數值方法之驗證

∆

=

1

1 （3-34）

其中k =1~K −1，因為K層有K−1個界面。計算總熱阻（Total thermal resistance，R_T）是由系統邊界的溫度差除以熱通量，如下：

z t T b

q T

R =T − （3-35）

而因為材料本身所造成的材料熱阻（Material resistance， ）則由總 熱阻扣掉總界面熱阻得到：

RM

（3-36）

I T

M R R

R = −

本文計算上所需用到的材料參數值列於表 3-2[8,28]、3-3[13,37]。

3.3 數值方法之驗證

使用有限差分將統御方程式離散化之後，得到一代數方程式，為 了避免所選取的格點數對本文的結果造成影響，使用此數值方法前，

必須先做格點測試的工作。一般狀況下，所選取的格點數越多，將預 計算的區域分的越精細，得到的結果將越精準，但相對來說，電腦必 須花較多的時間來計算。不影響計算結果的前提下，為了節省運算時 間，找出一組最合適的格點數，此為格點測試的主要目的。

圖 3-3 為單層二維圓柱在室溫穩態定溫邊界條件下，半徑和厚度 皆為十倍平均自由徑時軸向溫度分佈的格點測試結果，所選用的材料 為鑽石（Diamond）。分別選用21×21、31×31、41×41及 四組格 點數作比較，由圖中結果發現，格點數對於軸向溫度分佈的影響不

大。考量程式的精確度以及節省電腦計算時間，本文選用 這組

格點數來計算接下來的所有問題。

51×51

41×41

圖 3-4 為單層二維鑽石圓柱在室溫穩態定溫邊界條件下，半徑為 一萬倍平均自由徑時的溫度分佈圖。將半徑放大到一萬倍平均自由徑 是為了使二維圓柱系統近似為一維平板，結果和 1993 年 Majumdar [8]

的鑽石薄膜比較是一致的，因此可以確定本文所採用的數值方法是正 確的。由圖中結果發現，邊界處存在一溫度不連續的現象，這是由於 聲子在界面處尚未達到局部熱平衡所造成的，此為微觀熱傳特有的現 象，巨觀傅立葉傳導定律無法解釋此一現象。另外，邊界上的溫差隨 著厚度的縮小越來越明顯，厚度為 0.1 微米時出現類似子彈的穿透效 應（ballistic）。

圖 3-5 為雙層矽/鍺二維圓柱在穩態定溫邊界條件下，其熱傳導係 數隨著厚度變化的分佈圖。半徑為 10 微米時，雙層二維圓柱系統可 視為雙層平板薄膜，應用 1998 年 Chen [13]提出的非彈性散異理論模 式（Inelastic DMM）處理界面問題，並與其結果比較，圖中顯示和 Chen 的結果是吻合的，因此可以確定本文在界面處所做的數值計算 是正確的。矽/鍺雙層平板薄膜的熱傳導係數隨著厚度的縮小而降

低，驗證了尺寸效應的確大幅降低其熱傳導係數。圖中也發現當尺寸 增加到某一厚度以上時，熱傳導係數將趨近於同材料的塊材值。而圖 3-6 為此情況下的溫度分佈情形，週期厚度分別由 1000 奈米一路降低 至 100 奈米，探討不同週期厚度下的熱傳行為。可以由圖中發現雙層 矽/鍺平板薄膜的溫度分佈如同單層鑽石薄膜（圖 3-4），受到尺寸效 應的影響，週期厚度越小時，兩邊邊界處的溫度落差越明顯。另外，

在矽鍺兩材料的交界面處，伴隨著界面熱阻的影響而出現明顯的溫度 落差。

表 3-1 二維圓柱S_N方向餘弦和權重函數表[36]

µ ξ w

0.5 0.5 3.141592654 -0.5 0.5 3.141592654

0.5 -0.5 3.141592654

S 2

-0.5 -0.5 3.141592654 0.2958759 0.9082483 1.047197533

-0.2958759 0.9082483 1.047197533 0.9082483 0.2958759 1.047197533 0.2958759 0.2958759 1.047197533 -0.2958759 0.2958759 1.047197533 -0.9082483 0.2958759 1.047197533 0.9082483 -0.2958759 1.047197533 0.2958759 -0.2958759 1.047197533 -0.2958759 -0.2958759 1.047197533 -0.9082483 -0.2958759 1.047197533 0.2958759 -0.9082483 1.047197533

S 4

-0.2958759 -0.9082483 1.047197533

表 3-2 室溫（300K）下材料的基本參數值[8,28]

Diamond Si Ge

比熱

^C

(

^×106J_m³_K

) 1.81 0.926 0.866 聲速

^v

( )

^m_s

12288 6084 3662

平均自由徑

Λ

( )

nm

447 79 50 密度

⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞

m3

ρ kg

3510 2329 5323 熱傳導係數

^k

(

^W_mK

) 3320 148 59.9

德拜溫度

T_D

( )

