達成實際穩定性之 nonzeno 切換律可行性研究

在上節中我們對切換式系統(3-9)定義了什麼是實際穩定性，接下來我們要利 用這個實際穩定性的觀念，來說明如何建構一個 nonzeno 的切換律。

輔助定理 3.1:

若 f(x)為定義在Ω 上之連續函數且Ω⊂Rⁿ為緊緻集(compact set)，則存在 Ω

b∈

a x

x , 使得

Ω

∈

∀

≤

≤ x x x

x ) ( ) ( ) , ( _a f f _b f

即 f(x)在Ω 內存在有最大值和最小值 輔助定理 3.2:

若 f(x)為定義在Ω 上之連續函數，Ω⊂Rⁿ為緊緻集(compact set)，則 f(x)在Ω 上 為一均勻連續函數，即

( )

⁰

,

0 ∃ >

>

∀ε δ ε 若x− y <δ(ε) 則 f(x)− f(y) <ε x,y∈Ω

定理 3.1[27]:

從切換式系統(3-9)假設能找到一個連續可微的正定函數V(x)，令ρ >0且集合 Ω 為ρ Ωρ =

{

x∈Rⁿ :V(x)≤ ^ρ

}

是有界的，若滿足以下條件

0 ) ( min <

∂

∂

∈ x

x ⁱ

I

i V f

， ∀x∈Ω_ρ −

{ }

0 (3-10)

則切換式系統(3-9)在包含原點的任意區域D∈Ω_ρ是為可實際漸近穩定 (practically asymptotically stabilizable)。

若滿足定理 3.1 時，我們可以找出一個時間T 使每一個系統都可以至少動作_d T 時間後再切換，以下說明如何找出時間d T 。 _d

選取ε >0，β >0使得(ε 表示軌跡最後會保留在B(0,ε)，即以 0 為原點ε 為 半徑的圓之範圍內)

) ( min|| || x

x

x V

and ε

ρ

β < ∈Ω ≥ (3-11)

令^Ω_β ⁼

{

^x∈Ω_ρ ^|V(x)≤β

}

^{，且滿足Ω}_β ^{⊆B(0,ε)，考慮集合}

{

2

}

2

/ _ρ | ( ) ^β

β = ∈Ω ≤

Ω x V x

我們定義

( ) ( )

>0

步驟一(若x(0)∈Ω_{β 2,ρ}時切換式系統狀態在有限時間內會進入Ω_β/2):

步驟二(若x(0)∈Ω_{β 2}則V x( t( ))≤β，∀t∈[0,T_d)):

2

γ 為max(a₁,a₂,L,a_m)

Step2: 使用演算法則 3.2 求出時間T _d

Step3: 使用以下切換律切換

(i) 0, ₀ 0, ₀ argmin (x) x ⁱ

I

i V f

i t

k ∂

= ∂

=

= ∈ 。

(ii) 若 (t_k)∉Ω ,t_k =kT_d

2

x β 在

[

kT_d (k+1)T_d

]

時間內使用 argmin _i(x)

I

k i f

x i V

∂

= ∂

∈ 之

系統，若

2

) (t_k ∈Ωβ

x 則使用

[

(k−1)T_d kT_d

]

時間內所動作的系統。

(iii) k = k+1，重複步驟(ii)

CHAPTER 4

應用範例模擬與討論

在此章中我們將以幾個簡單的例子來說明，如何運用前兩章節之結果讓切換 式系統經過切換後使系統狀態穩定，並且使用倒單擺系統這個例子根據前兩章節 之結果來建構穩定的切換律，對其切換律做比較。我們在 4.1 節中討論對於倒單 擺系統分別使用 nonzeno 切換律和 zeno 切換律後，比較其切換行為及狀態之變 化。在 4.2 節中對於倒單擺系統我們分別使用 VSC(Variable Structure Control)設 計和使用 nonzeno 切換律之切換式系統這兩種方法做處理，比較其結果。4.3 節 內模擬了兩個不穩定線性子系統使用 nonzeno 切換律進行切換後的結果。最後在 4.4 節中對於存在時間切換律做了模擬與討論。

4.1 倒單擺使用 nonzeno 切換律和 zeno 切換律之比較

倒單擺系統為一個具有非線性及不穩定特性之系統，常被用來驗證各種控制 理論，所以我們也將使用此系統對於二，三章中提出之理論來做一個比較。在此 我們是使用[29]中所提出之倒單擺系統來做為討論，圖 4-1 為倒單擺系統之圖 示。從圖 4-1 可以知道若沒有輸入u只要θ 有一點點的變化則單桿就會往下掉，

