切換式系統可穩定性及切換律之研究

國

立

交

通

大

學

電機與控制工程學系

碩士論文

切換式系統可穩定性及切換律之研究

Study of Stabilizability of a class of Switched Systems and

their Stabilizability Switching Law

研 究 生：曾昭銘

指導教授：梁耀文 博士

切換式系統可穩定性及切換律之研究

Study of Stabilizability of a class of Switched Systems and

their stabilizability Switching Law

研 究 生：曾昭銘 Student：Zhao-Ming Zeng

指導教授：梁耀文 博士 Advisor：Yew-Wen Liang

國立交通大學電機與控制工程學系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Electrical and Control Engineering

College of Electrical Engineering and Computer Science

National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Electrical and Control Engineering

July 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

切換式系統可穩定性及切換律之研究

研究生：曾昭銘

指導教授：梁耀文 博士

國立交通大學電機與控制工程學系

摘要

本篇論文使用李亞普諾夫理論探討子系統為不穩定之切換式系

統可穩定化的條件及穩定切換律的建構。由於切換式系統經過切換後

要達到漸近穩定有可能會出現 zeno 的現象(即有限時間內無限次切

換)，因此本論文利用讓每個系統至少動作一段時間後再進行切換，

藉此來改善 zeno 的現象，但此法有可能無法使切換式系統達到漸近

穩定的目的，因此在此介紹了實際穩定性，讓切換式系統經過切換後

可達到實際穩定。而本論文中也探討了如何建構 nonzeno 的切換律並

且整理出實現 nonzeno 切換律的演算法則，最後提出一些例子來驗證

其結果。

Study of Stabilizability of a class of Switched Systems and their

Switching Law

Student：Zhao-Ming Zeng Advisor : Dr. Yew-Wen Liang

Department of Electrical and Control Engineering

National Chiao Tung University

ABSTRACT

This thesis investigates the issue of stabilizability of a class of

switched systems, where all the subsystems are assumed to be unstable,

through the Lyapunov approach. Since the stabilizabilty switching law

might result in chattering behavior (or zeno), a kind of switching law that

acts on each subsystem at least on a constant time period T between

adjacent switch is proposed for alleviating the zeno phenomenon;

However, this modified switching law can only guarantee practical

stability rather than asymptotic stability performance. This study also

presents an algorithm to perform the nonzeno stabilization switching law

in practical stability sense. Finally, examples demonstrate the usage and

benefits of the approach.

誌 謝

本篇論文的完成，實在要感謝太多人了，沒有你們的幫助，恐無法有所精進， 希望日後能繼續給予指教與鼓勵，必銘記在心! 首先，要感謝我的指導教授梁耀文博士在專業領域上的指導，使我這兩年的 的學習中受益良多，除此之外老師對於日常生活、人生處世以及做人的道理也不 吝提供幫助以及提供正確且良好的觀念，將對於往後的人生有所助益，也要感謝 系上曾給予協助的老師，同時，也要感謝口試委員廖德誠博士、鄭治中博士和陳 俊宏博士給予指正與寶貴的建議，使本論文更加完備。 接下來要感謝江家禎學長，蔡哲倫學長，黃智盛學長及徐聖棟學長在我遇到困難 及心情低落時能給予適時的幫助與鼓勵，再來要感謝實驗室的同學宏泰，逸康在 研究上給予支持與協助，而學弟紹偉，益銘，丞昶也都會適時的給予我一些意見， 感謝你們對於我的幫助，使我能夠更專心於研究，以及感謝其他的同學，你們曾 給予我幫助，陪我度過這兩年的日子，充實我的研究生活。 最後要感謝我的家人，感謝我的父親、母親、哥哥，從小到大陪我一路走來， 對我的包容，實在辛苦你們了!我將這論文獻給你們，謝謝你們對我的支持與鼓 勵，讓我可以無後顧之憂的在學業上勇往直前，進而完成研究所的學業，謝謝你 們!

目 錄

頁次 中文摘要 I 英文摘要 II 誌謝 III 目錄 IV 圖目錄 VI Chapter 1 緒論...1 1.1 研究背景...1 1.2 研究動機...4 1.3 論文架構...6 Chapter 2 不穩定子系統間存在穩定切換律條件及其切換律之探討...7 2.1 兩個不穩定子系統 ...9 2.2 N 個不穩定子系統 ...12 2.3 多重李亞普諾夫函數 ...16 Chapter 3 有限時間進行有限次切換(nonzeno)之切換律研究 ...21 3.1 存在時間(dwell time) ...23 3.2 實際穩定性(Practical Stability) ...25

3.3 達成實際穩定性之 nonzeno 切換律可行性研究 ...27 Chapter 4 應用範例模擬與討論...36 4.1 倒單擺使用 nonzeno 切換律和 zeno 切換律之比較 ...37 4.2 倒單擺系統使用 VSC 設計及使用切換式系統的比較...44 4.3 對於兩個不穩定線性系統之 nonzeno 切換律設計與討論 ...51 4.4 存在時間切換律之模擬與討論...56 Chapter 5 結論與未來研究方向...60 5.1 結論 ...60 5.2 未來研究方向 ...61 參考文獻...62

圖 目 錄

圖 1-1 切換式系統示意圖... 1 圖 1-2 多個控制器控制單一受控體示意圖... 2 圖 1-3 例 1.1 經過切換後之x₁，x₂相位圖 ... 5 圖 1-4 例 1.1 之切換信號 ... 5 圖 2-1 A₁和A₂之x₁，x₂相位圖 ... 8 圖 2-2 例 2.1 經過切換後之x1，x2相位圖 ... 8 圖 2-3 例子 2.2 中_U3_i=1{x|xT(A_iTP+PA_i)x<0}=Rn \{0}示意圖... 14 圖 2-4 例 2.3 經過切換後之x₁，x₂相位圖 ... 17 圖 2-5 連續函數Vσ₍t_k)(x(tk))實線系統 1，虛線系統 2... 18 圖 2-6 不連續函數Vσ₍t_k)(x(tk))實線動作中系統，虛線未動作系統 ... 18 圖 3-1 (a)例 3.1 經過切換後之x1，x2相位圖; (b)切換信號... 22 圖 3-2 切換序列... 24 圖 3-3 實際穩定性圖示 ... 26 圖 3-4 各集合示意圖... 29 圖 4-1 倒單擺示意圖... 37 圖 4-2 倒單擺使用不同的輸入u ... 38 圖 4-3 (a)x1，x2軌跡圖; (b)x1，x2相位圖; (c)切換信號; (d)3 秒到 3.1 秒 切換信號 ... 42 圖 4-4 (a)x1，x2軌跡圖; (b)x1，x2相位圖; (c)切換信號; (d)3 秒到 3.1 秒 切換信號 ... 44 圖 4-5 (a)x1，x2的軌跡圖; (b)x1，x2相位圖; (c)輸入u ... 48 圖 4-6 min ( )<0 ∈I i x i V& ，I :=

{ }

1,2 ... 49

圖 4-7 (a)x₁，x₂的軌跡圖; (b)x₁，x₂相位圖; (c)切換信號; (d)0.22 到 0.4 秒之切換信號 ... 51 圖 4-8 (a)x₁，x₂軌跡圖; (b)x₁，x₂相位圖; (c)切換信號; (d)1.2 到 1.45 秒 切換信號 ... 54 圖 4-9 (a)x₁，x₂軌跡圖; (b)x₁，x₂相位圖; (c)切換信號; (d)1.2 到 1.45 秒 切換信號 ... 55 圖 4-10 (a)x₁，x₂軌跡圖; (b)x₁，x₂相位圖; (c)切換信號... 56 圖 4-11 (a)x1，x2軌跡圖; (b)x1，x2相位圖; (c)切換信號 ... 57 圖 4-12 (a)x₁，x₂軌跡圖; (b)x₁，x₂相位圖; (c)切換信號... 58 圖 4-13 (a)系統 1x1，x2軌跡圖; (b)系統 1x1，x2相位圖 ... 58 圖 4-14 (a)系統 2x₁，x₂軌跡圖; (b)系統 2x₁，x₂相位圖 ... 59