K

1860 625 360

表 3-3 室溫（300K）下材料的基本參數值[13,37]

GaAs AlAs Bi

2

Te

3

Sb

2

Te

3

比熱

^C

(

^×106J_m³_K

) 1.71 1.58 1.22 1.338 聲速

^v

( )

^m_s

3700 4430 3058 2888

平均自由徑

Λ

( )

nm

20.8 37.7 0.482 0.466 密度

⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞

m3

ρ kg

5318 3830 6505 7860 熱傳導係數

^k

(

^W _mK

) 56 84 0.6 0.6

德拜溫度

T_D

( )

K

344 47 165 160

φ1

φ2

φ3

φN

−1

φN

2 1

2 11

2 21

2 N 1

圖 3- 1 方向餘弦離散示意圖

開始

材料參數

修正平均自由徑

離散化聲子輻射熱傳方程式

邊界條件

固定 邊界

界面 邊界

No

Yes 收斂條件

結束

圖 3- 2 數值方法流程圖

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(T -T c ) / (T h -T c )

0 0.2 0.4 0.6 0.8

z / L

1

21X21 31X31 41X41 51X51

圖 3- 3 單層二維圓柱座標格點測試圖

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z / L

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(T-T

c

) / (T

h

-T

c

)

L= 10µm L= 1µm L=0.1µm Majumdar [8]

圖 3- 4 半徑為 4.47mm 的單層 Diamond 二維圓柱，在室溫穩態 定溫邊界條件下，厚度分別為 10

µ m

_、1

µ m

_{及 0.1}

µ m

_的溫度分

佈圖

0.1 1 10 100

k

eff.

(W /mK)

Present results Chen [13]

1 10 100 1000

L

_p

(m)

圖 3- 5 半徑為 10

µ m

的雙層 Si/Ge 二維圓柱，在室溫穩態定溫 邊界條件下，週期厚度變化對熱傳導係數的分佈圖

0 0.2 0.4 0.6 0.8 z / L

_p

1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

(T -T

c

) / (T

h

-T

c

)

L=1000nm L= 100nm L= 10nm

圖 3- 6 半徑為 10

µ m

的雙層 Si/Ge 二維圓柱，在室溫穩態定溫 邊界條件下，週期厚度分別為 1000nm、100nm 及 10nm 的溫度分 佈圖

四、結果與討論

圖 4-1 利用單層二維圓柱聲子輻射熱傳方程式，配合定溫邊界條 件，模擬室溫下矽奈米線到達穩態時，其半徑變化對等效熱傳導係數 的分佈圖。矽奈米線的長度為 100nm，半徑由 100nm 縮小至 10nm，

比較本文對聲子平均自由徑修正前後，對矽奈米線等效熱傳導係數造 成的影響。使用修正過的聲子平均自由徑得到的模擬結果，相較於直 接使用塊材下聲子平均自由徑的結果來的低，並和 Majumdar [20]在 2003 年利用微懸浮裝置量測的實驗值作比較，由此可見，聲子平均 自由徑經由本文的修正後，對奈米線的等效熱傳導係數的模擬結果更 加逼近實驗值，而徑向的尺寸效應也使得其等效熱傳導係數隨著半徑 的縮小而降低。更進一步比較相同幾何尺寸下，平均自由徑修正前後 對矽奈米線熱傳情形的影響。

圖 4-2 為長度及半徑皆為 100nm 時，比較採用(a)塊材時的平均 自由徑和(b)本文因幾何尺寸修正的平均自由徑的溫度分佈圖。由矽 奈米線內部的溫度分佈圖可以看出兩者有些許的不同，這是由於聲子 平均自由徑為聲子傳遞能量的平均距離，經由平均自由徑的修正加入 了尺寸對聲子傳遞能量所造成的影響，當尺寸縮的越小時，採用本文 的修正前後差異越明顯。圖 4-3 將矽奈米線半徑縮小到 50nm，4-3(a) 圖為採用過去塊材平均自由徑的溫度分佈圖，在 0.1 倍半徑以下和 0.7-0.9 倍長度出現一低於預設定溫邊界條件的區域，這是相當不合理 的。而經由本文的修正改善了這樣不合理的現象，如圖 4-3(b)，因此 本文的修正是相當合理且正確的修正，除了將模擬更逼近實驗結果 外，其模擬結果也有其合理性。

