使得系統在這個切換律S下為ε 實際漸近 穩定，則切換式系統(3-9)在這個包含原點的區域 D 中，為可實際漸近穩定

若對於所有ε >0，存在切換律S =S(ε)使得系統在這個切換律S下為ε 實際漸近 穩定，則切換式系統(3-9)在這個包含原點的區域 D 中，為可實際漸近穩定

在文檔中 切換式系統可穩定性及切換律之研究 (頁 15-0)