CHAPTER 1

緒論

1.1 研究背景

目前工業上實際使用中的系統大多都是混合了離散事件及連續變數的動態 系統，即所謂的混合系統(hybrid system)。所謂的切換式系統一般來說是一組包 含了多個子系統，及一個適當的切換規則組合而成，其子系統可由微分方程式或 差分方程式來表示，此系統也是屬於混合系統的一種，其架構可由圖 1-1 來表示。 圖 1-1 切換式系統示意圖

除此之外，在[15]，[1]，[16]中所提到的非完整系統(nonholonomic control system)， 這類型的系統在某些條件下，經由 Brockett's condition[16]，[2]可知無法使用單 一個回授控制使其穩定，在[13]中使用了切換式系統的概念來解決這個問題，而 在[15]中也提出了一個非完整系統的實際例子就是推車的應用，在這個例子的應 用中，我們可以看到[15]是使用了兩組控制器輸入來達到穩定的目的。這種使用 多組控制器，控制單一個受控體的架構如圖 1-2 所示。 圖 1-2 多個控制器控制單一受控體示意圖 而此種型式也是屬於切換式系統的一種，因為我們可以將第一個控制器和受控體 看成第一個子系統，第二個控制器和受控體看成第二個子系統，再配合一個適當 的切換規則轉為圖 1-1 的架構。其他像是模糊控制(Fuzzy control)，適應性控制 (adaptive control)，可變結構控制(variable structure control)這種有多重模式的控制 技術，也可以將切換式系統的概念應用在其上面，由上可知切換式系統可應用的 範圍是很廣泛的。 目前也有很多切換式系統的實際運用，例如: 電力系統[14][5]，通訊系統 [28]，網路控制[17]，化工程序[10]，PWM 控制[25]，磁浮軸承控制[20]，遙控氣 墊船[24]，冷暖氣空調[6]等等。因此，對於切換式系統該如何設計其切換規則， 切換式系統的穩定性及性能分析等等的相關議題在最近幾十年內也被廣泛的討 論。其中，穩定性的分析是每一種系統所遇到的第一個重要問題，而且對於切換

式系統來說更為重要，因為從[18]中我們可以知道就算是每一個子系統皆為穩 定，但切換律選取不當整體系統仍然是不穩定，也因此切換式系統穩定性的分析 [18][7][8][19][3][26]在目前為最受大家所感興趣的問題。 而目前對於切換式系統的穩定性分析大多都是使用李亞普諾夫方程式 (Lyapunov function)來討論，這是一個從能量觀點來分析系統是否穩定的理論， 也是一個被廣泛用來討論系統穩定性的方法。其中切換式系統的穩定性主要包含 了以下的幾個問題: 1.如何判斷切換式系統是否存在穩定切換律的條件 2.如何設計穩定切換律 其中問題 1 中的子系統可分為三類: (a)子系統皆為穩定 (b)子系統可為不穩定 (c)子系統皆為不穩定 而問題 2 內目前所使用的穩定切換律有以下幾種: (a)狀態變數切換法則[8] (b)選取最大或最小的李亞普諾夫方程式(Lyapunov function)的切換法則[16] (c)存在時間(dwell time)切換法則[16] (d)最小投影(min-projection)策略[23] 除了穩定性問題外，其他像是切換式系統性能分析[12]，切換律設計[26][23] 等等的問題，也是有越來越多人加入研究，由此可知切換式系統逐漸被大家所重 視。

1.2 研究動機

一般在討論切換式系統穩定性，大多是討論子系統皆為穩定時的狀況下， 但若子系統皆為不穩定時是否可經由切換後達到穩定呢?我們先考慮以下切換式 系統: x& = A_ix , i∈

{ }

1,2 , x∈Rn 在[26]對於這個問題提供了一個判斷存在穩定切換律的條件及建構穩定切換律 的方法，其存在穩定切換律的判斷條件為: ∃α >0 使αA₁+

(

1−α

)

A₂ =A_eq 為赫維茲矩陣 (1-1) 還有一另個條件為 ∃P>0使

U

2

{

(

)

}

{ }

1 | 0 \ 0 = + < = i n i T i T _{A P PA R} x x x (1-2) 而這兩個條件在[11]已被證明是對等條件，其中A 可以為不穩定的系統。滿足_i (1-1)，(1-2)之條件後則切換式系統是可以經過切換後達到穩定的目的，我們利用 以下的例子來說明。 例 1.1: 考慮以下兩個子系統 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − = 5 . 1 5 . 1 2 . 1 1 1 A _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 3 5 . 1 5 . 2 1 2 A 1 A 其之特徵值為0.25±0.4873i，A₂之特徵值為 1.7839，-3.7839，我們可以知道 這兩個系統皆為不穩定，令α =0.6及P 為: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 . 0 1 . 0 5 . 0 P

可滿足條件(1-1)，(1-2)，切換規則使用[23]之最小投影(min-projection)策略，由[23] 可知此策略可達到指數穩定。由圖 1-3 可知這兩個系統經過切換後是會一直往原 點趨近，但為了達到這個目的會發生 zeno 現象(有限時間內無限次切換)，由圖 1-4 我們也可以看出其切換次數是非常的多，而這是我們不希望發生的。 圖 1-3 例 1.1 經過切換後之x₁，x₂相位圖 圖 1-4 例 1.1 之切換信號 而一般實際的系統有些是當狀態進入我們所設定的範圍後，系統之狀態即保持在 裡面的情況，在這種情形下也稱為穩定即實際穩定(Practical Stability)的觀念，因 此希望利用此穩定的觀念來解決 zeno 的現象。而在此篇論文中利用了存在時間

(Dwell Time)及實際穩定(Practical Stability)的想法來解決 zeno 的問題，並且比較 使用實際穩定(Practical Stability)與指數穩定的結果。

1.3 論文架構

此篇論文中主要是要探討切換式系統如何建構 nonzeno(有限時間內有限次 切換)的切換律，及不同切換律之比較。在第二章中使用了李亞普諾夫方程式 (Lyapunov Function)來判斷不穩定子系統間存在可穩定化之條件及切換律設計， 而在第二章中所使用之切換律，有可能會產生有限時間內無限次切換之問題即 zeno 的現象，所以在第三章中說明了如何建構一個 nonzeno 的切換律來處理這個 問題，並且整理出[27]中建構 nonzeno 的切換律之步驟。第四章中我們使用了倒 單擺的例子及線性切換式系統，來對第二章及第三章提出之理論做一個比較，最 後第五章則是對此篇論文做一個總結及提供一些未來可研究之方向。

CHAPTER 2

不穩定子系統間存在穩定切換律條

件及其切換律之探討

一般切換式系統的數學表示如下: ) (x x& = f_i , i∈

{

1,2_L,N

}

, x∈Rn 在此我們考慮一個特別的情況，就是其子系統皆為線性系統則可將上式改寫為 x x& = A_i , i∈

{

1,2_L,N

}

, x∈Rn 我們的目的是希望此切換式線性系統，可經由切換後穩定，即t →∞,x(t)→0 考慮底下例子[16]: 例子 2.1: x x_& = A_i , i∈

{ }

1,2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 . 0 2 1 1 . 0 1 A _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 . 0 1 2 1 . 0 2 A

令初值x₁=1，x₂ =1由圖 2-1 的相位圖可以知道這兩個線性子系統是穩定的， 計算其A1之特徵值為-0.1000±1.4142i，A2之特徵值為-0.1000±1.4142i。 圖 2-1 A₁和A₂之x₁，x₂相位圖 使用底下切換律進行切換。 ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = 0 , 1 0 , 2 2 1 2 1 x x x x i 圖 2-2 例 2.1 經過切換後之x₁，x₂相位圖 我們由圖 2-2 可知兩個穩定系統間的切換，若使用不適當的切換律也有可能造成