圖 4-4 利用蘇聯一個有關半導體材料網站上取得的材料參數對溫

度的影響[38]，分析溫度對矽奈米線等效熱傳導係數的影響。由圖中 發現矽奈米線的等效熱傳導係數隨著溫度的升高而上升：溫度小於 30K 時，等效熱傳導係數隨著溫度線性上升，而在約末 200 到 400K 溫度下趨於穩定，此為受限塊材下的等效熱傳導係數隨溫度升高而上 升的影響。相同溫度下，矽奈米線的等效熱傳導係數同樣受尺寸效應 的影響隨尺寸的縮小而降低，然而降低的幅度相較於溫度的影響顯的 較不明顯。並和 Majumdar [20]在 2003 年量測直徑為 22nm、37nm、

56nm 及 115nm 的奈米線所得的結果比較。22nm 直徑矽奈米線等效 熱傳導係數的模擬結果和實驗值的表現上有一段蠻大的落差，推測尺 寸在這麼小的情形下，聲子散射可能會有更進一步的量子效應產生，

可能是本文理論的極限所在。

圖 4-5 是鍺奈米線在穩態定溫邊界條件下，比較 30K、100K 及 300K 溫度時，半徑變化對等效熱傳導係數的分佈圖。由圖中發現不 管何種溫度情形，其等效熱傳導係數接隨著尺寸的縮小而降低，比較 值得注意的是當溫度為 30K 時，其等效熱傳導係數和溫度的關係呈 現接近線性的分佈，因為此時鍺的聲子平均自由徑約為 8 m

µ

，遠大 於奈米線的幾何尺寸，由本文（2-44）式的修正，幾乎完全忽略聲子 與聲子間的散射機會，因而其等效熱傳導係數與半徑呈線性關係。圖 4-6 則為鍺奈米線在穩態定溫邊界條件下，直徑分別為 20nm、50nm 及 100nm 時，溫度變化對其等效熱傳導係數的分佈圖。和矽奈米線 的情形一樣，不管何種尺寸的鍺奈米線，其等效熱傳導係數皆隨著溫 度的降低而下降，且在同樣溫度條件下，直徑越大的鍺奈米線，其等 效熱傳導係數越高，此為徑向尺寸效應所造成的結果。另外，直徑為 50nm 及 100nm 的鍺奈米線在溫度為 200K 時有最大等效熱傳導係 數，係因其巨觀下的等效熱傳導係數也在 200K 溫度下達到最大值，

而直徑為 20nm 的鍺奈米線，其等效熱傳導係數在溫度接近室溫時趨 於穩定，這是因為尺寸效應的影響比較嚴重的緣故。

接著，利用本文的方法搭配非彈性散異理論模式處理界面問題，

模擬在穩態室溫定溫邊界條件下，超晶格奈米線的熱傳情形。圖 4-7a 及 4-7b分別為直徑 58nm及 83nm的Si/Si_0.9Ge0.1超晶格奈米線等效熱傳 導係數和週期厚度變化的分佈圖，其中由於文獻尚無法找到關於 Si0.9Ge0.1半導體合金的相關參數，本文利用算數平均的概念估算。圖 中 並 比 較 經 由 本 文 修 正 平 均 自 由 徑 前 後 的 模 擬 結 果 與 2003 年 Majumdar [39]的量測實驗值，發現平均自由徑修正後的模擬結果與實 驗值的誤差較修正前的降低了約 20％，顯示本文針對聲子平均自由 徑的修正對於模擬超晶格奈米線等效熱傳導係數有不錯的結果。圖 4-8 則是Si/Si0.9Ge0.1超晶格奈米線等效熱傳導係數和溫度的分佈圖，

同樣和 2003 年Majumdar [39]的量測實驗值比較。當溫度小於 30K 時，本文低估了其等效熱傳導係數，這是由於聲子波長和溫度成反比 關係，30K溫度下的聲子波長為 300K溫度下的十倍以上（約為幾十 個nm），波動效應的忽略造成模擬結果的誤差。

圖 4-9a 及 4-9b 分別是直徑 20nm 及 50nm 的矽/鍺超晶格奈米線，

在室溫穩態定溫邊界條件下，搭配非彈性散異理論模式，比較採用不 同聲子平均自由徑的情形下，週期厚度變化對其等效熱傳導係數的分 佈圖，且和 Chen [28]在 2004 年以輻射熱傳觀點的模擬結果作比較。

首先，尚未使用本文的方法修正前，當週期厚度為 1000nm 時的等效 熱傳導係數和 Chen 的結果一致，但隨著週期厚度的縮小，和 Chen 的誤差越來越大。經由本文修正聲子的平均自由徑之後，其等效熱傳 導係數在所模擬週期厚度的區間中均較原先的情況低，且週期厚度為 1nm 時的等效熱傳導係數逼近 Chen 的模擬結果；然而週期厚度為

1000nm 時的等效熱傳導係數低於 Chen 的模擬結果，此為修正後的參

1000nm 時的等效熱傳導係數低於 Chen 的模擬結果，此為修正後的參

在文檔中 尺寸效應與界面熱阻對超晶格奈米線熱傳導之影響 (頁 58-112)