因此在這裡我們考慮如何設計輸入u使得單桿可以到達垂直並且維持垂直的目 的。

圖 4-1 倒單擺示意圖

其中參數之意義如下:

m:單桿質量

J:支點(O)的慣性動能 u:輸入加速度

g :萬有引力 l:單桿一半的長度

利用 O 點的轉矩平衡，可得方程式

J &&θ −mglsinθ +mlucosθ =0 其J為

2

(

1 2

)

1

(

1 2

)

1

( ) ( ) (

1 2

)

系統 1:

1 2 ₂

2 2 1

−

−

=

= x x

x x

&

&

系統 2:

1 2 ₂

2 2 1

+

−

=

= x x

x x

&

&

首先我們利用最小投影(min-projection)的切換規則來使此系統狀態穩定。

令初值為x₁ =0.5，x₂ =0.35，其模擬如圖 4-3

(a)

(b)

(c)

(d)

圖 4-3 (a)x₁，x₂軌跡圖;(b)x₁，x₂相位圖;(c)切換信號;(d)3 秒到 3.1 秒切換信號

由圖 4-3 可看出系統是趨近原點，但出現 zeno 的現象。再來我們利用第三 章的方法建構 nonzeno 的切換律，令ρ =0.5，^Ω_ρ ⁼

{

^{x∈Rn :V(x)≤ρ}

}

^，並且希

望軌跡最後會進入B(0,0.1)的圓內，使用演算法則 3.2 求出T =0.0027sec。再以_d 下列的切換規則來切換:

(i) 0, ₀ 0, ₀ argmin (x) x ⁱ

I

i V f

i t

k ∂

= ∂

=

= ∈ 。

(ii) 若 (t_k)∉Ω ,t_k =kT_d

2

x β 在

[

kT_d (k+1)T_d

]

時間內使用 argmin _i(x)

I

k i f

x i V

∂

= ∂

∈ 之

系統，若

2

) (t_k ∈Ωβ

x 則使用

[

(k−1)T_d kT_d

]

時間內所動作的系統。

(iii) k = k+1，重複步驟(ii)

其模擬如圖 4-4

(a)

(b)

(c)

(d)

圖 4-4 (a)x₁，x₂軌跡圖;(b)x₁，x₂相位圖;(c)切換信號;(d)3 秒到 3.1 秒切換信號

由圖 4-4 我們可以看出其系統狀態最後是保持在B(0,0.1)內，和我們在第 3.3 節所說明之理論是符合的。從以上模擬結果圖 4-3 及圖 4-4，分別使用切換律(2-3) 及達成實際穩定之切換律(敘述如演算法則 3.1)這兩個切換律，使 x 進入我們所設 定的範圍B(0,0.1)其時間皆為 2.65 秒是一樣的，從圖 4-3(c)，圖 4-4(c)的比較可 以清楚的看出，當我們須要單桿維持在垂直的狀態即θ ≈0時，用 nonzeno 的切 換律時可以用比較少的切換次數來達到我們所需的效果，而從圖 4-3(d)，圖 4-4(d) 看出可以改善有限時間內無限次切換的現象。由這個例子可以看出若我們使用實 際穩定性(practically stable)的觀念是可以有效的使切換次數減少，並改善 zeno 的 現象。

4.2 倒單擺系統使用 VSC 設計及使用切換式系統的比較

在此節中我們對 4-1 節的問題，使用 VSC 的設計方法來設計輸入u，由 [9]VSC 的理論中我們可以知道此使用 sign-type 的設計方法會產生 chattering(跳 切)的現象，因此這節中我們先使用 VSC 的計設求出變結構控制律再將此問題轉 為切換式系統的型式及使用 nonzeno 切換律來減少 chattering 的現象，最後我們 比較上述 sign-type 變結構控制律及用切換理論改良 sign-type 變結構控制律的結 果。

(4-2)式的狀態方程式可以重寫為以下型式:

)

為了說明起見我們令m=2.5，η =1.5，其他參數設定如表 4-1，因此可得到輸

(c)

選取李亞普諾夫方程式為

( ) (

2²

)

2 1 2

1

2 2

5 1 . 2 )

( x x x x

V x = + + +

一次微分後將(4-20)，(4-21)分別代入可得以下兩式

(

2 1

)

1 2

2 2

1( ) 2.5x 4.5x 7.5x x x

V& x =− − + +

(

_{2 1}

)