不穩定，因此我們可以了解到切換律對切換式系統之影響是很重要的。即穩定的 子系統經由切換後，有可能造成穩定或不穩定的結果，那如果子系統皆不穩定是 否也可以經由切換後達到穩定的結果，我們從[26]也可以知道對於不穩定之子系 統間也有是可能經過切換來達到穩定的目的，而此章主要是在討論不穩定子系統 間是否存在可穩定切換律的條件及其切換律之探討。 2.1 兩個不穩定子系統使用共同李亞普諾夫方程式來判斷不穩定子系統間存在可 穩定化之條件及其切換律設計。 2.2 如何將 2.1 的條件使用到 N 個不穩定子系統。 2.3 若共同李亞普諾夫方程式無法求得時，使用多重李亞普諾夫方程式來判斷不 穩定子系統間是否可穩定化，及其切換律設計。

2.1 兩個不穩定子系統

式子(2-1)為描述切換式系統的數學表示: ) (x x& = f_i , i∈I:=

{

1,2_L,N

}

, x∈Rn (2-1) 若此切換式系統中之子系統皆不穩定的話，我們要如何去判斷這些子系統是否可 以經由切換來達到穩定的目的，而其條件為何呢?對於這個問題，我們可以使用 李亞普諾夫方程式的理論來處理這個問題[21],[22]。其主要想法是，若在系統(2-1) 中我們找到一個共同李亞普諾夫方程式V(x)=xTPx，且其一次微分後滿足 0 ) ( min < ∈I i x i V& I:=

{

1,2,L,N

}

(2-2) 則系統(2-1)可經由一個適當的切換律[23]，最小投影策略(min-projection)根據(2-3) 決定要動作的系統。

) ( min arg xT _j x I j Pf i ∈ = , I:=

{

1,2,_L,N

}

(2-3) 根據定理 2.1 我們可以知道此切換律是保證使系統穩定。 定理 2.1[23]: 考慮切換式系統(2-1)。若存在矩陣P>0，而且存在一個常數γ >0使得所有的 x 在 f_i(x)內至少有一個系統滿足(2-4) x x x xTPf_i( )≤−γ T 2 (2-4) 由 Lyapunov 的觀念，可知在最小投影(min-projection)策略(2-3)下可使切換式系統 在滿足可穩定化條件後，經由切換達到指數穩定。 在此章中我們討論(2-1)中的一個特別的情況，就是其子系統皆為線性系統， 且其子系統只有兩個，則其切換式線性系統表示為: x& = A_ix , i∈ I:=

{ }

1,2 , x∈Rn (2-5) 其中A1，A2皆不為赫維茲矩陣(Hurwitz matrix)，我們定義李亞普諾夫方程式 (Lyapunov function)為: x x x P V ₌ T ) ( 從(2-2)可知道對於這兩個不穩定之線性系統間，存在穩定切換律之充分條件，可 用以下式子來表示:

0 > ∃P 使得 1,2{ | ( ) 0} \{0} n i T i T i= x x A P+PA x< =R U (2-6) 若滿足(2-6)之條件後則可以使用一個適當的切換律[23]使得x(t)→0達到穩定的 目的，但是在這個理論中有一個問題就是其矩陣P 要如何決定。後來在 1994[26] 中也提出了存在穩定切換律之充分條件如下所示: ) 1 0 ( < < ∃α α αA1+(1−α)A2 = A_eq為赫維茲矩陣 (2-7) 及 0 > ∃β A₁+βA₂ = A_eq為赫維茲矩陣 (2-8) 而(2-7)，(2-8)是對等的，在此我們可以使用羅斯赫維茲穩定準則來驗證是否存在β 值。現在我們可以得到(2-6)及(2-8)這兩個判斷存在穩定切換律之充分條件。然而 在 1996 年[11]中(2-6)及(2-8)被證明了是對等的條件，因此我們可以從(2-8)式中 所找出之A 由下列的李亞普諾夫方程式，來求解出矩陣_eq P 。 0 , > − ≤ +PA Q Q P AT _eq eq (2-9) 由以上之討論我們可以得到判斷存在穩定切換律之充分條件，當(2-6)或(2-8) 成立時我們可以使用適當的切換律，來進行切換使切換式線性系統(2-5)穩定，在 此我們使用[23]中的最小投影(min-projection)策略，根據(2-3)決定要動作的系統，其中 x x _j j A f ( )= j=1,2。 對於線性切換式系統(2-5)來說矩陣P 可由(2-9)來求解出，其矩陣 P 可滿足 (2-4)。以下整理出建構穩定切換的步驟。

演算法則 2.1: (兩個不穩定子系統達成穩定之步驟) Step1: 使用羅斯赫維茲穩定準則來檢查A₁ +βA₂ = A_eq是否存在∃β >0，使得A _eq 為一個赫維茲矩陣，如果成立則進行 Step2。 Step2: 選擇一個β值，使A 為赫維茲矩陣，並且由下列李亞普諾夫方程式來求_eq 解出矩陣P: A_eqTP+PA_eq =−Q , Q>0 。 Step3: 使用最小投影策略(2-3)來進行切換，其中 f_j(x)= A_jx ) ( min arg xT _j x I j Pf i ∈ = I:=

{ }

1,2 。

2.2 N 個不穩定子系統

在上節中我們所討論的切換式系統(2-5)其子系統只包含了兩個線性系統，那 如果其子系統不只兩個時，那其(2-6)及(2-8)這兩個判斷存在穩定切換律之條件是 否可以使用呢?在這一小節中我們將來討論這個問題。 現在考慮以下切換式系統型式 x x& = A_i , i∈

{

1,2_L,N

}

, x∈Rn (2-10) 其中A_i,i=1,_L,N皆不為赫維茲矩陣，定義李亞普諾夫方程式為 x x x P V ₌ T ) (

則(2-6)存在穩定切換律之充分條件，可以改寫為下列式子: 0 > ∃P 使得 _UiN₌₁{x|xT(A_iTP+PA_i)x<0}=Rn \{0} (2-11) 若滿足(2-11)之條件後則可以使用一個適當的切換律(2-3)使得t→∞，x(t)→0 達到穩定的目的。由[8]我們可以知道(2-8)的條件可以改寫為: 0 > ∃α_i , 1 1 <

∑

= N i i α , 使得 _eq N i i i A A

∑

= = 1 α 為赫維茲矩陣 (2-12) 在上節中我們知道 N=2 時(2-11)和(2-12)是對等，但在 N>2 的情況下是否也成立 呢?答案是不行的，而以下將說明條件(2-11)⇒/ 條件(2-12)，條件(2-12)⇒ 條件 (2-11)。 我們可以從以下之反例來說明條件(2-11)⇒/ 條件(2-12) 例子 2.2: 考慮底下三個系統: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− = 2 0 0 2 1 A _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 5 . 2 5 . 2 1 2 A _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 5 . 1 5 . 1 1 3 A 計算其特徵值為λ

( ) {

A1 = −2,2

}

，λ

( ) {

A2 = −2.69,2.69

}

，λ

( ) {

A3 = −1.8,1.8

}

，可 以清楚看出這三個系統皆為不穩定。令 _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 1 P ，畫xT(A_iTP+PA_i)x=0而此 式可分解為

(

a_ix₁ +b_ix₂

)

(a_i′x₁+b_i′x₂)=0其中a_i,b_i,a_i′,b_i′為常數，所以我們可以畫 出兩條直線再判斷小於零的區域。因此由圖 2-3 中我們可以知道，虛線為 0 ) ( ₁ + ₁ x< xT ATP PA 的 區 域 ， 點 線 為 xT(A₂TP+PA₂)x<0 區 域 ， 實 線 為

0 ) ( ₃ + ₃ x< xT ATP PA 區域。所以由圖 2-3 看出 } 0 { \ } 0 ) ( | { 3 1 n i T i T i= x x A P+PA x< =R U 是成立的。 圖 2-3 例子 2.2 中 31{ | ( ) 0} \{0} n i T i T i= x x A P+PA x< =R U 之示意圖 接下來我們令 3 2 1 2 2 1 1A A (1 )A A_eq =α +α + −α −α 則可得 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − − − − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 3 1 4 5 . 1 5 . 1 4 5 . 1 5 . 1 2 3 1 ) 1 ( ) 1 ( 5 . 1 ) 1 ( 5 . 1 1 5 . 2 5 . 2 2 0 0 2 α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α eq A 令A 之特徵值為_eq λ₁，λ₂，根據(2-12)其A 必須為赫維茲矩陣，即特徵值皆在左_eq 半平面，但是由我們求解出之A 是找不出_eq α_i值使A 為赫維茲矩陣因為: _eq 0 ) (A_eq =λ₁ +λ₂ = trace

其特徵值不可能全在左半平面，不為赫維茲矩陣因此我們可以知道條件(2-11)⇒/ 條件(2-12)。 而當條件(2-12)成立時 _eq N i i i A A

∑

= = 1 α 為赫維茲矩陣，我們可以找到一個矩陣P 使得下列式子成立: 0 , 0 > < − = +PA Q Q P AT _eq eq (2-13) 將(2-12)代入(2-13)中可以得到: 0 , 0 ) ( 1 ≠ ∀ < − = +

∑

= x x x x x N i T i T i T i A P PA Q α (2-14) 將(2-14)展開後可得 0 , 0 ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2 2} 1x + x+ x + x+ + x + N x< ∀x≠ T N T N T T T T _{A P PA α A P PA α A P PA} α _L 我們可以知道∀x≠0其xT(A_iTP+PA_i)x,i=1,L,N中，必定至少有一個是小於 零。因此可以得到條件(2-12)⇒ 條件(2-11)這個結論。 由以上討論我們知道雖然條件(2-11)及條件(2-12)並不是對等的，但條件(2-12) 仍然為(2-11)之充分條件，因此我們還是可以使用(2-12)之結果依照底下步驟來建 構穩定的切換。 演算法則 2.2:(多個不穩定子系統達成穩定之步驟) Step1: 檢查是否存在∃α_i >0 , 1 1 <

∑

= N i i α ，使得 _eq N i i iA A

∑

= = 1 α 為赫維茲矩陣，如 果成立則進行 Step2。

Step2: 利用A 由下列李亞普諾夫方程式來求解出_eq 矩陣P: 0 , > − ≤ +PA Q Q P AT _eq eq 。 Step3: 使用最小投影策略(2-3)來進行切換其中 f_j(x)= A_jx， j=1,2,_LN argminxT _j(x) I j Pf i ∈ = I:=

{

1,2,_L,N

}

。

2.3 多重李亞普諾夫函數

上面二節中分析切換式系統(2-1)穩定性及建構穩定切換律的方法是，在多個 子 系 統 中 找 出 單 一 個 李 亞 普 諾 夫 方 程 式V(x)=xTPx ， 使 其 一 次 微 分

{

N

}

I V_i I i ( ) 0, : 1,2, , min & < = L ∈ x 但是若其單一李亞普諾夫方程式無法找出時，是否 就無法使其切換式系統穩定?我們先看看以下例子: 例 2.3: 考慮切換以下兩個子系統 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 1 5 . 0 0 1 A _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 5 . 0 1 0 2 A 首先要判斷這兩個子系統是否符合可穩定化的條件(2-7)，我們經由簡單的計算可 得: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = = − + 0 5 . 0 5 . 0 5 . 0 1 0 ) 1 ( 2 1 _α α α αA A A_eq 由上式可看出不論α 的值為何，A 為赫維茲矩陣是不可能存在的。因為其_eq

0 ) (A_eq = tr 。因此由 2.2 節的討論中我們知道共同李亞普諾夫方程式是無找到的。 但是這兩個系統是否就無法經由切換到達穩定的目的?我們使用以下切換律來進 行切換: ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = 0 , 2 0 , 1 2 1 2 1 x x x x i 由圖 2-4 我們可以看到系統還是可以經由切換來達到穩定。 圖 2-4 例 2.3 經過切換後之x₁，x₂相位圖 因此對於單一李亞普諾夫方程式無法找出時，是否就無法使其切換式系統穩 定 的 這 個 問 題 ， [3] 提 出 了 一 個 多 重 李 亞 普 諾 夫 方 程 式 (Multiple Lyapunov functions)的概念來處理這個問題。此多重李亞普諾夫方程式的基本想法為，對於 每個子系統 f_i(x)，定義對應於 f_i(x)的類李亞普諾夫方程式V_i(x)，並且建構一 個切換律來使得切換至i 的V_i(x)是逐次遞減。我們用兩個子系統來說明此想法。 我們令t 為切換的時間點，_k k =1,2,_L切換次數，整體的李亞普諾夫方程式為 )) ( ( ) (k tk V_{σ t} x ， _{( )} =1,2 k t σ 為切換信號，假設在切換的瞬間V₁ =V₂，即對於所有k )) ( ( )) ( ( _{( )} ) (_{k 1} tk 1 V _k tk V_{σ t −} x ₋ = _{σ t} x ，則Vσ(tk)(x(tk))為一連續函數，由[3]的想法從圖 2-5 可看出系統是一直往原點趨近使系統狀態達到穩定。

圖 2-5 連續函數 _{( )}( ( _k)) k t V_{σ t} x 實線系統 1，虛線系統2 但在一般的情況下有可能會發生以下情形，當第i 個系統動作時其V_i(x)是逐 漸遞減，但切換至其他系統時原本之前動作的系統之V_i(x)是遞增，則此時的 )) ( ( )) ( ( _{( )} ) (k ₁ tk 1 V k tk V_{σ t−} x ₋ ≠ _{σ t} x ， _{( )}( ( _k)) k t V_{σ t} x 不為一連續函數。由 [3]的想法，我們用 兩個子系統來看的話，由圖 2-6 可以看出系統也是一直往原點趨近使系統狀態達 到穩定。 圖 2-6 不連續函數 _{( )}( ( _k)) k t V_{σ t} x 實線動作中系統，虛線未動作系統 經由以上之觀念我們整理出底下穩定條件，我們考慮以下系統 ) (x x& = f_i , i∈{1,2_L,N} , x∈Rn (2-15) 使其滿足以下兩個條件

0 ) 0 ( = i V 且x∈Ω_i,x≠0時V_i(x)>0 (2-16) i Ω ∈ x 時 ( ) ( ) ( )≤0 ∂ ∂ = x x x x _i i f V V& (2-17) 則我們可以由以下之定理 2.2 來保證系統(2-15)可以達到漸近穩定的目的。 定理 2.2[16]: 假設條件(2-17),(2-16)成立且_Ui Ω_i = Rn，對於k < ，令p t_k < 使t_p i p k t t ) = ( ) = ( σ σ 及 i j t ) ≠ ( σ 在t_k <t_j <t_p，若存在γ >0使得 2 ) ( ) (_p ( (tp)) V _k ( (tk)) (tk) V_{σ t} x − _{σ t} x ≤−γ x 則系統(2-15)為漸近穩定。 所以我們知道當單一李亞普諾夫方程式無法求出時，可以使用多重李亞普諾 夫方程式的概念來判斷系統(2-15)是否可穩定，這也使得系統(2-15)得到穩定的條 件可以放寬。由上的討論我們知道使用多重李亞普諾夫理論也可以判斷切換式系 統是否穩定，接下來我們考慮切換兩個不穩定的線性系統使用多重李亞普諾夫方 程式來建構穩定的切換律。 考慮切換以下兩個不穩定的線性系統 x x_& = A_i , i∈