_{1 2}

2 2

2( ) 2.5x 4.5x 7.5x x x

V& x =− + + +

在此我們將要使用實際穩定性的觀念來減少切跳的次數，首先，先做以下之設定 我們希望x₁的初值在−π 4<x₁ <π 4，因此令ρ =1.5，Ωρ =

{

x∈Rⁿ :V(x)≤^ρ

}

， 並且希望軌跡最後會進入B(0,0.1)的圓內，由圖 4-6 中，斜線的區域其V&₁(x)大於 零，斜線區域以外的V&₁(x)小於零，直線區域其V&₂(x)大於零，直線區域以外的

)

2(x

V& 小於零，因此可知在我們設定的範圍內可滿足min ( )<0

∈ _i x

I

i V& ，I:=

{ }

^1,2

圖 4-6 min ( )<0

∈ _i x

I

i V& ，I:=

{ }

^1,2

使用演算法則 3.2 求出T_d =0.0012sec。再依下列的切換規則來切換:

(i) 0, ₀ 0, ₀ argmin (x) x ⁱ

I

i V f

i t

k ∂

= ∂

=

= ∈ 。

(ii) 若 (t_k)∉Ω ,t_k =kT_d

2

x β 在

[

kT_d (k+1)T_d

]

時間內使用 argmin _i(x)

I

k i f

x i V

∂

= ∂

∈ 之

系統，若

2

) (t_k ∈Ωβ

x 則使用

[

(k−1)T_d kT_d

]

時間內所動作的系統。

(iii) k = k+1，重複步驟(ii)

其模擬如圖 4-7

(a)

(b)

(c)

(d)

圖 4-7 (a)x₁，x₂軌跡圖;(b)x₁，x₂相位圖;(c)切換信號;(d)0.22 到 0.4 秒切換信號

由圖 4-5(c)及圖 4-7(c)我們可以知道若須要單擺維持在垂直附近的位置，

使用 VSC 的設計 sign-type 其輸入的會發生切跳(chattering)現象及 zeno 的現 象，但使用切換式系統及實際穩定性的觀念是可以改善上述之現象。

計算A₁特徵值為 1+1.1832i，1-1.1832i，A₂之特徵值為 0.8391，-3.0391，可知 此兩個子系統皆為不穩定之線性子系統。由第二章可知若A₁及A₂滿足(4-22)

則切換式系統可穩定化，我們令V(x)=x^TPx，可從下式來求出P ，

令初值為x₁ =1，x₂ =1

(a)

(b)

(c)

(d)

圖 4-8 (a)x₁，x₂軌跡圖;(b)x₁，x₂相位圖;(c)切換信號;(d)1.2 到 1.45 秒切換信號 由圖 4-8 可知為了使軌跡往原點趨近達到指數穩定的目的，可看出發生 zeno 的現象。因此以下使用實際穩定性的觀念來改善此現象。我們先做以下之設定，

令ρ =2，Ωρ =

{

x∈Rⁿ :V(x)≤ ^ρ

}

，並且希望軌跡最後會進入B(0,0.5)的圓內，

利用演算法則 3.2 求出T 時間為 0.002 秒，使用以下之切換規則: _d (i) 0, ₀ 0, ₀ argmin (x)

x ⁱ

I

i V f

i t

k ∂

= ∂

=

= ∈ 。

(ii) 若 (t_k)∉Ω ,t_k =kT_d

2

x β 在

[

kT_d (k+1)T_d

]

時間內使用 argmin _i(x)

I

k i f

x i V

∂

= ∂

∈ 之

系統，若

2

) (t_k ∈Ωβ

x 則使用

[

(k−1)T_d kT_d

]

時間內所動作的系統。

(iii) k = k+1，重複步驟(ii) 其模擬圖如圖 4-9

(a)

(b)

(c)

(d)

圖 4-9 (a)x₁，x₂軌跡圖;(b)x₁，x₂相位圖;(c)切換信號;(d)1.2 到 1.45 秒切換信號

由圖 4-8 可知使用最小投影(min-projection)的切換律是可以使軌跡一直往原 點趨近，達到指數穩定的目的，但是有可能會發生 zeno 的現象即有限時間內無

限次切換圖 4-8(c)。因此我們思考使用實際穩定性的觀念，希望系統軌跡進入我

由圖 4-10(c)可知會發生 zeno 的現象，因此我們考慮使用存在時間的切換法則。

由圖 4-10，圖 4-11 我們可以清楚的看出系統狀態都是趨近於零，從圖 4-10(c)及 圖 4-11(c)可以知道其 zeno 現象已被改善了。

現在我們來看看若τ_d選取之值過小時會發生什麼情形，令子系統每 0.8 秒就 進行切換，其模擬如圖 4-12 所示

圖 4-12 (a)x₁，x₂軌跡圖;(b)x₁，x₂相位圖;(c)切換信號 因此由圖 4-12 我們可以知道τ_d選取不當是有可能使系統狀態發散的。

底下為子系統 1 及子系統 2 之系統狀態 系統 1:

圖 4-13 (a)系統 1x₁，x₂軌跡圖;(b)系統 1x₁，x₂相位圖

系統 2:

圖 4-14 (a)系統 2x₁，x₂軌跡圖;(b)系統 2x₁，x₂相位圖

在此我們比較系統 1，系統 2，使用切換律(2-3)切換及使用存在時間切換法則這 四種不同的情況下，收斂至||x||≤0.1的時間，如下表所示:

收斂至||x||≤0.1的時間 系統 1(不切換) 16.76 秒

系統 2(不切換) 15.31 秒 最小投影切換律 10.67 秒 存在時間切換法則 14.52 秒

我們可以看出雖然系統 1，和系統 2 都是穩定的系統，但是經過適當的切換後是 有可能使系統的性能變的更好。

CHAPTER 5

結論與未來研究方向

5.1 結論

在此論文中我們探討了在不穩定的子系統間存在可穩定化的條件及如何改 善有限時間內無限次切換的 zeno 現象，並實現[27]的 nonzeno 切換律。首先我們 整理出[16][8]中使用李亞普諾夫理論來判斷子系統為不穩定之切換式系統可穩 定化的兩個條件，在第 2.2 節中我們提出了一個反例來說明這兩個條件在包含多 個子系統之切換式系統中並不是對等的條件。對於若無法找出單一李亞普諾方程 式時我們也整理出[16][3]中使用多重李亞普諾方程式來判斷子系統為不穩定之 切換式系統可穩定化的條件。除此之外我們也整理出演算法則來使切換式系統狀 態達到穩定的目的。

在第二章中所使用的切換律可以使切換式系統切換後達到漸近穩定的目 的，但有可能會產生有限時間內無限次切換的 zeno 現象，因此在第三章中我們 討論讓每個系統至少動作一段時間後再進行切換，藉此來改善 zeno 的現象但系

統狀態無法達到漸近穩定的目的，所以在 3.2 節中我們介紹了實際穩定性，希望 切換式系統經過切換後可以達到實際穩定。雖然實際穩定只保證系統狀態最後會 保持在我們所能容忍的範圍內，但由此觀念可以建構出一個可實現的切換律。對 於切換兩個穩定子系統之切換式系統可以使用[16]中存在時間(Dwell Time)的切 換方法來改善 zeno 的問題，而在 4.4 節中我們提出了一個例子來驗證此結果，

並且對各穩定子系統的性能和穩定的子系統經過切換後的性能做比較，我們可以 發現經過適當的切換是可以使系統性能變好。而對於包含有不穩定子系統之切換 式系統，在此論文中我們整理出演算法則來實現[27]中使用實際穩定性來建構 nonzeno 切換律的方法來解決 zeno 的問題，並且在 4.1 節的例子中和切換律(2-3) 做比較及驗證此方法的可行性。除此之外在 4.2 節中我們也利用[27]的切換理論 來改良 VSC 的 sign-type 變結構控制律。

5.2 未來研究方向

在上節中我們對此論文的結論及目前相關研究做了整理，由這些結論中我們 整理出一些未來可以研究之方向。

1. 對於多個不穩定的子系統是否可以找到充分且必要的條件，來判斷這些子系 統是否可穩定化。

2. 由於使用多重李亞普諾夫方程式的概念，判斷切換式系統是否可穩定化其條 件會比只使用單一個李亞普諾夫方程式來的寬鬆，但其如何求出多重李亞普 諾夫方程式仍然沒有一個較明確的方法，而這也是一個可研究的方向。

3. 對於改善有限時間內無限次切換的 zeno 現象的方法是否更好的切換律可以 使用，及使用不同切換律對切換式系統其性能的影響也是值得探討的問題。

參考文獻

[1] A. M. Bloch and M. Reyhanoglu and N. H. McClamroch, “Control and stabilization of nonholonomic dynamic systems,” Automatic Control, IEEE Transactions on, Vol. 37, Issue 11, p. 1746-1757, Nov., 1992.

[2] R. W. Brockett, R. S. Millman and H. J. Sussmann, eds. “Asymptotic stability and feedback stabilization,” in DierentialGeometric Control theory, Birkhauser, Boston, p. 181-191, 1989.

[3] M. S. Branicky, “Multiple Lyapunov function and other analysis tools for switched

[3] M. S. Branicky, “Multiple Lyapunov function and other analysis tools for switched

在文檔中 切換式系統可穩定性及切換律之研究 (頁 36-0)