{ }

1,2 , x∈Rn (2-18) 對應於其類李亞普諾夫函數為V₁(x)=xTP₁x，V₂(x)=xTP₂x，其中P₁ =P₁T >0， 0 2 2 = > T P P 。Ω₁ ，Ω₂定義為V&₁(x)<0和V&₂(x)<0的區域。若切換式系統(2-18) 滿足條件(2-16)，(2-17)及定理 2.2，則系統(2-18)在滿足以下情況[16]時會存在穩 定的切換律。

(

_{1 1} + _{1 1}

)

x<0 xT ATP PA 當 xTP₁x≤xTP₂x x≠0 (2-19)

(

_{2 2} + _{2 2}

)

x<0 xT ATP P A 當 xTP₂x≤xTP₁x x≠0 (2-20) 其切換律[16]為 )) ( ( min arg V t i _i I i∈ x = I =

{ }

1,2 我們可以知道經由此切換律若在S =

{

xxTP₁x=xTP₂x

}

沒有滑動模式下時，則對應 系統A₁及A₂的李亞普諾夫方程式V₁(x)和V₂(x)是會逐漸的遞減因此由李亞普諾 夫的理論可以保證系統(2-18)為穩定。但在x∈S時發生滑動模式的話，我們可以 得到以下兩個不等式

(

) (

)

(

_{1 1}− ₂ + ₁− _{2 1}

)

x≥0 xT AT P P P P A (2-21)

(

) (

)

(

_{2 1}− ₂ + ₁ − _{2 2}

)

x≤0 xT AT P P P P A (2-22) 當滑動模式產生時我們無法確定是那個系統動作，因此不失一般性我們令i=1， 底下將說明滑動模式產生時會隨著其符合的 Filippov 解遞減。對所有α∈

( )

0,1 我 們可得到

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 < + − + + ≤ + − + + = − + + − + x x x x x x x x x x A P P A A P P A A P P A A P P A A A P P A A T T T T T T T T T T α α α α α α α α 上式中第一個不等號是根據(2-22)得來的，因此我們可以知道當產生滑動模式系 統軌跡也向原點趨近達到穩定的目的。

CHAPTER 3

有限時間進行有限次切換(nonzeno)

之切換律研究

對於第二章所使用之切換律(2-3)，由[23]有提到說是有可能發生有限時間內 無限次切換的現象即 zeno 的現象。我們考慮以下例子。 例 3.1[26]: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − = 7 7 5 4 1 A _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 13 7 5 3 2 A 令 3 2 = β 可以使得A1+βA2 = A_eq為赫維茲矩陣，由AeqTP+PAeq =−I來解出P

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 3147 . 0 0105 . 0 0105 . 0 5413 . 0 P 經由切換律(2-3)來進行切換我們從圖 3-1(a)可知系統會趨近原點，但從圖 3-1(b) 中可以看到會發生 zeno 的現象。 (a) (b) 圖 3-1 (a)例 3.1 經過切換後之x₁，x₂相位圖(b)切換信號 而這個現象是我們不希望發生的，因此我們利用找出一個時間T ，使得每個系_d 統都至少都動作T 的時間後再用切換律(2-3)來判斷要動作的系統，來解決有限_d 時間內無限次切換，但是這樣有可能無法達到漸近穩定的效果，因此我們引入實 際穩定(Practical Stability)的觀念，即系統狀態進入我們所接受的範圍後，系統之 狀態即保持在這個的範圍內，而使用此時間T 可保證系統為實際穩定性。在此_d 章中我們將介紹實際穩定性(Practical Stability)的觀念[27]及利用此觀念來建構出

nonzeno 的切換律，整理出[27]中建構此切換律之步驟。對於若切換式系統中的 子系統皆為穩定時，我們將介紹存在時間(Dwell Time)的切換律，來避免 zeno 現 象。以下分三節來討論 nonzeno 的切換律。 3.1 存在時間(Dwell Time) 3.2 何謂實際穩定性(Practical Stability) 3.3 如何由可實際穩定之切換式系統建構 nonzeno 切換律，並且整理出建構此切 換律之步驟

3.1 存在時間(dwell time)

對於切換式系統 ) (x x_& = f_i , i∈

{

1,2,_L,N

}

, x∈Rn (3-1) 考慮其子系統皆為赫維茲矩陣，我們可以找出一個τ_d的時間，使每個子系統至 少動作τ_d時間後再進行切換，使得有限時間內無限次切換的情況不會發生。 以下我們考慮i=1,2的情況下如何求出時間τ_d [16]。由於子系統皆穩定因此 存在李亞普諾夫方程式V_i(x)=xTP_ix,i=1,2，決定a_i >0,b_i >0,c_i >0滿足 2 2 ) (x x x _{i i} i V b a ≤ ≤ (3-2) 和 2 ) (x x x i i i _{f c} V _≤− ∂ ∂ (3-3) 將(3-2)，(3-3)合併起來得 ) ( 2 ) (x x x i i i i _{f V} V _{≤− λ} ∂ ∂ (3-4) 其中

i i i b c 2 = λ (3-5) 考慮圖 3-2 切換序列 圖 3-2 切換序列 我們知道 )) ( ( )) ( ( t₀ e 2 V t₀ V_{i x} +τ_d ≤ − λiτd _{i x [ , ]} 0 0 t d t t∈ +τ 由上述之不等式關係我們可以得到以下之式子 )) ( ( )) ( ( )) ( ( 1 0 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 V t e a b t V a b t V _x ≤ _x ≤ − λτd _{x (3-6)} 和 )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( 2( ) _{1 0} 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 e V t a a b b t V e a b t V a b t V _x ≤ _x ≤ − λτd _x ≤ − λ+λ τd _{x (3-7)} 若滿足定理 2.2 之要求我們可以明確的算出時間τ_d，並且知道系統(3-1)當N =2 時是漸近穩定。因此我們可得 2 0 0 1 2 1( (t )) V ( (t )) | (t )| V x − x ≤−γ x

其中γ 為一任意正整數。由(3-6)，(3-7)我們可以得到 2 0 0 1 ) ( 2 2 1 1 2 | ) ( | )) ( ( 1 2 1 V t t e a a b b _d x x γ τ λ λ _≤− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − 根據(3-2)可以知 γ τ λ λ _≤− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − 1 ) ( 2 2 1 1 2 1 2 1 a e a a b b _d 由於γ 為一任意正整數因此 1 ) ( 2 2 1 2 e 1 2 a a b b − λ+λ τ_{d ≤} 我們可以計算出其 2 1 2 1 2 1 log ) ( 2 1 a a b b d _{λ λ} τ + > (3-8) 因此對於系統(3-1) 當N =2時若求出時間τ_d，我們可以使子系統至少動作τ_d時 間後再進行切換，使得有限時間內無限次切換的情況不會發生。

3.2 實際穩定性(Practical Stability)

上節中討論的切換式系統，為子系統皆為穩定，而在第二章中我們已經知 道，如何判斷切換式系統(2-1)是否可穩定化的條件及切換律的建構，雖然第二章 中所用之切換律(2-3)由[23]可知是保證可以達到指數穩定，但從例 3.1 可以看出 會有 zeno 的現象，為了解決這個問題我們可以令每個系統都至少動作一個適當 的T 時間後再用切換律(2-3)來判斷要切換至那一個子系統，改善這個有限時間_d

內無限切換的 zeno 現象，然而此方法有可能使系統軌跡在原點附近振盪，但若 是 振 盪 的 大 小 在 我 們 可 接 受 範 圍 內 的 話 我 們 稱 此 為 實 際 穩 定 性 (Practical Stability)。我們可以從圖 3-3 來表示此觀念。 圖 3-3 實際穩定性圖示 我們考慮以下切換式系統 ) (x x_& = f_i , i∈

{

1,2_L,N

}

, x∈Rn (3-9) 現在我們對切換式系統(3-9)來定義實際穩定性(Practical Stability)[27]。 定義 3.1: 假設對切換式系統(3-9)給定切換律S，給定一個ε >0，若∃δ =δ(ε)>0使得 0 ), , 0 ( ) ( ) , 0 ( ) 0 ( ∈B δ ⇒ x t ∈B ε ∀t ≥ x 則在這個切換律S下切換式系統(3-9)為ε 實際穩定(ε -practically stable) 定義 3.2: 假設對切換式系統(3-9)給定一個切換律S，給定一個ε >0，若在這個切換律S下 切換式系統(3-9)為ε −practically stable且∀x(0)∈D，∃T =T(x(0))≥0使得

x(t)∈B(0,ε),∀t ≥T

則在這個包含原點的區域D 中，在切換律S下切換式系統為ε 實際漸近穩定

(ε -practically asymptotically stable) 定義 3.3: 若對於所有ε >0，存在切換律S =S(ε)使得系統在這個切換律S下為ε 實際穩定 則切換式系統(3-9)為可實際穩定(practically stabilizable) 定義 3.4: 若對於所有ε >0，存在切換律S =S(ε)使得系統在這個切換律S下為ε 實際漸近 穩定，則切換式系統(3-9)在這個包含原點的區域 D 中，為可實際漸近穩定 (practically asymptotically stabilizable)

3.3 達成實際穩定性之 nonzeno 切換律可行性研究

在上節中我們對切換式系統(3-9)定義了什麼是實際穩定性，接下來我們要利 用這個實際穩定性的觀念，來說明如何建構一個 nonzeno 的切換律。 輔助定理 3.1: 若 f(x)為定義在Ω 上之連續函數且Ω⊂Rn為緊緻集(compact set)，則存在 Ω ∈ b a x x , 使得 Ω ∈ ∀ ≤ ≤ x x x x ) ( ) ( ) , ( _a f f _b f 即 f(x)在Ω 內存在有最大值和最小值 輔助定理 3.2: 若 f(x)為定義在Ω 上之連續函數，Ω⊂Rn為緊緻集(compact set)，則 f(x)在Ω 上 為一均勻連續函數，即

( )

0 , 0 ∃ > > ∀ε δ ε 若x− y <δ(ε) 則 f(x)− f(y) <ε x,y∈Ω 定理 3.1[27]: 從切換式系統(3-9)假設能找到一個連續可微的正定函數V(x)，令ρ >0且集合 ρ Ω 為Ω_ρ =

{

x∈Rn :V(x)≤ ρ

}

是有界的，若滿足以下條件 0 ) ( min < ∂ ∂ ∈I _x i x i f V ， ∀x∈Ω_ρ −

{ }

0 (3-10) 則切換式系統(3-9)在包含原點的任意區域D∈Ω_ρ是為可實際漸近穩定

(practically asymptotically stabilizable)。

若滿足定理 3.1 時，我們可以找出一個時間T 使每一個系統都可以至少動作_d d T 時間後再切換，以下說明如何找出時間T 。 _d 選取ε >0，β >0使得(ε 表示軌跡最後會保留在B(0,ε)，即以 0 為原點ε 為 半徑的圓之範圍內) ) ( min || ||x x x ρand εV β ≥ Ω ∈ < (3-11) 令Ω_β =

{

x∈Ω_ρ |V(x)≤β

}

，且滿足Ω_β ⊆B(0,ε)，考慮集合

{

2

}

2 / | ( ) β ρ β = ∈Ω ≤ Ω x V x 我們定義

( ) (

)

(

)

x y y x − = Ω ∂ Ω ∂ = = = 2 / ) ( ) ( 2 / inf , β β β β ξ V V dist (3-12) 在此 dist 表示為Ω ，_β Ω_β/2這兩個有界集合之距離。圖 3-4 為以上集合之關係。 圖 3-4 各集合示意圖 在Ω 的範圍內我們定義 _ρ

{

N

}

I I i f V h_i( ) _i( ) , ∈ , := 1,2,_L ∂ ∂ = x x x (3-13) ) ( min ) ( min ) ( x x x x _i I i i I i f h V H ∈ ∈ ∂ = ∂ = (3-14) 定義集合Ω_β/2,_ρ =

{

x∈R |β/2≤V(x)≤ρ

}

n _{。很明顯的} ρ β/2, Ω 為一個緊緻集 (compact set)。由輔助定理 3.1 知

0 > ∃γ 使得 γ ρ β − = Ω ∈max/2, ( ) x H x (3-15) 由輔助定理 3.2 可知h_i(x)在緊緻集(compact set) Ω 內為一均勻連續函數，故 _ρ 0 1 > ∃r 使得 2 ) ( ) ( _a − _{i b} ≤γ i h h x x 當 x ,_a x_b∈Ωρ及x_a − x_b <r₁ (3-16) 最後令 maxmax (x) x i I i f L ρ Ω ∈ ∈ = 定義: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = L L r T_d min 1 ,ξ 當T 時間求出後可用以下切換律來切換達到實際穩定的效果 _d 演算法則 3.1:(達成實際穩定之切換律)

(i) 0, ₀ 0, ₀ argmin (x)

x i I i f V i t k ∂ ∂ = = = ∈ 。 (ii) 若 (t_k)∉Ω ,t_k =kT_d 2 β x 在

[

kT_d (k+1)T_d

]

時間內使用 argmin _i(x) I i k f x V i ∂ ∂ = ∈ 之 系統，若 2 ) (tk ∈Ωβ x 則使用

[

(k−1)T_d kT_d

]

時間內所動作的系統。 (iii) k = k+1，重複步驟(ii) 底下我們說明上述切換律可以使系統(3-9)達到實際穩定。我們分兩步驟來說 明，第一個步驟說明，當x(0)∈Ω_{β 2,ρ}時切換式系統狀態在有限時間內會進入 2 / β Ω ，第二個步驟說明若x(0)∈Ω_{β 2}則V x( t( ))≤β，∀t∈[0,T_d)，也就是說若 2 ) 0 ( ∈Ω_β x 則在T 時間內系統狀態會保持在_d B(0,ε)內。

步驟一(若x(0)∈Ω_{β 2,ρ}時切換式系統狀態在有限時間內會進入Ω_β/2): 使用反證法來說明。假設軌跡不會進入Ω_β/2也就是說V x( (t))≥β/2，∀t。 由上述切換律步驟(2)我們知道在kT 的時間點由(3-15)知 _d γ − ≤ = ( ( )) )) ( ( _{d d} i kT H kT h_k x x 此外根據我們定義之T 由(3-16)推斷出 _d

[

d d

]

t kT i d f d r t kT k T kT t d k ) 1 ( , , || )) ( ( || || ) ( ) ( ||x −x =

∫

xτ τ < ₁ ∀ ∈ + 及

[

d d

]

d i i t h kT t kT k T h_{k k} , ,( 1) 2 || )) ( ( )) ( ( || x − x ≤ γ ∀ ∈ + 因此 2 )) ( ( t ≤ −γ h_ik x ，∀t∈

[

kT_d,(k+1)T_d

]

由上式可知 t V d h d h V t V t KT i K k T k kT i d K d d k 2 )) 0 ( ( )) ( ( )) ( ( )) 0 ( ( )) ( ( 1 0 ) 1 ( γ τ τ τ τ − ≤ + + =

∑∫

−

_∫

= + x x x x x (3-17) 因 此 由 (3-17) 當 t 足 夠 大 時V x( t( ))將 小 於β/2， 這 與 假 設x(t)∉Ω_β/2(i.e. ， t t V(x( ))≥β/2,∀ )不合因此軌跡會在有限時間內進入Ω_β/2。

步驟二(若x(0)∈Ω_{β 2}則V x( t( ))≤β，∀t∈[0,T_d)): 此步驟相當於說明若x(0)∈Ω_{β 2}則在T 時間內系統狀態會保持在_d B(0,ε) 內。此處我們也同樣使用反證法來說明，假設x(0)∈Ω_β2， σ(0)=i₀存在一個 ) , 0 [ 1 Td t ∈ 使 得V x( (t₁))>β 。 因 為 V x( t( )) 為 連 續 ， 所 以 存 在 t 及_a t ，_b d b a t t T t < < ≤ ≤ 1 0 ， 使 2 )) ( ( t_a = β V x ， V x( (t_b))=β 及 , ) 2 ( )) ( ( t ∈ β β V x ，

(

ta tb

)

t∈ , ∀ 。根據選取的T 可得 _d ξ τ ρ τ ≤ ⋅ < − ⋅ ≤ = − Ω ∈

∫

d a b i x t t i a b T L t t x f d f t t b a ) ( || ) ( || max || ) ( || || ) ( ) ( || 0 0 x x x 由上式知||x(0)−x(T_d)||在T 時間內會皆小於_d ξ，根據ξ的定義(3-10)，可以看出 和假設x(0)∈Ω_β2，σ(0)=i₀存在一個t₁∈[0,T_d)使得V x( (t₁))>β 不合，所以當 2 ) 0 ( ∈Ω_β x 時在∀t∈[0,T_d)的時間間隔中，V x( t( ))≤β軌跡會保持在B(0,ε)內。 我們將T 的計算，整理如下之演算法則 3.2。 _d 演算法則 3.2: Step1: 給定ε 值及ρ值，其中ε >0，ρ >0。 Step2: 決定β及ξ值，其中 min ( ) || ||x x x ρand εV β ≥ Ω ∈ < ， x y y x − < = = 2 / ) ( ) (min β β ξ V V 。 1) 決定β的方法為求解以下的最佳化問題。

2 2 2 2 2 1 ) ( s.t ) ( min ε x x x ρ V V n > + + + ≤ L x x 求解出minV(x)後再選取一個小於minV(x)的值當做β值。 2)決定

ξ

的方法為求解以下的最佳化問題。 2 / ) ( ) ( s.t ) ( ) ( ) ( min 2 2 2 2 2 1 1 β β = = − + + − + − y x V V y x y x y x _{L n n} 求出此問題的答案後將此解開根號為所求之ξ值。 Step3: 決定γ 值，其值為 γ ρ β − = Ω ∈max/2, ( ) x H x 。其中

{

| /2 ( )

}

, ( ) min ( ) , 2 / x x x x x _i I i n _{V H} V _f R ∂ ∂ = ≤ ≤ ∈ = Ω ∈ ρ β ρ β 此γ 值之取得由解決以下之最佳化問題取得。

令

h_i( ) V f_i( ) i =1_Lm ∂ ∂ = x x x 計算a ，其中_i a 為如下有限制條件之最佳化問題的解。 _i

{

} {}

ρ β ≤ ≥ = < − ) ( 2 / ) ( \ , , 2 , 1 : , 0 ) ( ) ( s.t ) ( min x x x x x V V i m j h h h j i i L

γ 為max(a₁,a₂,_L,a_m) Step4: 決定r1值 計算b ，其中_i b 為如下有限制條件之最佳化問題的解。 _i 2 / ) ( ) ( ) ( ) ( s.t ) ( ) ( ) ( min _{1 1} 2 _{2 2} 2 2 γ ρ ρ = − ≤ ≤ − + + − + − y x y x i i i i n n h h h h y x y x y x _L 1 r為min(b₁,b₂,_L,b_m)

Step5: 決定L 及T 值，其中_d maxmax (x)

x i I i f L ρ Ω ∈ ∈ = ， ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = L L r T_d min 1,ξ 計算c ，其中_i c 為如下有限制條件之最佳化問題的解。 _i ρ ≤ ) ( s.t ) ( max x x V f_i L 為max(c₁,c₂,_L,c_m) 我們可以整理出以下步驟來建構出系統(3-7)的穩定切換律: 演算法則 3.3: (達成實際穩定之步驟) Step1: 找出切換式系統(3-7)中一個連續可微的正定函數V(x)，令ρ >0，

{

ρ

}

ρ = ∈ ≤ Ω x Rn :V(x) 是有界的，滿足以下條件 0 ) ( min < ∂ ∂ ∈I _x i x i f V ， ∀x∈Ω_ρ −

{ }

0

Step2: 使用演算法則 3.2 求出時間T _d

Step3: 使用以下切換律切換

(i) 0, ₀ 0, ₀ argmin (x)

x i I i f V i t k ∂ ∂ = = = ∈ 。 (ii) 若 (t_k)∉Ω ,t_k =kT_d 2 β x 在

[

kT_d (k+1)T_d

]

時間內使用 argmin _i(x) I i k f x V i ∂ ∂ = ∈ 之 系統，若 2 ) (t_k ∈Ωβ x 則使用

[

(k−1)T_d kT_d

]

時間內所動作的系統。 (iii) k = k+1，重複步驟(ii)

CHAPTER 4

應用範例模擬與討論

在此章中我們將以幾個簡單的例子來說明，如何運用前兩章節之結果讓切換 式系統經過切換後使系統狀態穩定，並且使用倒單擺系統這個例子根據前兩章節 之結果來建構穩定的切換律，對其切換律做比較。我們在 4.1 節中討論對於倒單 擺系統分別使用 nonzeno 切換律和 zeno 切換律後，比較其切換行為及狀態之變 化。在 4.2 節中對於倒單擺系統我們分別使用 VSC(Variable Structure Control)設 計和使用 nonzeno 切換律之切換式系統這兩種方法做處理，比較其結果。4.3 節 內模擬了兩個不穩定線性子系統使用 nonzeno 切換律進行切換後的結果。最後在 4.4 節中對於存在時間切換律做了模擬與討論。

4.1 倒單擺使用 nonzeno 切換律和 zeno 切換律之比較

倒單擺系統為一個具有非線性及不穩定特性之系統，常被用來驗證各種控制 理論，所以我們也將使用此系統對於二，三章中提出之理論來做一個比較。在此 我們是使用[29]中所提出之倒單擺系統來做為討論，圖 4-1 為倒單擺系統之圖 示。從圖 4-1 可以知道若沒有輸入u只要θ 有一點點的變化則單桿就會往下掉， 因此在這裡我們考慮如何設計輸入u使得單桿可以到達垂直並且維持垂直的目 的。 圖 4-1 倒單擺示意圖 其中參數之意義如下: m:單桿質量 J:支點(O)的慣性動能 u:輸入加速度 g :萬有引力 l:單桿一半的長度 利用 O 點的轉矩平衡，可得方程式

J &&θ −mglsinθ +mlucosθ =0

2 2 3 4 ) ( ) 2 ( 12 1 ml l ml l m J = + = 因此可得到[29]之倒單擺系統方程式表示 0 cos sin + = − θ θ θ mgl mlu J && (4-1) 我們的目標是，當θ 在−π 2<θ <π 2這個範圍內找出控制律u使得，θ ≈0， 0 ≈ θ& ，由圖 4-2 所示我們可以利用不同的輸入u，經過切換來達到目的。 圖 4-2 倒單擺使用不同的輸入u 而其輸入u之決定由以下討論來求出，首先我們令θ = x₁，θ&=x₂將(4-1)轉為狀 態變數方程式 1 1 2 2 1 cos sin u x J ml x J mgl x x x − = = & & (4-2) 選取之李亞普諾夫方程式為 2 1 2 2 1 2 1 ) ( 2 1 ) ( x x x V x = + + (4-3) 對 x 微分後可得

(

1 2

)

1

(

1 2

)

1 2 2 2 1 sin cos 2 ) ( u x J ml x x x J mgl x x x x x V& x = + + + − + (4-4) 我們要找出u₁及u₂使得x₁，x₂在要控制的範圍內滿足 0 ) ( min < ∈I i x i V& ，I =

{ }

1,2 ， ∀x≠0 考慮當(x₁+ x₂)≥0時令

(

ax b

)

x ml J x g u = + 2 + 1 1 1 cos tan (4-5) 其中a，b為待決定之常數。將(4-5)代入(4-4)我們可以得到

(

)

(

)

(

1 2

)

2 2 2 1 1( ) 2 a x x a 1x b x x V& x = − − − − + 因為在(x₁ + x₂)≥0時我們希望V&₁(x)<0，令a=2，b>0可得

(

1 2

)

2 2 1( ) x b x x V& x =− − + (4-6) 由(4-6)我們可以知道當(x₁ + x₂)≥0時若a=2，b>0則(4-5)式之u₁可使V&₁(x)<0 成立。 接者我們考慮(x₁ + x₂)<0時令

(

ax b

)

x ml J x g u = + ′ 2 − ′ 1 1 2 cos tan (4-7) 其中a′，b′為待決定常數。將(4-7)代入(4-4)我們可以得到

(

)

(

)

(

1 2

)

2 2 2 1 2( ) 2 a x x a 1x b x x V& x = − ′ − ′− + ′ + 因為在(x1 + x2)<0時我們希望V&2(x)<0，令a′=2，b′>0可得

(

1 2

)

2 2 2( ) x b x x V& x =− + ′ + (4-8) 由(4-8)我們可知道當(x1 + x2)<0時若a′=2，b′>0則(4-7)式之u2可使V&2(x)<0 成立。因此使用(4-5)，(4-7)這兩個輸入我們可以滿足min ( )<0 ∈I i x i V& ，I∈

{ }

1,2 ， 0 ≠ ∀x 。 現在我們將參數設定如下: m 單桿質量 0.6kg J 支點的慣性動能 0.2kg-m2 g _{萬有引力 9.8m/s}2 l 單桿一半的長度 0.5m 表 4-1 倒單擺參數設定 令a′ a= =2，b′ b= =1我們可以得到u₁，u₂:

(

2 1

)

cos 1 3 2 tan 8 . 9 2 1 1 1 = + x + x x u (4-9)

(

2 1

)

cos 1 3 2 tan 8 . 9 2 1 1 2 = + x − x x u (4-10) 將(4-9)，(4-10)代回(4-2)我們可以得到以下兩個子系統的狀態方程式。

系統 1: 1 2 ₂ 2 2 1 − − = = x x x x & & 系統 2: 1 2 ₂ 2 2 1 + − = = x x x x & & 首先我們利用最小投影(min-projection)的切換規則來使此系統狀態穩定。 令初值為x1 =0.5，x2 =0.35，其模擬如圖 4-3 (a) (b)

(c) (d) 圖 4-3 (a)x₁，x₂軌跡圖;(b)x₁，x₂相位圖;(c)切換信號;(d)3 秒到 3.1 秒切換信號 由圖 4-3 可看出系統是趨近原點，但出現 zeno 的現象。再來我們利用第三 章的方法建構 nonzeno 的切換律，令ρ =0.5，Ω_ρ =

{

x∈Rn :V(x)≤ρ

}

，並且希 望軌跡最後會進入B(0,0.1)的圓內，使用演算法則 3.2 求出T =0.0027sec。再以_d 下列的切換規則來切換:

(i) 0, ₀ 0, ₀ argmin (x)

x i I i f V i t k ∂ ∂ = = = ∈ 。 (ii) 若 (t_k)∉Ω ,t_k =kT_d 2 β x 在

[

kT_d (k+1)T_d

]

時間內使用 argmin _i(x) I i k f x V i ∂ ∂ = ∈ 之 系統，若 2 ) (tk ∈Ωβ x 則使用

[

(k−1)T_d kT_d

]

時間內所動作的系統。 (iii) k = k+1，重複步驟(ii)

其模擬如圖 4-4

(a)

(b)

(d) 圖 4-4 (a)x₁，x₂軌跡圖;(b)x₁，x₂相位圖;(c)切換信號;(d)3 秒到 3.1 秒切換信號 由圖 4-4 我們可以看出其系統狀態最後是保持在B(0,0.1)內，和我們在第 3.3 節所說明之理論是符合的。從以上模擬結果圖 4-3 及圖 4-4，分別使用切換律(2-3) 及達成實際穩定之切換律(敘述如演算法則 3.1)這兩個切換律，使 x 進入我們所設 定的範圍B(0,0.1)其時間皆為 2.65 秒是一樣的，從圖 4-3(c)，圖 4-4(c)的比較可 以清楚的看出，當我們須要單桿維持在垂直的狀態即θ ≈0時，用 nonzeno 的切 換律時可以用比較少的切換次數來達到我們所需的效果，而從圖 4-3(d)，圖 4-4(d) 看出可以改善有限時間內無限次切換的現象。由這個例子可以看出若我們使用實 際穩定性(practically stable)的觀念是可以有效的使切換次數減少，並改善 zeno 的 現象。

4.2 倒單擺系統使用 VSC 設計及使用切換式系統的比較

在此節中我們對 4-1 節的問題，使用 VSC 的設計方法來設計輸入u，由 [9]VSC 的理論中我們可以知道此使用 sign-type 的設計方法會產生 chattering(跳 切)的現象，因此這節中我們先使用 VSC 的計設求出變結構控制律再將此問題轉 為切換式系統的型式及使用 nonzeno 切換律來減少 chattering 的現象，最後我們 比較上述 sign-type 變結構控制律及用切換理論改良 sign-type 變結構控制律的結 果。

(4-2)式的狀態方程式可以重寫為以下型式: u g f x x x ) ( ) ( 2 2 1 x x − = = & & 首 先 使 用 VSC 的 設 計 方 法 求 出u ， 利 用 [30] 的 方 法 。 首 先 令 順 滑 面s 為 0 , 0 1 2 + = > = x mx m s ，很明顯的當系統狀態維持在順滑面時簡化的系統模 型為x&₁+ mx₁ =0，因此x₁→0且x₂→0也就是說穩定的目的可以被達成。對s做 一次微分後得: 2 1 2 ) ( ) ( g u mx f x m x s + + = + = x x & & & (4-11) 令(4-11)為零求出u ，此eq _{u 的目的是讓順滑面成為一個不變曲面(invariant} eq manifold)，因此可以得到u 為: eq

(

( ) 2

)

) ( 1 mx f x g ueq = − x − (4-12) 接下來令u=ueq +ure代入(4-11)得 re gu s_&= 0+ (4-13) 使用[4]的迫近條件 s s s_&<−σ 當s≠0 (4-14) 將(4-13)兩邊同乘s得: re u sg s s&= (x) (4-15) re u 需使式(4-14)成立，當s ≠0。我們可以知道u 是使軌跡往順滑面移動的力re 量。令

) ( ) ( sign s g ure x η − = (4-16) 將(4-16)代入(4-15)得ss&=−ηs <0，當s ≠0。可滿足(4-14)的迫近條件其中 0 , 0 > > η σ 。 底下我們 Lyapunov 的原理可說明(4-14)可在有限時間內到達順滑面。令 2 2 1 s V = 做一次微分後得 s s V& = & 當(4-14)成立時可得 dt V dV V s dt dV V& = <−σ =−σ <0 ⇒ <−σ 因此

(

)

∫

() = = − <− ) 0 ( ) ( ) 0 ( 2 ( ) (0) 2 t V V t V V V t V t V V dV _σ 故 t V t V σ 2 1 ) 0 ( ) ( 0≤ ≤ − 所以我們可以知道最遲在 σ ) 0 ( 2 V t= 時會到達順滑面。 由以上步驟可以求出輸入u:

(

)

( ) ) ( ) ( ) ( 1 2 _g sign s mx f g u x x x η − − − = (4-17)